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Auteur :
WARME R.
INFORMATIONS sur
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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Démo : 8 / 25 |
TITRE : LES TABLEAUX NUMERIQUES ; COURS;
LE REPERAGE sur la droite et dans un plan .
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Informations « TRAVAUX
auto formatifs» Cliquer sur
le mot !. |
INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :
|
NIVEAU : Formation Niveau V (inclus le CAP et CFA) |
OBJECTIFS : - Savoir lire construire et remplir un
tableau à simple et un tableau à double entrée. - Savoir exploiter la graduation sur un axe. - Savoir exploiter les graduations des axes d’un repère du plan. - Savoir exploiter la représentation graphique
d’une courbe dans un repère . |
Première page d’écran
interactif ; Cliquer sur
« cours ».
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Lire « repérage
et » : détermination d’un point |
I ) Pré requis:
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Lectures importantes : |
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II ) ENVIRONNEMENT du dossier :
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Index |
Objectif précédent : 1°)Calcul d’une valeur numérique d’une expression
algébrique. |
Objectif suivant : Pour
en savoir ++++ |
retour
vers : |
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Important :
il faudrait étudier : les Généralités
sur « la fonction ». |
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III ) LECON
n° 8 : LES TABLEAUX NUMERIQUES; LE
REPERAGE sur la droite et dans un plan .
Chapitres :
|
4 . Repérage et « représentation
graphique » d’une équation . |
IV)
INFORMATIONS « formation
leçon » :
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|
Travaux auto
- formation. |
|
Corrigé des travaux
auto - formation. |
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Etude du cours |
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V ) DEVOIRS ( écrits):
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
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Ÿ |
* remédiation : ces documents peuvent être
réutilisés (tout ou partie) pour conclure une formation.
|
Travaux spécifiques qui
peuvent être donnés : ( niveau VI et V) |
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Etudes de tracés |
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Titre |
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N°8 |
LES
TABLEAUX NUMERIQUES, le REPERAGE sur
une droite et dans un plan
. |
Info :
Le tableau numérique est
utilisé en statistique ( exemple rangement et
classement de données) , en économie (exemple : facture), et dans les études de fonction
« mathématique ».
Dans l’étude des
fonctions : on rencontrera le tableau numérique
et le tableau dit de « variation » .
Ces tableaux sont à remplir
, ou a compléter . Les valeurs
« contenues » vont permettre d’ identifier ou
placer des « points » dans un repère . (
voir le chapitre « 3 » de cette leçon.)
Dans l’étude graphique
d’une fonction : on reportera dans le tableau des informations
numériques (généralement des coordonnées) qui sont
« caractéristiques ». ( voir le chapitre
« 3 » de cette leçon.)
Un tableau numérique , à double entrées , en particulier ; retiendra notre attention lors de l’étude de
la fonction linéaire ; on l’appelle : tableau « de
proportionnalité »
Dans un tableau numérique à simple entrée ,
une information est obtenue par la lecture d’une colonne ou d’une ligne .
+Activité n°1
On donne la
répartition des 204 élèves d’ un collège est : 58 en 3ème ; 74
en 5ème ; 59 en 4ème ; 65 en
6ème ; 18ème en classe pré professionnelle .
On
demande de mettre ces données dans un tableau à lecture en ligne ,
puis à lecture en colonne .
Nota : les classes sont aussi
appelées « secteurs » .
Solution :
On peut
reporter ces données dans un tableau pour une lecture en colonne :
|
Nom des classes
. (secteurs) |
Pré - professionnelle |
En
6ème |
En
5ème |
En
4ème |
En
3ème |
|
Effectifs |
18 |
65 |
74 |
59 |
58 |
On peut
reporter ces données dans un tableau pour une lecture en ligne :
|
Nom des classes : ( secteurs) |
Effectifs |
|
Pré -
professionnelle |
18 |
|
En 6ème |
65 |
|
En 5ème |
74 |
|
En 4ème |
59 |
|
En 3ème |
58 |
A retenir :
Dans ce tableau à simple entrée,
l’effectif d’un « secteur » apparaît dans une colonne
, au droit de la désignation, du secteur .
C’est ainsi que l’on peut lire
qu’en 5ème il y a 74 collégiens .
Autre
exemple :
|
Corps pur |
Fer |
Cuivre |
Argent |
Zinc |
Plomb |
Etain |
Eau |
Alcool |
|
Température de fusion. ( °C) |
1535 |
1083 |
960 |
420 |
327 |
232 |
0 |
- 139 |
|
Température d ’
ébullition ( °C) |
2750 |
2336 |
2000 |
907 |
1740 |
2270 |
100 |
79 |
|
i9
|
I.2. Tableau à
double entrées |
+Activité n°2
Dans le collège , les élèves garçons et filles se répartissent de la façon suivante .
|
|
Filles |
Garçons |
Total |
|
Classe pré professionnelle |
6 |
12 |
18 |
|
6ème |
36 |
29 |
65 |
|
5ème |
39 |
35 |
74 |
|
4ème |
35 |
24 |
59 |
|
3ème |
30 |
28 |
58 |
Dans un
tableau à double entrées , l’effectif des filles en 5ème apparaît à
l’intersection de la ligne « 5ème »
et de la colonne « Filles » ;
Ainsi on peut interpréter : il y a 12
garçons en classe pré – professionnelle.
