Auteur :
WARME R. INFORMATIONS sur |
||
NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
iNous avons déjà recherché un résultat en remplaçant
des lettres par des nombres .lors de
la leçon sur les « nombres décimaux relatifs @ ( voir
les derniers exercices de l’évaluation )».
Il
est souhaitable de reprendre ces calculs
et pour les mettre en lien ce qui
a té fait avec ce cours .La leçon « sur la recherche d’une valeur numérique d’une expression littérale »
est la suite des calculs avec des
nombres relatifs .
Le
but de la leçon « valeur numérique
d’une expression littérale » étant d ’ utiliser des
« formules » qui sont
utilisées le cadre professionnel.
Dans
le programme il n’est pas prévu de traiter « normalement » la leçon
sur les priorités dans les calculs .
Pourtant
il faut connaître l ’ordre dans lequel on effectuera les opérations ;: par quelle opération
commence t - on ? et par quelle termine - t - on ? si il y a ( en partie ou tout )
des additions ,soustractions , multiplications ,divisions et puissances
voir racine dans une chaîne d’opérations .
cliquer
ici : Les
chaînes d’opérations , dit
aussi : opérations combinées et les priorités
de calculs . |
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LECON |
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RECHERCHE DE LA VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION
LITTERALE . |
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COURS
iEn arithmétique , lorsque
l’on utilise des formules ( voir :calcul d’aire ;
périmètre ….) ; on remplace des lettres par des nombres ( grandeurs) , en
vu de trouver une valeur numérique ; ce
calcul est une activité appelée :
« rechercher la valeur numérique d’une expression littérale » .
Définition : Pour calculer la valeur
numérique d’une expression littérale , on
remplace les lettres par les valeurs qui lui sont
attribuées (données) . |
Il en est de même si l’on calcule
la valeur numérique d’une expression
algébrique .
Exemples de formules (
expressions littérales ) couramment usitées
Cas de calculs |
Formules Sur le C D vous
avez une foule de situations problèmes
traitant chaque cas |
Pour plus d’informations |
Aire du
carré |
A = c² |
|
Périmètre
du carré . |
P =4c |
|
Longueur
d’une circonférence. |
P = 2 p R |
|
Aire
d’un disque. |
A = p R
² avec (p » 3,14 ) |
|
Aire du
trapèze. |
|
|
Périmètre du rectangle. |
P = 2 (
L + l ) |
|
Aire du rectangle . |
A = L l |
|
Aire du triangle |
A = |
Un calcul numérique comporte plusieurs étapes qui, à chaque
fois sont :
-
soit changer l’écriture d’un
nombre.
Exemple : = = 3,5
-
soit effectuer une série de transformations grâce à une règle (ou une procédure)
Exemple : + = =
Préambule : Pour
pouvoir effectuer un calcul ou une série de calculs , en vu de trouver un
nombre (appelé : résultat ) , il faut avant tout savoir le lire et donc de connaître les conventions d’écritures
et les priorités opératoires .
En calcul numérique :
· On n’écrit jamais deux signes qui se suivent
sans parenthèses .
on n’écrit
pas 3 ´ - 4 mais
on écrit 3 ´ ( - 4 )
· Au lieu
d’écrire 3 ´ 3 , on écrit 3² ; et 3´ 3´ 3
s’écrit 33
· Le trait de fraction signifie la division du
numérateur par le dénominateur et tout se passe comme si le numérateur et le
dénominateur étaient entre parenthèses.
Ainsi :
* s’écrit
5 ÷ 2 + 3 = ; qui s’écrit
aussi ( 5 ÷ 2 ) + 3
= 5,5
* et s’écrit
( 5 +3 ) ÷ 2 = ; soit
(8 ) ÷ ( 2 ) = 4
I.2.
Principales règles de transformations de
l’écriture des nombres |
Il est souvent très utile de transformer les écriture des
nombres et de les remplacer par une valeur numérique. Nous retiendrons les
transformations suivantes :
A) :
@ i 3² signifie 3 ´ 3 ( =
9 ); comme 33 signifie
3´ 3´ 3 ( = 27)
B ) : @ i Le
trait de fraction signifie une division : = 2,5
C ) : @ i « simplifier » ; « rendre irréductible » et
« réduire au même dénominateur »
=
Les nombres « k » et « b » sont des
nombres non nuls . cette écriture permet
de simplifier une fraction
ou de réduire deux
fractions aux mêmes
dénominateurs.
