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Pré
requis : notions préliminaires sur le calcul algébrique… |
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Pour + ‘info voir document « professeur ».
DOSSIER:
Cours
N°1 : ALGEBRE (Généralités)
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Signes et
lettres : emploi des lettres ; signes opératoires ;
coefficient ; le signe « multiplier » ; exposant ; signes
de relation ; les parenthèses ; l’énoncé ; formules.
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Devoir évaluation |
COURS
L ' algèbre existait bien avant l ' ère
chrétienne.
Nous
en trouvons des traces sur des tablettes retrouvées sur le site de NIPPUR
( Babylone) , vieilles de quatre mille ans , et
presque à la même époque , en Egypte .
Puis ce fut à la Grèce , pépinière
de savants philosophes et mathématiciens
, de reprendre le flambeau de l ' algèbre avant de les transmettre aux nations civilisées les plus proches de
nous : , celles des Indiens , celles de
Arabes qui l ' introduisent en Europe au
moyen âge(vers 950).
En
825 , un sage de Bagdad , al-Kharezmi
, écrivit un illustre traité de mathématiques intitulé AL-Djabr
w a J muqabalah ( l ' art d 'assembler et de réduire des inconnues pour les égaler à une quantité
connue).De là est né le nom ALGEBRE.
L ' algèbre
permet de réduire un problème concret à une ou plusieurs égalités simples où les
nombres à découvrir sont
remplacés par des lettres que l
'on appelle des "inconnues".
D
' où " Résoudre ": la
résolution d ' équations ou d ' inéquations , les calculs d 'expressions numériques ( exemple : 3 x2
- 7x +3 ) pour des valeurs de x appartenant aux ensembles de nombres relatifs sont des problèmes relevant de l ' algèbre.
Algèbre
Préliminaire:
Dans une question d'arithmétique le même nombre peut représenter deux grandeurs différentes.
On peut , par exemple, considérer
De plus , si on a ensuite un problème analogue à faire , on sera dans
l'obligation de refaire sur les
nouvelles données le même raisonnement que l'on avait fait précédemment
,puisqu'on ne sait pas la nature de la grandeur particulière représentée par
chacun des nombres écrits ; on ne pourra pas profiter des calculs antérieurs
pour obtenir plus rapidement le résultat.
Supposons maintenant que , dans l'exemple précédent, au lieu de laisser
les nombres , on convienne de représenter par "a" le nombre de mètres , par "b" le nombre d’euros
que coûte chaque mètre ( à l'
exclusion de tout autre signification)
:partout où l'on verra "a"
, on pensera au nombres de mètres ; et
partout ou l'on verra "b" , on pensera au nombre d’ euros .
Si dans la solution trouvée dans ces
conditions on remarque qu'il y a : b 
a ,cela voudra dire
qu'il faudra multiplier le nombre d’ euros
par le nombre de mètre et cela , dans
tous les exemples analogues , quels que soient d'ailleurs les nombres représentés par "a" et "b".
notation algébrique
La
notation b a équivaut à une phrase entière ; ce type de phrase est appelée "notation
algébrique"
La notation algébrique est une écriture
qui utilise des lettres et des signes opératoires
traduisant une situation mathématique .
But de l'algèbre:
L'algèbre a pour but la simplification et la
généralisation des questions sur les nombres:
L' algèbre a donc
pour but :
1°) de simplifier les calculs.
2° ) de faciliter la résolution des problèmes.
3° ) de généraliser les résultats obtenus.
La simplification est due à l'emploi de signes pour indiquer
les opérations et , dans les problèmes , de lettres pour désigner les nombres cherchés.
La généralisation est due à l'emploi de lettres pour
représenter les nombres donnés.
SIGNES ET LETTRES UTILISES EN ALGEBRE.
0n désigne
les nombres (quantités ) par des lettres. Autrement dit : les lettres servent à
représenter les nombres.