+Activité n°3
Les distances pour
s’arrêter sont fonctions de la vitesse ! ! ! !
Un
véhicule parcours 20 m pour s’arrêter ,s’il
roulait à une vitesse de 20 km/h ;
Un
véhicule parcours 40 m pour s’arrêter ,s’il
roulait à une vitesse de 40 km/h ;
Un
véhicule parcours 80 m pour s’arrêter ,s’il
roulait à une vitesse de 60 km/h ;
Un
véhicule parcours 140 m pour s’arrêter ,s’il
roulait à une vitesse de 80 km/h ; …………
Un
véhicule parcours 220 m pour s’arrêter ,s’il
roulait à une vitesse de 100 km/h ; …………
Un
véhicule parcours 320 m pour s’arrêter ,s’il
roulait à une vitesse de 120 km/h ; …………
Ce qui permet de construire le
tableau :
|
Vitesse en Km/h |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
|
Distance (m) |
20 |
40 |
80 |
140 |
220 |
320 |
+Activité n°4
Un
libraire solde des cahiers en les vendant par lots de « 3 ».Un lot de
« 3 » cahiers est vendu 5 €.
Exemple de tableau à double entrées que
le commerçant peut représenter.
|
Nombre de lots |
1 |
4 |
6 |
7 |
10 |
|
Prix ( en €) |
5 |
20 |
30 |
35 |
50 |
iConclusion : dans un tableau numérique à
double entrées , une information est obtenue à
l’intersection d’une ligne et d’une colonne .
1°) Soit
l’extrait d’un relevé de compte : ( en
€ )
|
Date |
Valeur |
Nature des opérations |
Débit - |
Crédit + |
|
Ancien solde au 28/04 /200.. |
|
8 411,38 |
||
|
01/04 |
30/ 03 |
Facture
CB du 28/03/ |
29,58 |
|
|
01/04 |
01 /
04 |
Retrait
guichet |
259,16 |
|
|
04/04 |
03/04 |
Paiement
av. prélèvement .Trésor public 80 impôt |
137,36 |
|
|
10/04 |
09/04 |
EDF
Prélèvement pays de l’A |
15,23 |
|
|
13/04 |
12/04 |
Virement
faveur du compte . |
|
259,16 |
|
21/ 04 |
08/04 |
Votre
chèque n°………. |
14,94 |
|
|
21/04 |
19/04 |
Facture
CB du 19/04 |
335,39 |
|
|
28/04 |
29/04 |
Virement
TPG Somme Paye |
|
1 884,86 |
|
|
|
|||
Questions :
1°)
Mettre le signe plus ou moins devant
chaque opération (
débit = - , crédit = +)
_
8411,38 ; _ 29, 58 ; _ 259,16 ; _ 137,36 ; _ 15,23 ;
_ 259,16 ; _ 14,94 ; _ 335,39 ;
_ 1884 , 86 .
2°)Calculer le montant total des débits .
3°)
Calculer le montant total des crédits .
4°)Calculer le montant du nouveau solde avant virement du salaire
au 29 / 04
( Ce
travail faisant suite au cours sur
les nombres relatifs )
|
Cd : Info
plus ! ! |
Définition : Un axe est une droite orientée
munie d’un repère ( O, I ) ; O est l’origine du repère , et I est
le point d’abscisse 1 .
La graduation se construit soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on
numérote : +1 ; +2 ; +3 ; …. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..
Ici le point M à pour abscisse (
+ 2,5)
A chaque point M de l’axe
correspond un et un seul nombre
relatif noté xM . Ce nombre est l’ abscisse de M .
+Activité n°5
On donne les coordonnée des
points M ( 0,5)
; N ( -2) et P ( 2,25) , On demande de les placer sur la droite graduée :
|
|
Solution :
|
|
+Activité n°6
On
donne des points sur une
droite A , B ,
C et un segment unitaire (O,I);
Graduer la droite et donner les
abscisses de ces points.
|
|
|
|
Solution : On numérote les graduations ; et
l'on relève les valeurs :A (+1,5) ; B ( -1) ; C (+3)
|
|
+Activité n°7
Recherche de l’origine d’un repère connaissant la position de deux points
Enoncé du
problème :
Soient 2 points A et
B .