- Simplifier directement les fractions suivantes :
Soit la
fraction : |
On peut
diviser le numérateur et le dénominateur par : |
On peut
ainsi remplacer : |
|
« 2 » pour
simplifier ou
« 4 » pour
rendre irréductible . |
Par
4 / 6 ou 2 / 3 |
-
C 1
) Réduire au même dénominateur 2 fractions :
résultat : le dénominateur commun est
« 40 » ;
les deux fractions équivalentes aux fractions 7 / 10
et 3/ 4 sont 28 / 40 et 30
/ 40
-
C 2
) Réduire au même dénominateur 3
fractions :
résultat : le
dénominateur commun est
« 60 » ;
les
trois fractions équivalentes aux fractions 7 / 10
et 3/ 4 et 18/30 sont 42 / 60 et 45
/ 60 et 36 / 60
D) : @ i L’écriture décimale
et les puissances de dix :
exemples :
b) 0,45 = = 45 ´ 10 -2
E ) :@i L’écriture
décimale et les pourcentages :
exemple : 0,145 = = 14,5
%
si la fraction n’est pas
« décimale » ,il faudra :
E 1 ) : @ i- ou
rendre la fraction irréductible .et continuer les calculs avec cette fraction.
E 2 ) : @ i- ou effectuer la division et remplacer la fraction par un nombre décimal « arrondi » à 0, ? ? ?1 prés . On remplace le « ? » par un ou plusieurs« 0 »
F ) : @ i L’écriture par la
valeur de la racine
exemples : on
remplacera par 3 ;
et par une valeur approchée » 3,162 )
I.3. Priorités opératoires : Recherche d’un résultat numérique . |
le
résultat peut être recherché soit à
partir d’une formule ou d’une chaîne d’opérations possédant ou non des
parenthèses.
Organigramme concernant l’ordre chronologique des
calculs :
¶ Résultat
numérique recherché à
partir d’un énoncé et d’une formule donnée
Si les calculs s’effectuent
à partir d’une formule donnée :
+Le calcul est direct :
Il n’y a que des
nombres séparés par des signes opératoires dans le deuxième membre , le résultat
s’obtient directement ;on remplace chaque
lettre par leur valeur numérique ,ensuite on effectue les calculs .
Exemple : Calcul d’aire du trapèze (à l’aide de la
formule : )
Application : Un trapèze a les dimensions suivantes :
B = 12,6 cm ; b = 7,4 cm ; h = 6,8 cm.
Calcul de son aire . A = =
68 cm2
+Le calcul est
indirect :
L’expérience et les connaissances en algèbre sont
nécessaires ! ! ! ! ! !
Il y a des nombres
dans les deux membres de l’égalité , il y a une lettre dans un des membres ,
qu’il faut isoler . C’est alors un problème d’algèbre : il faut faire
l’inventaire des données numériques , on identifie ce que l’on cherche , on transforme l’égalité
pour isoler l’inconnue , on fait le calcul .
Exemple
: Trouver la hauteur du trapèze qui à une aire de 50 m2 et
dont les bases mesurent 12,6 m et
7,4 m .