Au lieu de raisonner, comme en arithmétique , sur des nombres : « 4 » ;
« 6 » ; « 
» ; etc , on raisonne
sur des lettres : "a" , "b" ,
"c",… »x » ,
« y »,…censées représenter des nombres connus ou « à
connaître ».Les résultats auxquels on parvient ainsi offrent une grande
généralité , car, comme on ne précise pas sur quels nombres on opère, ils sont
vrais pour tous les nombres.
Les premières lettres de l' alphabet
"a" , "b" , "c", ….représentent ordinairement
les nombres (quantités) connus.
Les nombres que l'on se propose de chercher sont
désignés le plus souvent par les dernières lettres de l'alphabet :
"x" , "y" , "z" …que l'on appelle les
nombres ( quantités )
"inconnues"
L'algèbre emploie les mêmes signes que l'
arithmétique et quelques autres que nous
aurons occasion de définir au cours de la progression..
Nous rappelons brièvement les significations
des signes de l’arithmétique.
On a vu que les signes usités pour indiquer
les opérations sont :
1°) pour l'addition , le signe
"+" il se prononce : (plus) : l’ écriture « a
+ b » représente une addition
, "la somme" est le résultat de l’addition désignés par "a" et
"b" ,comme 3 + 5 représente
l’addition des deux nombres 3 et 5. ( 8
est le résultat de l’addition ).
2°) Pour la soustraction , le signe " -
" il se prononce (moins) : a - b
représente la soustraction des
nombres désignés par "a" et
" b" , comme 12- 7 représente
la soustraction des deux nombres 12 et
7. ( 5 est le résultat de l’opération , 5 est appelé la différence.)
3°) Pour la multiplication , le signe " " il se prononce (multiplié par ):
Lorsqu’on représente les nombres par les
lettres , on emploie souvent le ‘point » , ou même on se contente d’écrire
les deux lettres qui représentent les nombres à multiplier l’une à la suite de
l’autre
Sans intercaler un signe .
Ainsi ,
ab ; a .b ; et
ab représente le
multiplication du nombre désigné par
"a" par le nombre désigné par
"b" comme : 3 7 représente la multiplication du nombre 3 par
le nombre 7 , « 21 » est le résultat de l’opération ,
« 21 » est appelé « produit ».
On
simplifie la notation , on supprime le signe "" entre les facteurs : abc équivaut abc ,il faut souvenir de cette convention dans les calculs
algébriques.
Cas particulier de la
multiplication : On appelle
« puissance »le produit de plusieurs facteurs égaux.
. L’exposant de la puissance est le nombre de ces facteurs. Pour écrire
une puissance, on emploie une écriture abrégée, qui consiste à écrire une seule
fois la valeur commune des facteurs égaux et
à placer en haut à droite l’exposant .
4°) Pour la division , le signe "
:" il se prononce (divisé par
): a : b représente la division du nombre désigné par
"a" par le nombre désigné par "b" , comme 56 :4 représente la division de 56 par 4 .( le résultat de
l’opération est « 14 » , « 14 » est appelé « quotient »
. le résultat de la division est appelé « quotient ».
En algèbre , on
emploie de préférence la notation : 
qui s'énonce
"a" sur "b" et qui équivaut à "a" : "b" ( on reverra la définition de ce qu’est
« une fraction » ) .
5°) Radical : Le signe
est le même qu’en arithmétique , c’est à dire qu’on
écrira : 
ou 
pour « racine
carrée » de 8a et 
pour racine cubique
de 7b
Pour indiquer que l’on recherche une
racine d’un nombre ,
(on dit aussi « extraire » ,
on utilise le signe 
, ce signe porte le
nom de "radical" .sous le trait
horizontal place le nombre dont on doit
extraire la racine ;
l' ordre de la racine s'écrit au-dessus de l'angle formé à gauche du signe . ( c’est généralement un nombre entier )
Le
nombre qui indique l'ordre de la racine s'appelle l '"indice du radical" .
Ainsi
représente la racine
quatrième du nombre désigné par "a" ,
comme 
représente la racine quatrième du nombre "256" ,et le nombre "4" est ici l'indice du radical
.