On donne leurs abscisses : on appelle : x A ( = +1,5 ) l’abscisse du point A
et on appelle x B ( = - 5,5 ) l’abscisse du point B
Noter sur l’axe, , après
avoir fait le calcul nécessaire , la
position de l’origine O de la graduation.
|
|
Procédure
de calcul :
1°) Il faut
rechercher par le calcul le nombre de
graduations qui sépare les deux points.
en
faisant Nombre de
graduations = x A
- x B
( on remplace) soit
= ( +1,5 ) - ( -5,5)
(on transforme )
= ( +1,5 ) + ( +5,5)
= ( + ( 1,5 + 5,5))
= ( +
7)
Il
y a 7 graduations qui séparent les deux points A et B
2°) On mesure la longueur qui sépare les deux
points : 7 cm
3°) On divise la longueur du segment de droite ( 7 cm ) qui sépare ces deux points A
et B par le nombre de graduation ( 7 ) ,
on connaîtra la longueur d’un segment
unitaire ( u ) :
7 :
7 = 1 cm
4°) La longueur
d’une graduation est de 1 cm .
5°) Conclusion :
Le
point 0 se trouve à 1,5 cm à gauche du point A
ou à 5,5 cm à droite du point B
a) Déterminer la longueur unité "u" ; placer le
point origine ; donner les abscisses
entières comprises entre les deux points représentés.
|
|
Réponse : En raccourci : 7 cm = 1,5 - (
-5,5) = 7 u donc u= 1 cm
Activité n°8
: Déterminer la longueur unité
"u" ; placer le point
origine ; donner les abscisses entières
comprises entre les deux points représentés.
A)
|
|
Soit 10 cm pour 5 graduations ( calcul : 3 - ( -2)
= 5 ) donc 1 unité = 10 cm :5
= 2 cm
B)
|
|
Soit 4 cm pour 4 graduations ( calcul 5 - (+1) =
4 ) ; soit 1 graduation = 1
cm .
|
III. REPERAGE DANS UN PLAN. |
Cd :Info
N°1plus ! ;Cd : Info
N°2 plus ! |
Info :
Pour
repérer un point sur une ligne il faut connaître 1 valeur (
ou 1 dimension). : « x »
Pour repérer
un point dans un plan il faut connaître 2 valeurs ( ou
2 dimensions). : « x ; y »
Pour
repérer un point dans l’espace il faut connaître 3 valeurs (
ou 3 dimensions). « x ;
y ; z »
Le repère
que l’on utilise est appelé aussi :
« repère cartésien » ; ( venant du mathématicien « Descartes »)
1° )
nomenclature :
Dans un
repère ( O , I , J )
du plan , d’axes ( x’ O x )
et ( y’ O y ) perpendiculaires , chaque point tel que « M » est repéré par ses
coordonnées : son abscisse x M et
son ordonnée y M .
= x M et y
M sont des nombres relatifs.
=On notera : M (x M ; y M)
|
|
|
=Les coordonnées d’un point
dans un repère du plan sont des nombres relatifs ; ils peuvent
être positifs. ou négatifs.
2°) +Activité n° 9
On
place dans un repère cartésien des
points : ( M , P , N, R )
|
|
On en
déduit les informations suivantes :
|
|
Abscisse |
Ordonnée |
Coordonnées |
Nota |
|
M |
Mx = + 3 |
M y = +2,5 |
M ( 3;
2,5) |
x
> 0 ; y > 0 |
|
P |
Px = -4 |
P y = +2 |
P ( -4 ;
+2 ) |
x <0 ; y > 0 |
|
N |
Nx = -3,5 |
N y = -2 |
N ( -3,5
; -2) |
x<0 ; y < 0 |
|
R |
Rx = +2 |
R y =
-1,5 |
R ( 2 ;
-1,5) |
x>0 ; y < 0 |
iIl faut retenir qu'un plan peut être
divisé en quatre parties ou quadrants .
Et que
l'on identifie la position d'un point dans un quadrant précis
,aux signes des valeurs des coordonnées de ce point .
|
Coordonnées du point
« P » ( +5 ;
- 3 )
|
|
|
|
3
- Abscisse du milieu d’un segment sur
un axe |
Schéma:
Soit une droite graduée , un point « O » d ‘ abscisse
« 0 » , un point
« I » d ‘abscisse
« 1 » , un point « A » d ‘abscisse « xA »
et un point « B » d ‘« abscisse « xB »
*
La position (x M) du
milieu ( noté M) d'un segment est égale à la somme de l'abscisse de l'extrémité (x B
)plus l'abscisse de l'origine ( x A)du segment divisée par deux .
|
|
xM = |
|
Application:
Sur une
droite graduée "x"; on trace un segment AB tel que A= + 5 ; et B = (+8) ;
quelle est la position du point M sur la droite graduée ?