Soit la
formule : ;
on remplace les lettres par les valeurs données :
On transforme pour obtenir : h= ==
5 m
( info @ + :voir le cours sur « résoudre un
problème du premier degré »)
· Résultat
numérique à rechercher à partir
d’une chaîne d’opérations :
Exemple de calculs à
effectuer dans une chaîne d’opérations
L’expression contient
des additions, soustractions
,multiplications ,divisions (ou fractions….) , des puissances , des racines:
Exemple 9,2 - 42 7
+ 2,7 (-6)2 + - =
Procédure |
Exemple |
|
1ereEtape |
Calculer
la racine au préalable faire le calcul
sous la racine au cas où….. |
9,2 - 42 7
+ 2,7 (-6)2 + -
20 |
2emeEtape |
Calculer
les puissances |
9,2 - 16
7
+ 2,7 (+36) + -
20 |
3emeEtape |
Calculer
les divisions |
9,2 - 16 7
+ 2,7 (+36) +
5 - 20 |
4emeEtape |
Calculer
les multiplications |
9,2 - 112 +
(+ 97,2 ) + 5 -
20 |
5emeEtape |
Transformer
l’expression algébrique en somme algébrique |
(+9,2)+( - 112) + (+ 97,2 ) + (+ 5) + ( - 20) |
6emeEtape |
Calculer
la somme des nombres positifs |
(+9,2)+ (+
97,2 ) + (+ 5) = (+(9,2+97,2+5)= (+
111,4) |
7emeEtape |
Calculer
la somme des nombres négatifs |
( - 112) + (
- 20) =( - (112+20)) = (-132) |
8emeEtape |
Calculer
la somme des nombres de signe contraire |
(+ 111,4)+ (-132)
= ( - (132- 111,4)) = (-20,6) |
9emeEtape |
Rendre
compte |
9,2 - 42 7
+ 2,7 (-6)2 + - =(-20,6) |
ACTIVITES : Calculer (CORRIGE : CLIQUER ICI )
1°) 3 + 5,6 + 8 =
2° ) - 5 - 6,3 -7,2 =
3° ) -8,3 + 5 - 9 - 13,5 + 7,7 =
4°) 15,3 - 4 5,3
+ 73
=
5°) 3, 5 - 9 : 2 + 49
=
6°) -8.4
+ 11 +1,2
=
7 °) 3, 52- 9 : 2 + 492
=
8 ° ) -8,42 + 11 +
()
21,2 =
9°) 9,2
- 42 7 + 2,7 (-6)2 + - =
II.
NOTIONS sur le CALCUL ALGEBRIQUE et exemple de résolution de problèmes à traiter
avec l ’ algèbre . |
i Les objectifs
de base en algèbre qu’il faudra atteindre en fin de niveau V
sont :
- savoir effectuer des calculs qui comportent des
variables ou des inconnues ( notées généralement « x » et
« y ») ; savoir développer et factoriser des expressions ,
- savoir mettre un problème en équation et
- savoir
résoudre des équations ( et système) du premier degré .
Ce cours a pour
but de vous familiariser au vocabulaire qui sera
utilisé dans les objectifs cités ci - dessus .
i Dans les
expressions algébriques le signe
« multiplié » n’est jamais
représenté.
On n’écrit pas les signes ´, sauf entre deux nombres
( pour ne pas confondre entre 24
et 2 ´ 4 )
Exemples :
Formule |
En
omettant les signes ´ |
L’expression
se lit : |
2 ´ p ´ R |
2p R |
2 fois
pi fois R |
3´x |
3x |
3 fois
ixe |
a´b |
ab |
a fois b |
a´b´c |
abc |
a fois b fois c |
3´ |
3 |
3 fois racine carré de 18 |
2 ´ x ´ ( 1
- x ) |
2 x (
1 - x ) |
2 fois x
facteur de 1-x |
3 ´ ( 2´ x + 1) |
3 ( 2x +
1) |
3
facteur de 2 ixe plus un |
x ´ ( 2´x +2 )
|
x ( 2x +2 ) |
ixe
facteur de 2ixe plus 2 |
(2´x +1)´(3´x + 2) |
(2x+1) (3x+2) |
2ixe
plus un entre parenthèses facteur
de 3 ixe plus 2. |
iremarque :
les groupes de mots
« fois entre
parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .
êATTENTION au risque d’erreur : ne pas confondre ce qui est dit et de ce
qui est écrit :
Exemple 1 : a +b² est différent de l’écriture ( a + b ) ²
3 + 5
² = 3 + 25 = 28
¹ (3+5)² = 64
Exemple 2 : a - b² est différent de l’écriture ( a -
b ) ² ;
3 -
5² =
3 - 25 =
- 23 ¹ ( 3
-5 )² = 4
A retenir :
Quand on
multiplie un nombre par une lettre ou une parenthèse, on n’écrit pas le signe ´
¶ Calculs @ : tous les calculs peuvent se décomposer en multiplications ,
divisions , additions ou soustraction de monômes ( un monôme est une expression
algébrique qui ne contient ni signe + ni
signe - , c’est un produit de
coefficient et de lettre (s))
Exemples de monômes : 3x ;
2,5 x² ;
On décompose en produit de facteurs et l’on
« regroupe » |
On regroupe les termes de même degré |
Addition ou soustraction de deux monômes de même degré |
|
Exemple
1 : 5 x² 2x
= 52x
x x =
10 x3 Exemple
2 - 3 x 3 2 x²
= - 3 x
xx2x
x = - 6
2
x 5 = - 12 x 5 |
Exemple 3 5
x² - 2 x² = 3
x² Exemple
4 4
x² - 3 x² = 1 x²
= x² |
· Développements et factorisations @
Définition : Une expression algébrique
est développée si elle est écrite sous la forme
d’une somme de monômes
Les deux modèles mathématiques de base du
développement sont : k ( a + b
) et
k ( a - b )
Exemples :
Expressions algébriques de la forme : |
|
Forme non
développée |
Forme développée |
k ( a + b ) |
k a + k b |
3 ( x +
5 ) |
3x + 15 |
3 ( 2x +
5 ) |
6x + 15 |
3 ( x -
5 ) |
3x - 15 |
3 ( 2x -
5 ) |
6x - 15 |
Applications :
Forme |
Application numérique |
Application algébrique : |
k ( a + b) |
a) 3
( 2 + 5
) = 3 (
7 ) = 3 ´ 7 = 21 b) 3 (
2 +
5 ) = 3 ´ 2 + 3 ´ 5 = 6 +
15 = 21 |
a) 3 ( x
+ 5 ) = 3 ´ x + 3 ´ 5 = 3x
+ 15 b) 3 (
2x +
5 ) = 3 ´2 ´ x + 3 ´ 5 = 6x
+ 15 |
k ( a - b ) |
a) 3
( 5 - 2 ) =
3 ( 3 ) = 3 ´ 3 = 9 * b) 3
(5 - 2
) = 3 ´ 5 - 3 ´ 2 = 15
- 6 = 9 |
a) 3 (
x -
5 ) = 3 x - 3 ´ 5 = 3x
- 15 b ) 3 ( 2x
- 5 ) = 3 ´2 ´ x - 3 ´ 5 = 6x
- 15 |
* exemple de développement d’une somme de nombres relatifs :
3
[ (+5 ) + ( -
2 ) ] = 3
(+5 ) + 3 (
- 2 )
= ( +15 )
+ ( - 6 ) = ( + 9 )
Activités :
Développer
2 ( x
+ 3 )
; 7 ( x -
5 ) ; 3 ( 4x + 2,1
) ; 5 ( 3x -
3,2 ) ; x ( x +
1 ) ; x ( 2x + 1 ) ; 2x ( 2x +
1 )
+Suite : Développer ,
réduire, ordonner
@ :
Définition : Une
expression algébrique est développée,
réduite et ordonnée si elle est la somme
de monômes ,de puissances différentes ,ordonnée par puissances décroissantes.
Ordonner :
Exemple d’expression
algébrique ordonnée : A = 7 x² - 3 x + 1
Exemple de l’expression
algébrique ci dessus non-
ordonnée : A = - 3
x + 1 +
7 x²
Réduire : réduire c’est regrouper des termes de même degré ( ou de même
puissance) :
Exemples :
Expression « non »
réduite : |
Expression réduite . |
5 + 3 |
8 |
7 - 4 |
3 |
x + x |
2x |
2x + x |
3 x |
3x + 2 x |
5 x |
x ² + x ² |
2 x ² |
3 x + x |
4 x ² |
Remarque :
on ne peut pas réduire les expressions
ci dessous ! |
|
|
Mais
on peut « factoriser » ! ! ! !à condition de
savoir identifier le « facteur
commun » qui est contenu dans chaque terme . ( info plus +++) |
x ²
+ x ( = x
x + 1 x ) |
= x ( x
+ 1 ) « x » est le facteur commun |
3 +
3 x [ = ( 3 ´ 1 + 3 ´ x ) ] |
= 3 ( 1 +
x ) « 3 » est le facteur commun |
3 +
x ( il n’y a rien à
modifier) |
|
Factoriser :
Une expression algébrique est factorisée si elle est écrite sous la forme d’un produit :
A = ( 2x + 1 )²
ou B = 3 ( x + 4 ) ( 3x - 1) ou C
= ( x + 1 ) ( x - 1 )
Pour savoir factoriser il faut savoir identifier les
termes qui contiennent un facteur commun
. ( info plus +++)
On dit aussi que
pour « factoriser » il faut
savoir identifier dans les termes de
l’expression algébrique le (ou les )
facteur commun .
i Pour factoriser
ou développer on utilise les égalités :
k ( a + b ) = k a + k b
(
a + b ) ( c + d ) = a c + ad + b c + bd
ou les Identités
Remarquables .