Quand l 'indice du radical est 2 ou 3 , on
dit comme en arithmétique " racine
carrée , au lieu de racine deuxième , et racine cubique au lieu de racine
troisième.
Quand l' indice est 2 et qu'il n'y a pas de
radical ayant un autre indice que 2 , on peut ne pas écrire l'indice.
Ainsi
représente la racine
carrée de "a" , mais il faut écrire 
+
et non pas +
On appelle "coefficient" un nombre
ou une lettre représentant ce nombre que l'on place devant une quantité pour
indiquer le nombre de fois qu'il faut répéter cette quantité .
C'est en somme l'indication
du produit de ce nombre par la quantité sans utiliser le signe "multiplier" () ; on dit aussi : que le coefficient est un nombre
qu’on place à gauche d’une lettre comme multiplicateur et après un signe + ou -
.
Exemples:
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6a |
6 est le coefficient
de "a", cela veut
dire 6 |
Cette
écriture remplace l' addition
: |
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5 ( +7) |
5 est le coefficient du nombre relatif (+7) |
(+7) + (+7) + (+7) + (+7) + (+7) |
|
mx |
m est le coefficient de " x
" |
L’écriture m x
signifie « m fois x »
,le’ signe « multiplier » ne s’écrit pas pour ne pas confondre « x » et le
signe » x » de la multiplication
, donc m |
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Autre cas :
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Info +:cliquer ici |
IMPORTANT : Le
coefficient "1 " est toujours
sous entendu:
|
Elément neutre dans
la multiplication : le "1" |
SOS cours: cliquer ici |
AINSI:
|
a |
1 est le coefficient
de "a" |
a = 1 |
|
x |
1 est le coefficient
de "x" |
x = 1 |
Par
convention ,en algèbre le signe « multiplier » , « 
» n’ est jamais représenté pour éviter de le confondre avec
« x »
CONVENTIONS
D’ECRITURE:
Dans
les expressions algébriques le signe
« multiplier » n ‘ est jamais
représenté
On
ne trace pas la « croix » pour éviter
toute confusion avec la lettre « x »,qui est couramment utilisée pour représenter « l’inconnue » .
En l’absence de signe
,il y a toujours « produit » entre:
un nombre et une lettre : 3x ;lire
« trois fois ixe »
(le
mot « fois » doit être remplacé
par « multiplié par »
)
deux lettres :
ab ; lire « a fois b » ou « a » facteur « b »
un
nombre et une racine: 3
;lire « 3
fois racine carré de 18 »
un nombre et une parenthèse : 3 ( 2x + 1) ; lire
« 3 fois entre parenthèses 2
ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de 2ixe plus un »
les groupes de mots « fois
entre parenthèses » et « facteur de » ont la même
signification
.
une
lettre et une parenthèse: x ( 2x +2) , lire « ixe facteur de 2ixe plus 2 »
entre
deux parenthèses
: (2x+1)(3x+2) , lire
« 2ixe plus un » , entre parenthèses , facteur de « 3 ixe plus 2 »
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Pré
requis « calcul numérique ». |
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La
notation des exposants , indiquée en arithmétique ,
est employée aussi en algèbre: a5 représente le produit de 5 facteurs égaux au
nombre désigné par "a" , comme 35 représente le produit de 5 facteurs égaux à 3 (3132333435 )
Ainsi : a5 s'énonce "a puissance 5" , 5 est
l'exposant de la puissance. On dit que "a" est élevé à la 5ème puissance.
On appelle "exposant" un nombre ou une lettre que l'on place en
haut et à droite d'un nombre , d'une lettre, d'une
parenthèse ou d'un crochet pour indiquer la puissance à laquelle on doit élever le nombre , la
lettre , ou la quantité placée entre parenthèses ou entre crochets , c'est à dire le nombre de fois que cette quantité
doit être multipliée par elle même.