Solution :
|
On sait
que" le milieu d'un segment est égal à la somme des valeurs des
extrémités" ; On peut
écrire que : x M = On remplace les lettres par les
valeurs: x M = x
M = x
M = (+6,5) Conclusion : la position du point M sur la
droite graduée "x" est de (+6,5) Vérification: prendre une
graduation égale à un cm. il suffit de tracer une droite ,
de placer les extrémités du segment , de placer le milieu sur ce segment, et
ensuite de mesurer la longueur qui sépare le point "M" de l'origine
"O" de l'axe . |
Formation
niveau V : On doit savoir représenter une fonction dans un
repère cartésien .Les fonctions à savoir représenter , ou à reconnaître, sont les fonction dites « linéaires » et les
fonctions dites « affines ».
La fonction linéaire à une équation
de la forme : y = a x ;
la fonction affine à une équation de la forme y = a x + b .
Informations : Pour repérer
un point il faut 2 valeurs : une appelée « x » et l’autre « y »
.
La valeur de « y » est obtenue en fonction de la valeur de
« x » que l’on notera
: y = f( x ) ; . Les
coordonnées d’un point se noteront : ( x ; y ) ou (
x ; f(x))
La représentation graphique d’une fonction notée « f(x) » dans un repère
est un ensemble de points dont de
coordonnées ( x ; y ) ; , ces
valeurs placées dans l’ordre permettront
de placer chaque point
dans un repère dit
« cartésien » .
Pour
faire cette représentation graphique d’une fonction on a besoin d’une équation mathématique .
C’est à
partir de cette équation , que l’on calculera la
valeur de l’ordonnée ( y ) d ‘ un point .
On déterminera ( ou
on attribuera ) une valeur à
« x » , pour obtenir la valeur de « y » correspondante
.
Pour obtenir les coordonnées d’un point , on se fixe donc
une valeur de l’abscisse « x » ( valeur qui est donnée ou choisie) ,
pour trouver la valeur de l’ordonnée .
Les
valeur de « x » sont soit données ; soit choisies
.
En règle générale on choisit des valeurs de
« x » comprises entre une valeur mini et une valeur max. fixées au préalable , ces valeurs s’appellent « bornes ».
Par exemple : on peut décider
de connaître le tracé d’une fonction , pour des valeurs de x
= [ 0 ; 4 ] ; ( on peut écrire pour des valeurs de
« x » : 0 £ x £ + 4 )
Au niveau V ; on aura une équation ,un
tableau à remplir , ( généralement on nous fixe les valeurs de
« x » ; il faut trouver ,
par calcul , les valeurs « y » .Il reste ensuite à reporter les
points à l’aide des coordonnées dans un repère . ( ce repère
est : soit donné , soit à
construire soit même ) .
|
fonction dite « linéaire » |
fonction dite « affine ». |
|
Ci dessous : on vous à tracé une droite passant par
« O » ; toutes les droites passant par « 0 » sont
les représentantes des fonctions dites « linéaires » |
Ci dessous : on vous à tracé une droite ne passant pas par « O » ; toutes
les droites ne passant pas par « 0 » sont les représentantes des
fonctions dites « affines » |
|
|
|
La fonction linéaire à une équation de la
forme : y = ax ; la fonction affine à une
équation de la forme y = ax + b .
La représentation graphique d’une
fonction notée « f(x) » dans
un repère est réalisée par tous les
points dont les coordonnées sont ( x ; y ) ou , puisque y = f(x) ; ( x ; f(x)) ; placés dans un repère dit « cartésien » .
Pour faire cette représentation graphique on a besoin d’une équation mathématique . C’est à partir de cette équation ,
que l’on calculera la valeur de l’ordonnée
de chaque point ( y) ; en prenant , pour chaque valeur de
« y » une valeur de l’abscisse « x » (
donnée ou choisie) .
Les valeur de « x » sont soit données ; soit choisies .
En règle générale on choisit des
valeurs de « x » comprises entre une valeur mini et une valeur max. , que l’on appellent « bornes ». exemples on veut
connaître le tracé d’une fonction , pour
des valeurs de x = [ 0 ; 4 ] ; on peut écrire pour des valeurs de
« x » : 0 £ x £ + 4
Pour les élèves ,
pour leur faciliter le travail , on leur donne un tableau à remplir , à eux
ensuite de reporter les coordonnées dans un repère . ( ce repère
est : soit
donné , soit à construire soit même ) .
|
On trouvera , comme ci dessous ,des droites parallèles à
l’axe des « x » |
On trouvera , comme ci dessous , des droites parallèles à
l’axe des « y » |
|
|
|
Ci dessous , on vous donne des
exemples d’utilisations des tracés
de droites pour relater des faits L à vous de traduire. !!