Pour informations :
les I.R. sont des « outils mathématiques » , elles se présentent sous « 3 formes » , elles sont
utilisées soit pour donner une forme
factorisée ou inversement donner une
forme développée d’une expression algébrique du « second degré » .
·
les égalités en caractère gras
seront à retenir et utilisées dans le cadre du calcul mental .
·
exemples : ( 101) ² ( =
100 + 1 ) ²; 49 ² ( = 50 - 1 ) ² ; ………
iPour
effectuer une opération (calcul) il faut
deux nombres. Lorsqu’il y a plus de deux nombres, il y a au moins deux
opérations à effectuer, il y a souvent
une opération à faire avant l’autre, on
dit que la première opération à priorité sur la seconde opération.
Les 3 principales priorités sont :
+Si il y a des parenthèses :on effectue en premier
les calculs entre ces parenthèses.
Exemple : 2 ( L + l )
= ; on calcule d’abord la somme : L + l puis on multiplie par cette somme
par 2 .
Tout comme il est possible de
développer : 2 ( L + l ) = 2
L +
2 l
+Une puissance à priorité sur la multiplication.
Exemple : 3,14 R²
: on calcule d’abord
R² ;puis on multiplie le résultat par 3,14 .
+La multiplication et la division sont prioritaires
sur l’addition et la soustraction.
Exemple : 3 + 4
l ; on calcule 4 fois « l »
puis on ajoute « 3 »
A ) Exemple d’utilisation d’une formule
On donne
les dimensions du trapèze B = 8 ; b
= 5
et h = 4 ( les unités sont des
, par exemple, cm) On veut
connaître son aire . On connaît
la formule : A = |
|
¬ On remplace les lettres par leurs valeurs : A
= On calcule dans les parenthèses : A = ® Puis on calcule
(13)4 = 4 ( 13) = 4
13 = 52 ainsi : A = ¯ On divise :
52 :2 ainsi A = 26 °On conclue : l’aire du trapèze est de 26 cm² |
B ) Exemples de calculs : ou il faut
remplacer les lettres par des valeurs numériques et calculer :
N°1 ) Soit l’expression littérale : |
4a + 5 b –
2c |
Calculer
sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation
de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43
+ 5
8 – 25
= |
42 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3
+ 59,25
– 21,5
= 17,2 + 46,25 - 3 |
60,45 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)
+ 5
(+6) – 2(-8)= -16 + 30 –
(-16) =-16 +30 + (+16) |
( +30) |
N°2 :Soit l’expression littérale : |
4a² + 5 b ´ 2c |
Calculer
sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation
de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43²
+ 5
8 25
= 36 + 400 |
436 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3²
+ 59,25
21,5
= 73,96 + |
212,71 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)²
+ 5
(+6) 2(-8)= 64 + ( - 480 ) = |
- 416 |
N°3 :Soit l’expression littérale : |
4a + ( 5 b
– 2c )² |
Calculer sa
valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation
de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43
+ ( 5
8 – 25)
² = |
912 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3
+ ( 59,25
– 21,5)²
= 17,2 + 612,5625 |
629,5625 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)
+ (5
(+6) – 2(-8))²= - 16
+ 2116 = |
2100 |
N° 4 :Soit l’expression littérale : |
4a + ( 5 b
– 2c )² |
Calculer
sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation
de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43
+ ( 5
8 – 25)
² = |
912 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3
+ ( 59,25
– 21,5)²
= 17,2 + 612,5625 |
629,5625 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)
+ (5
(+6) – 2(-8))²= - 16
+ 2116 = |
2100 |
N°5 :Soit l’expression littérale : |
+ 5 – (2
c ) ² |
Calculer
sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation
de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
+ 5
4 – ( 10 ) ² = 2 + 20 - 100 = = 2 - 80 |
= 2 ( - 40 + )
|
2°) |
-4 |
+6 |
-8 |
+ 5 fois – (2
-8 ) ² : résultat terminal
impossible |
Le calcul n’est pas possible pour |
CONSEILS :
Après
une première lecture : il faut prendre les travaux auto formatifs, et
travailler chapitre par chapitre.
Surtout ,
allez au « corriger » pour vérifier vos réponses.
Si le
devoir « contrôle » paraît long, passer le en plusieurs fois.
N°7/ 26 |
Voir :
►les TRAVAUX d ’ AUTO
- FORMATION à préparer sur feuille. |