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Exemples: |
On
lira !!!!!! |
Ce
qui s’écrit aussi !!!!! |
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52 |
Se
lit : 5 exposant « 2 » ou 5 puissance 2 ou « au carré » |
52 = 5 |
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a3 |
Se
lit : "a" exposant « 3 »
ou "a" puissance
3 ou « au cube » |
a3
= a |
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(a-b) 2 |
Se
lit : (a-b) exposant
« 2 » ou (a-b)
puissance « 2 » |
(a -b) 2 = (a -b) |
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Attention !!! ( -5) ²
n’est pas égal à « - 5
² » ; on doit savoir que « - 5² » est l ‘écriture simplifiée de - ( +5 ) ² |
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A propos
de l'exposant 1 : par
convention on écrira 51 = 5 a1
= a x1
= x (a -b) 1
= (a-b) l’exposant « 1 » n’est jamais inscrit , mais il est parfois
utile de savoir qu’il « existe ». |
||
Terme algébrique . On appelle « terme » une expression
formée d’une ou plusieurs lettres , ayant
ou non un coefficient , et qui ne sont séparées par aucun signe + ou - .
Exemple : 4ab2 est un terme
On a vu que les signes usités en arithmétique pour indiquer la relation
qui existe entre deux nombres sont :
1° )
Le signe = (égal à ) : a
= b indique que le nombre désigné par
"a" est égal au nombre désigné par "b" comme
8 + 2 = 10 indique que la somme des deux nombres 8 et 2 est
égale à 10.
a
= b s' énonce " a égal à b " ou "a
égale b"
2°) le signe <
(plus petit que ) indique que le nombre placé à gauche de ce signe est
plus petit que le nombre qui est placé à droite du signe.
a< b indique que le nombre
désigné par "a" est plus petit que le nombre désigné par "b" , comme 1 + 3 < 5 indique
que la somme 1+3 est plus petite
que 5 .
a< b s'énonce "a plus petit
que b".
On
voit que le nombre le plus petit est du coté du sommet de l'angle.
3°) Le signe
> ( plus grand que ) indique que le
nombre placé à gauche de ce signe est plus grand que le nombre qui est placé à
droite du signe.
"a" >
"b" indique que le nombre
désigné par "a" est plus grand
que le nombre désigné par "b" , comme 12 - 2 > 9 indique que la différence 12 - 2
est plus grande que 9.
"a" >
"b" s 'énonce "a"
plus grand que "b".
On voit que le nombre le plus petit est encore du coté du sommet de l 'angle , comme dans l'emploi du signe
précédent .
4° ) Le
signe "¹ " (
différent de ) "a" ¹
"b" indique que le nombre désigné par "a" est différent du
nombre désigné par "b" , comme
3 + 2 ¹ 1 + 6 , indique que la somme 3+2 est différente de la somme 1+6 .
5° ) Le
signe £ ( inférieur ou au plus égal à ) : "a" £
"b" indique que le nombre désigné par "a" est
inférieur ou au plus égal au nombre désigné par
"b".
"a" £ "b" s'énonce
: "a" inférieur ou plus
égal à "b" .( on voit ce signe
en arithmétique dans la théorie de la division euclidienne)
6° ) Le
signe " ³ " (
supérieur ou au plus égal à ) :
"a" ³
"b" indique que le nombre
désigné par "a" est plus grand ou au moins égal au nombre désigné par "b".
"a"
³ "b" s'énonce
: "a" supérieur ou au moins égal à "b"
On emploie les parenthèses (…..)
, les crochets […..] ou entre « accolades : 
pour indiquer que l'on considère comme effectuées les opérations à faire sur les nombres qui y sont renfermés.
Ce
qui signifie que lorsqu’on place une quantité entre parenthèses (
…crochets….,..) on indique par là que cette quantité
forme un tout « inséparable »
Lorsque
l’on met une opération entre parenthèses , on indique par là
que l’opérations est considérée comme « a
effectuer » .