Nota :
chaque segment de droite à pour support une droite !!!!! chacune de ces droites ont une équation qui lui est propre.
|
Ainsi
en le point A et le point
B la fortune augmente , puis en
BC celle décroît . A partir de C cette fortune croît jusqu’en D ?
à partir de D elle croît moins vite jusqu’au point « E ». |
Distance
parcourue en fonction du temps !! Si en
abscisse on trouve le temps et en ordonnée la distance parcourue
. On
suppose qu’une personne se déplace , elle s’arrête
pour « un repos » (on
remarque le palier : le temps s’écoule , et aucune distance n’est
parcourue) ,au bout d’un « certain temps » , la personne repart ,
elle poursuit son chemin . On peut remarquer que la pente de la droite
est plus importante dans la deuxième partie du parcours ,
donc que la personne se déplace plus rapidement. |
|
Si
l’on termine la graduation on remarque que la somme de (
220 € ) est payée pour une distance maximale de 150 km . A partir de
150 km on paye 360 € |
Au point « 0 » ,
on part , pour aller à un endroit . La
personne marche pour atteindre son but , elle
s’arrête ( repos ?) . Ensuite elle revient à son point de départ . On remarque qu’elle met moins de temps pour
revenir. |
Des
exercices de ce type sont donner à analyser dans les
travaux auto formatifs.
+Activité n°9 ( donnée avec
le corrigé) : Représenter une
fonction dans un repère.
Définition :
La
représentation graphique d’une fonction f dans un repère est constitué par tous
les points dont les coordonnées sont (
x ; y ) ou , puisque y = f(x)
; ( x ; f(x))
Exemples :
1°) On veut
représenter graphiquement la fonction dont l’équation est f1 (x) = 2,5 x
pour des valeurs de x
comprises entre 0 et 4.
On
demande de remplir le tableau suivant : ( il faut calculer pour chaque point sa
valeur « y »)
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) ( = y) |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
On donne
le papier millimétré suivant : on demande de placer les points « A….., » après
avoir calculer pour chacun ses coordonnées
|
|
CORRIGE :
Les valeurs
de f1 (x) =
y sont calculées à partir
des valeurs données à
« x » :
Si x = 0 alors
f1 (0) = 2,5 ´ 0 = 0
Un point A1
de la représentation graphique a pour coordonnées A1(0 ;
0)
Si x =
0,5 alors f1 (0,5) = 2,5 ´ 0,5 =
1,25
Un point A2
de la représentation graphique a pour coordonnées A2(0,5 ;
1,25)…..
On regroupe
ces résultats dans un tableau appelé « tableau de valeurs »
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) |
0 |
1,25 |
2,5 |
3,75 |
5 |
6,25 |
7 ,5 |
8,75 |
10 |
On peut
alors reporter chaque point dans le repère :
On peut
constater que les points sont alignés !!!!!!!!!!
2° exemple : Compléter le tableau suivant: avec l’équation : f2(x) = x - 1
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
B8 |
B9 |
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et placer les points Bn dans un repère cartésien .
Une fois le
tableau rempli il ne reste plus
qu’à reporter chaque point dans le repère !!!
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
B8 |
B9 |
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) = y |
0 |
-0,8 |
-0,5 |
-0,2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Une fois
encore on pourra constater que les points sont alignés :
Ci
dessous : Représentation
graphique de l’équation f2(x) = x - 1
3° Exemple :
soit
l’équation f3(x)
= -2x + 0,5
, Compléter le tableau suivant:
Identifier
les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Corrigé :
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
+0,5 |
0,9 |
1,5 |
2,1 |
2,5 |
4,5 |
6,5 |
8,5 |
10,5 |
Représentation
graphique de l’équation : f3(x) = -2x + 0,5
4°)
Compléter le tableau pour f 4(x)
= - 0,5 x
Identifier
les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Corrigé :
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f 4(x) |
0 |
0,1 |
0,25 |
0,4 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
TRAVAUX auto formatifs :
On considère toutes les fonctions f1 = y1 ;
f2= y2 ; f3= y3 et
y4 = f4, , ( une ligne , une série de calculs , par
fonction )
telles que f1(x)
= x2 f2(x) = 3 x2 , f3(x)
= - 2 x2 et f 4(x) = - 0,5x2
+1
A ) Compléter le tableau ci dessous ; Identifier les points avec une lettre et
placer ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ) Compléter le tableau suivant: ; Identifier les points avec une lettre et
placer ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lorsque
vous avez rempli les deux tableaux ; comparer vos résultats avec le
corrigé ci dessous !!!
Tableau A
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
|
3 x2 |
0 |
0,12 |
0,75 |
1,92 |
3 |
12 |
27 |
48 |
75 |
|
- 2x2 |
0 |
-0,08 |
-0,5 |
-1,28 |
-2 |
-8 |
-18 |
-32 |
-50 |
|
0,5x2
+1 |
1 |
0,98 |
0,875 |
0,68 |
0,5 |
-1 |
-3,5 |
-7 |
-11,5 |
Tableau B :
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
|
3 x2 |
0 |
0,12 |
0,75 |
1,92 |
3 |
12 |
27 |
48 |
75 |
|
- 2x2 |
0 |
-0,08 |
-0,5 |
-1,28 |
-2 |
-8 |
-18 |
-32 |
-50 |
|
0,5x2
+1 |
1 |
0,98 |
0,875 |
0,68 |
0,5 |
-1 |
-3,5 |
-7 |
-11,5 |
Exemple
du tracé de la
fonction y =
x² :
On a
écrit : f1 = y1 ;
telle que f1(x) = x2
Compléter par calcul les tableaux ci
dessous .
Tableau 1 :
le calcul repose sur des nombres négatifs
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 = y1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Tableau 2 : le calcul repose sur des nombres
positifs.
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 = y 1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Corrigé
des calculs :
Tableau 1 : le calcul
repose sur des nombres négatifs
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 = y1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Tableau
2 : le calcul repose sur des nombres positifs.
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 = y 1 |
0 |
0,04 |
0,25 |
0,64 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
Remarques : on trouve dans les deux
tableaux les mêmes résultats,
On a
déjà vu que :
le carré de deux nombres
relatifs donne pour résultat un nombre
dont la valeur absolue est égale au produit des valeurs absolues ,et dont le
signe est « + » .
Nous
proposons deux représentations graphiques de la fonction y =
x ²
Pour la première ,on
représente l’ensemble des points sont
sur le graphique . ; la base choisie est : ( i = 1cm ; j = 0,5 cm)
Première
représentation graphique de y =
x²
Représentation
graphique de x² ; pour
« x » compris -1
£ x £
+ l ;
Pour la
seconde représentation ; nous avons « zoomé » sur les points
proches de zéro afin de mieux comprendre le tracé.
Nous
avons changé la base : la base choisie est ( i =
5cm ; j = 5 cm
)
Nous avons obtenu
la même allure de la courbe !!!
|
Leçon |
Titre |
|
N°8 |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur LES TABLEAUX NUMERIQUES et le
REPERAGE sur une droite et dans un
plan |
Mots à
placer dans les phrases : ordonnée ;
O ; d’une colonne ou d’une
ligne ; 1 ; abscisse; l’intersection ; abscisse ;une droite
orientée munie d’un repère ( O, I
) ; ses coordonnées ; nombre relatif ; xM ;
1° Dans un tableau numérique à simple entrée , une information
est obtenue par la lecture ……………………………. .
2°) dans un
tableau numérique à double entrée , une
information est obtenue à ………………………… d’une ligne et d’une colonne .
3° ) Un
axe est ………………………………………… ; …… est l’origine du repère , et I est le point
d’abscisse ………. .
La graduation se termine soit avec un
compas ou une règle graduée , ensuite on numérote : +1
; +2 ; +3 ; …. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..
4°)A
chaque point M de l’axe correspond
un et un seul ……………. noté ……. . Ce nombre
est l’ …………….. de
M .
5°) Dans
un repère ( O , I , J )
du plan , d’axes ( x’ O x ) et ( y’ O y )
perpendiculaires , chaque
point tel que « M » est repéré
par ses …………………. : son ……………noté :
x M et son ……………..noté : y M .
(x M
et y M sont des nombres relatifs ).
5°) Repérage :
représentation graphique d’une FONCTION.
a)°) : Représenter une fonction
dans un repère.
Compléter
la phrase suivante :
La représentation graphique d’une
fonction f dans un repère est constituée ………………………………………………………………………………………………………………..
b)
Traduire autrement ( autre écriture )
: x = [ 0 ; 4 ]
réponse 0 £ x £ + 4
c) On veut
faire la représentation graphique d’une fonction . à partir de son équation mathématique ; que doit faire
avant d ’ effectuer ce tracé ( de placer les points) .
………………………………………………………………………………………………….
.
Et Les
valeurs trouvées seront placées
dans ? ……………………………. .
TRAVAUX
N°8 d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION:
Exercice N°1
Les 78 apprentis d'un centre de formation se répartissent suivant le tableau suivant:
|
Ebéniste |
24 |
|
Sculpteur |
…………………… |
|
Tapissier |
12 |
|
Agenceurs |
10 |
|
Restaurateur |
9 |
|
Total |
…………………… |
Compléter le tableau . Traduire par
une phrase la 2ème ligne du tableau .
N°2.
Un magasin de sport propose des vêtements en trois
tailles dans deux couleurs différentes
.La répartition du stock est :
-
en
jaune : S (petit) : 7
, M (moyen) 12 ; L (large) 10
-
en
vert : il
possède un total 45 vêtements dont 8 S
(petit) et 25 L
(large) .