Ainsi ( a +
b - c) représente le nombre que l'on
obtient quand on a effectué le calcul indiqué par la notation a + b
- c
Alors
si on a (a + b ) (c + d ) ;
(a +b )
représente le nombre qui est la
somme de "a" et de "b" , que l'on désigne "A"
; ( c + d ) représente le nombre
qui est la somme de "c"
et de "d" , que l'on désigne "B" . On a donc une notation
de la forme "AB " , ce qui signifie qu'il faudra
multiplier A et B , c'est à dire
que (a + b ) (c + d ) indique
la multiplication du nombre " a+ b " par le nombre " c +
d ".
Il
faut apporter une très grande attention à l' usage des parenthèses ou des
crochets. Leur oubli dénature
complètement l' opération à faire
.
Exemples d'emploi de signes et lettres pour simplifier la
recherche de quantités.
Nous allons
montrer comment l'emploi de signes et de lettres pour désigner les quantités simplifie la
solution des questions sur les nombres .
Problème :
Trouver deux nombres , connaissant leur somme 40 et leur différence 12 .
Première
approche
: traitons la question par l'arithmétique.
La somme
des deux nombres est égale au plus petit plus le plus grand ; or le plus
grand est égal au plus petit augmenté de 12 , qui est la différence entre les
deux nombres ; donc la somme des deux
nombres est égale au plus petit plus le
plus petit augmenté de 12 , c'est à dire 2 fis le plus petit plus 12 ; mais la
somme est 40 , par conséquent 2 fois le plus petit nombre plus 12 = 40; 2 fois
le plus petit nombre vaut 40 diminué de
12 ou 28 ; une fois seulement le plus petit
nombre = 2 fois moins ou 14. Le plus petit nombre est 14 , le
plus grand est donc 26.
Vérification:
la somme des deux nombres 14 et 26 est bien 40 . Leur différence est de
12.
Deuxième
approche
: on reprend la même question en indiquant les opérations par
des signes et en représentant par
la lettre "x" le plus petit des deux nombres cherchés.
Le plus petit nombre étant "x" , le plus grand est "x+12 "
La somme des deux nombres sera
: x + x + 12 , ou 2x +12
Mais cette somme est par hypothèse
40 , donc on peut écrire:
2x + 12 = 40
|
retranchons « 12 » de part et d'autre : |
Voir Théorème sur les égalités |
2x + 12 - 12 = 40 - 12
2x = 28
d'où x =14
Le
plus petit nombre est de 14 ,
le plus grand
est x +12 ou
14 +12 ou 26
La
marche suivie dans les deux cas pour résoudre ce problème est absolument la même ; mais dans le premier
cas , le raisonnement semble pénible à suivre , car il faut chaque fois se
souvenir de ce que l'on a dit précédemment , tandis que dans le deuxième cas ,
à chaque étape du raisonnement , on a sous les yeux les résultats successifs
auxquels on arrive peu à peu et qui constituent autant de jalons.
La
simplification de la recherche des
problèmes a été mise en évidence dans l'exemple simple où la
solution arithmétique était aisée. Cette simplification deviendra plus
manifeste dans la solution des problèmes où le raisonnement par l 'arithmétique
est long et compliqué.
Commentaire
:
Mais dans le résultat obtenu , il n'y a
plus de trace des calculs que l'on a effectué pour l'obtenir .Si on a à résoudre de nouveau un problème analogue ,
il sera nécessaire de refaire les mêmes calculs pour trouver le nombre cherché.
Nous
allons montrer que l'algèbre généralise les questions sur les nombres et que cette généralisation
est due à l'emploi de lettres pour représenter les nombres donnés avec leur signification.
ENONCE
: (problème précédemment généralisé
) Trouver deux nombres connaissant leurs somme
"a" et leur différence "b".
Ainsi
on désigne "a" la somme des deux nombres cherchés et "b" la différence de ces deux nombres.
Soit
"x" le plus petit des deux nombres
cherchés , le plus grand est égal au plus petit augmenté de la
différence , c'est à dire de "b" ; le plus grand nombre sera donc
" x + b ".