Compléter le tableau
et traduire par des phrases les
cases notées par
" * "
|
|
S |
M |
L |
total |
|
Jaune |
|
|
|
* |
|
Vert |
|
* |
|
|
|
Total |
* |
|
|
|
N°3 Compléter ce tableau .
|
|
Garçons |
Filles |
Total |
|
Cinéma |
8 |
|
12 |
|
Sport |
|
|
|
|
Lecture |
6 |
1 |
|
|
TOTAL |
|
10 |
28 |
a)Combien d’élèves ont pour loisir
favori le cinéma ?
b)Parmi les
garçons combien ont pour loisir favori le cinéma ?
B ) Repérage sur une droite
Exercice :
Sur un axe ( x' x )
on définit un repère ( O,I ) d 'unité 1
cm .Placer sur cet axe les points A , B , C , M , N , P d'abscisses respectives
: -3 ;2,5 ;2,8 ; 4 ; -4,2 ; 5,3 .
Pour
chaque exercice : l ’ objectif
: savoir Graduer une droite et donner des abscisses.
a)
Déterminer la longueur unité "u" ; placer le point origine ; donner les abscisses entières comprises
entre les deux points représentés.
|
|
b)
Déterminer la longueur unité "u" ; placer le point origine ; donner les abscisses entières comprises
entre les deux points représentés.
|
|
c)
Déterminer la longueur unité "u" ; placer le point origine ; donner les abscisses entières comprises
entre les deux points représentés.
|
|
d )
Déterminer la longueur unité "u"
; placer le point origine ;
donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.
|
|
C ) Repérage dans un
plan .
A)
Dans
un repère , on donne
A ( 1 ; 2 ) et B (
3 ; -1 )
1°) l’abscisse de A est …………
2°)l’ordonnée de B est ………………..
3° ) l’abscisse du milieu du segment AB est ……………..
B°) A partir du dessin ci dessous
,compéter le tableau:
|
|
Compléter
le tableau suivant :
|
|
Abscisse |
Ordonnée |
Coordonnées |
|
|
M |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
C ) Sur
une feuille quadrillée , dessiner un repère du plan ( cartésien et deux axes perpendiculaires ) d'unités 1 cm
sur chaque axe .
Placer les
points : A ( 1 ; 1 ) ; B ( 3 ,- 5) ; C (
-1 ; 1 ) ; D ( 0;0 ) ; E ( - 4,6 ; 2,8 )
SERIE 1 Repérage : représentation graphique d’une FONCTION.
1°) : Représenter une
fonction dans un repère.
Compléter
la phrase suivante :
La représentation graphique d’une
fonction f dans un repère est constituée ……………………………………………………………………………………………….
2 °)Représenter graphiquement les points appartenant à la
fonction dont l’équation est f1(x)
= 2,5 prendre x pour des valeurs de x comprises entre 0
inclus et 4 inclus . ( notation
[ 0 ; 4 ] )
Utiliser le
tableau suivant :
|
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
A9 |
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°) soit f2(x) = x -
1 ; pour x [0 ; 5 ]
a) Compléter le tableau suivant:
b) Placer
les points Bn dans un repère cartésien .
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
B8 |
B9 |
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 °) soit l’équation f3(x) = -2x + 0,5
,
a) Compléter le tableau suivant: [-5 ; 0 ]
b)
Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère
cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5° ) Compléter le tableau pour f 4(x) = 0,5x
Identifier
les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6°) Tracé de la fonction x² :
soit : f1 = y1 ;
telle que f1(x) = x2
I ) compléter les deux tableaux :
a)
Tableau 1 :
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
x2 = y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b)
Tableau 2 :
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x2 = y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) Faire
une représentation graphique de
x²
Dont la base est : i = 1cm et j = 0,5 cm
III ) soit: f2 = y2 ;
telle que f2(x) = x2
a) Construire le tableau , pour les
valeurs de « x » prendre de 0,1 en 0,1 .
a)
tableau :
|
x |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0,1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
0,9 |
1 |
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Faire une représentation graphique de f2(x)
Dans la base
i = 5cm et j =,5 cm avec
« x » [ -1 ; +1 ] ;
que l’on note aussi : pour « x »
compris -1 £
x £
+ l ;
Info : (-1
£ x £
+ l et x = [ -1 ; +1 ]
sont des écritures équivalentes )
SERIE 2 : Représentation graphique d’une équation .
Consignes : Faire les calculs suivants ( ceux -ci ont
été déjà
exécuté dans le cours « calcul de la valeur numérique d’une expression algébrique ).
Pour
chaque tableau : sur une feuille quadrillée ,
tracer un repère cartésien , les
bornes sur « x » sont à
prendre dans le tableau . . Sur
« y » les bornes sont données par le résultat des calculs ( plus petite valeur et plus grande valeur ).