La somme des
deux nombres sera donc : x + x + b
ou 2x + b ;mais
cette somme est désignée "a"
,
donc : 2x + b = a (1)
Retranchons "b" de part et d'autre : 2x + b - b = a - b
2x = a - b
d'où , en prenant la moitié (en divisant de part et
d'autre par 2 ) x = 
C'est le plus petit des deux
nombres. 2x + b = a
Ajoutons "b" de part
et d'autre , dans l' égalité (1) , nous
aurons
2x + b + b =
a + b
2x + 2 b
= a + b
d'où ,
en prenant la moitié (en divisant de part et d'autre par 2 )
x + b = 
; c'est le plus grand des deux nombres .
Donc si nous traduisons le résultat que l'on
vient d'obtenir , on écrira :
Le
plus petit des deux nombres cherchés s'obtient en retranchant la différence
donnée de la somme et en prenant la
moitié du reste .
Le
plus grand des deux nombres cherchés
s'obtient en ajoutant la différence donnée à la somme donnée et en prenant la moitié du total.
Commentaire: quels que soient désormais les nombres donnés dans un
problème de ce genre , on pourra immédiatement , sans faire les opérations
intermédiaires , calculer les nombres cherchés.
FORMULES : Les expressions 
et 
qui donnent les
valeurs des deux nombres cherchés du problème précédent ,
s 'appellent des formules.
Une formule est l'expression des calculs
à effectuer pour arriver à la
solution numérique d'un problème déterminé .
Exemple : calculer l’intérêt d’une somme
de 20 000 euros placés à 6 % , pendant 5 ans .
Solution voir
arithmétique : intérêt simple
En 1 an , le capital
de 20 000 rapporte :
Et en 5 ans , il
rapportera : 
Si l’on remplace Si l’on remplace le capital
par la lettre « c » , le taux par la lettre « a » , le
temps par la lettre »t » , et l’intérêt par la lettre « i »
,
on voit que l’on
aura : i = 
Cette forme d’écriture est appelée «
formule algébrique »
Pour voir des exemples de formules ►
|
TRAVAUX AUTO
FORMATIFS.
1.
Quels sont les buts
principaux de l' algèbre ?
2.
Donner un exemple de
notation algébrique :
3.
Qu'appelle -t -o n
notation algébrique ?
4.
En algèbre par quoi sont
désignés les nombres ?
5.
Que représente les
premières lettres de l' alphabet "a" , "b" , "c",
?
6.
En algèbre avec quelles lettres désigne -t -on les nombres cherchés ? comment les nommes t-
on ?
7.
Quels sont les signes
( 5 ) opératoires les plus usités en algèbre ;nommer l'opération ?
8.
Que représente les écritures
suivantes
|
a + b |
|
|
a - b |
|
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a |
|
|
a : b |
|
|
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9 .A quoi équivaut l'écriture algébrique
" abc"?
10 . A quoi équivaut l'écriture : ?
11 . comment s'énonce t elle ?
12.Comment appelle t on ce signe : ?
13. Qu
'appelle t on indice du radical ?
(donner un exemple )
.
14 . L' écriture suivante "+" est interdite
pourquoi ?
15. Coefficients:
a) Qu' appelle t on "coefficient "?
b) Un facteur seul peut être précédé d'un coefficient ; lequel ?
16 .Que désigne les signes suivants ?
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Traduire |
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Le signe = |
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le
signe < |
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Le signe > |
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Le
signe "¹ " |
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Le signe £ |
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Le signe " ³ " |
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17 . Traduire |
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a = b |
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a< b |
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|
"a"
> "b" |
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"a" ¹ "b" |
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"a" £ "b" |
|
|
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"a"
³ "b" |
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Que peut on dire sur la position des nombres situés à gauche et à droite des signes : <
et > ? :
LES PARENTHESES:
Qu
'indique l'emploi de parenthèses et
de crochets dans le calcul algébrique ?
Formule :
Qu'appelle- t -
on « formule » ?
Que signifie le mot résoudre une équation?
Nommer les coefficients :
|
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Le coefficient est : |
Montrer l’opération: |
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6a |
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mx |
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a |
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x |
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CALCUL
ALGEBRIQUE
|
Devoir |