1°)
Compléter le tableau pour f1(x) = 2,5 x , et placer ces points dans le repère
cartésien .
|
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2°)
Compléter le tableau suivant:
f2(x) = x -
1
|
x |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°) soit l’équation f3(x) = -2x + 0,5
, Compléter le tableau suivant:
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4°)
Compléter le tableau pour f 4(x)
= 0,5x
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5°) Dans le même repère faire le tracé des fonctions
f1 = y1 ;
f2= y2 ; f3=
y3 et y4 = f4, , telles que f1(x)
= x2 f2(x) = 3 x2 , f3(x)
= - 2x2 et f 4(x)
= 0,5x2 +1
Au
préalable compléter le tableau suivant:
|
x |
0 |
-0,2 |
-0,5 |
-0,8 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 4(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( en devoir un de ces tracés pris ,
au hasard ,sera à réalisé , sur la feuille de papier millimétrée jointe )
Exercices et problèmes
sur REPERAGE et interprétation
de graphiques.
|
1°) Le
graphique montre les déplacements de Denis et Patrick. Denis est à pied .
Au bout de combien de temps a – t – il parcouru 5 km ? Quelle
distance a – t - il parcouru quand il s’arrête au
bout de 4 h ? Patrick : A quelle
heure et à quelle distance du point de départ rencontre – t – il Denis
pour la première fois ? Au bout de combien de temps rentre – t –il chez
lui ? Combien de temps dure son retour ? Quelle est sa vitesse
horaire ? Où et à
quelle heure rencontre- il Denis pour la seconde fois ? |
|
|
2°) Dans un système d’axes orthogonaux gradués
régulièrement dont l’origine est le point O ( 0 ; 0 ) Placer les points
A , B , C , D , E de coordonnées
respectives ( +2 ; +2 ) ; ( -5 ; -5
) ; ( +3 ; +3 ) ; ( +1 ; +1 ) ; ( -3 ; -3 ).
Que peux –t –on dire de ces points ? |
|
3°) Pour leur entraînement quotidien deux athlètes , Denis et Bertrand , parcourent 10 km.
Denis court de A vers B à la vitesse
moyenne de 8 km / h tandis que
Bertrand court de B vers A à la vitesse moyenne de 7 km /h. a)
En utilisant un repère du genre de celui de la figure ci contre
représenter les courses de Denis et Bertrand. b)
Déterminer sur le graphique à quelle distance approximative de A se
situe leur point de rencontre . |
|
|
4 ° ) Traduire le graphique suivant : |
|
|
5° )Traduire le graphique : |
|
|
6° ) Sur ce graphique , on a représenté les déplacements à
pied de Jean et de Marc. Répondre
aux questions suivantes : Pour Marc : quel chemin a-t-il
parcouru au bout de 2 heures ? de 3 heures ?*A quelle distance
s’arrête – t – il ? Quelle distance a – t- il alors parcourue ? A quelle distance de
l’arrivée était-il une heure et demie avant d’arriver ? Pour
Jean : Au bout d’une heure et demie , quelle
distance a-t-il parcourue ? et au bout de deux heures ? Après six
heures de marche , il revient à son point de
départ : quelle distance a – t –il parcourue alors ?Quelle a été la
durée de ses arrêts ? |
|
|
7° ) Dans
un plan P , dessiner un système d’axes orthogonaux gradués régulièrement ,
placer des points ayant leur abscisse égale à leur ordonnée. Le point O est
–il un point qui répond à cette hypothèse ? Que
peut-on dire de l’ensemble de ces points ? Pouvez
vous en donner le nom ? |
|
8° ) Sur
un quadrillage muni d’un repère orthonormé ( O, I , J ) placer les
points A (+2 ;+1) ; B (
+3 ; +5 ) C ( +7 ; +2 ) On
désigne par A’ le point de coordonnées ( Abscisse de
A ; opposé de l’ordonnée de A) Quelles
sont les coordonnées de A’ ? Utiliser
la même méthode pour obtenir les coordonnées de B’ et de C’
à partir des coordonnées de B et C . Placer
les points A’ B’ C’ sur le quadrillage. On
désigne par A ‘’ le point de coordonnées
(opposé de l’abscisse de A’ , ordonnée de A’) Quelles
sont les coordonnées de A’’ ? Par la
même méthode , à partir des coordonnées de B’ et de C’ on obtient les points B’’ et C’’. Placer
les points A’’ ,
B’’ et C’’ sur le quadrillage . On a
donc A ( +2 ;+1
) a pour image A’ ( +2 ; …) qui a pour image ( … ; ..) à l’aide de ce modèle , faites la même chose pour les
points B et C . Pouvez
vous donner la règle connaissant les coordonnées de A pour obtenir
directement les coordonnées de
A’’ ? Cette
règle s’applique – t – elle aux points B et B’’ ; C et C’’ ? |