LES EGALITES (n° 4/5) :    les  4    théorèmes sur la transformation d’une égalité.

Leçon importante à étudier  pour savoir transformer les formules mathématiques en sciences -physique

COURS

Objectif du cours sur les égalités :    Connaître ( énoncer )  et savoir  utiliser les quatre théorèmes de l’égalité.,

puis pour résoudre une égalité  on devra connaître les théorèmes de transformation des équations.

Théorème  N°1:

On peut ajouter un même nombre ou un même terme aux deux membres d’une égalité. *on dit que l’égalité reste "vraie".

Rappel: en mathématique le mot « ajouter   » est    toujours associé au signe  « + »

On dit aussi : que l' On peut ajouter l'opposé d'un terme, dans les deux membres de l'égalité . ( en vue de neutraliser ce terme).

              Commentaire :       ce théorème est utilisé pour neutraliser un terme dans un membre, en effet ,on neutralise un terme en ajoutant son opposé .,mais attention si l’on ajoute un terme dans un membre il faut ajouter  le même terme dans le second membre  pour que l’égalité reste vraie.

Exemples d’applications :

Voir : recette

Exemple de transformation n° 1:

Soit l’égalité

                        je peux  ajouter          au premier membre

                        mais pour que l’égalité reste vraie je dois ajouter    3 au deuxième membre de l’égalité.

                     alors l’égalité devient:

  commentaire :  l’égalité reste vraie puisque le calcul nous donne  18 = 18

Exemple de transformation n° 2 :

Soit  l’égalité   

        je peux  ajouter  3  au premier membre de l’égalité ,il faut  alors le même terme au deuxième membre

 l’égalité  précédente devient:

    Commentaire: si l’on fait l’opération possible on remarque  que le « 3 » du  premier membre disparaît;

     ainsi l’égalité se trouve transformée:  

Exemple de transformation  n° 3 :  

( on veut « x » tout seul … :    = ????????.)

Transformations L  et calculs

L’équation :

On transforme l’écriture  : 

Devient

En écriture ci-contre ( appelée :somme algébrique )

On doit faire « disparaitre le ( + 5 )

Pour cela , on ajoute l’opposé de ( + 5) =  (-5)  dans le premier membre ; 

Puis s’écrit :

Mais pour que l’égalité reste vraie  on doit ajouter le même nombre dans le deuxième membre ……

(x ) + ( + 5) + (-5) = (+ 12)+ (-5)

Dans le premier membre on  calcule : ( + 5) + (-5) = 0

On obtient ensuite :

Après simplification on obtient :

Puis  on calcule :

 =  ( +7 )

Conclusion : on obtient la valeur numérique de « x » qui permet de trouver qu’ avec la valeur +7  l’égalité est vraie…..

Pour simplifier on peut écrire :

Vérification   : 7 + 5 =………………..  = 12

Conclusion n°2 :                       x = 7 est la solution de l’égalité ….

Théorème N°2

On peut retrancher un même nombre ou un même terme  aux deux membres d’une égalité. 

  On dit que « l’égalité reste vraie ».

Exemples d’applications du théorème n° 2 :

Exemple N°1

   soit l’égalité       10 + 5    =  15

 exercice:  Supposons que  je décide de soustraire  « 3 »  au premier membre.

         je peux  retrancher  «   3 »  au premier terme de l’égalité ; mais je suis obligé de faire de même dans le deuxième membre ,pour que l’égalité reste vraie:

                              10  +  5  - 3  =  15  - 3      l’égalité reste vraie   

               si je fais le calcul, ,je remarque que j’ai bien  12 est égal  à 12

Exemple N°2 :

  soit l’égalité:              c  +  3   =   b  

 exercice :     je décide de soustraire  « 3 »   au premier membre,

                              dans ce cas je dois faire de même dans la deuxième membre ,pour que l’égalité reste vraie. :   c  + 3   -  3    =  b   -  3

                           si je simplifie       (c’est à dire que j fais le calcul possible),j’obtient l’égalité suivante:        c     =   b  -  3

Exemple 3 : 

Transformations L  et calculs

Procédure :

On ajoute - 5

On calcule :  5 - 5 = 0

On calcule  12 –5

Conclusion :

Commentaire : la plupart du temps ce cas est traité différemment ; on transforme l’expression en somme algébrique , il suffit alors d ‘ajouter au nombre son opposé

Important : la soustraction n’existe pas avec les nombres relatifs , il faut toujours transformer l’expression algébrique en somme algébrique, et ajouter l’opposé du terme que l’on veut faire passer dans l’autre membre.

THEOREMES   :  APPLICATIONS

   A partir des exemples précédents on peut  apprendre et appliquer les « recettes »  suivantes et que l’on nomme des « corollaires »:

Attention : ce ne sont que des recettes , elles ont des limites et tous les exercices d’algèbre  ne peuvent être résolus avec ces méthodes ! ! ! !

Corollaire  N°1 :            Tout terme d’une égalité  qui change de membre change de signe.

(cela découle du théorème 1 )

ainsi l’égalité        se transforme     et devient       

AINSI:

Devient la somme                      

Transformation:

   soit après simplification   

Commentaire : 

Le terme  « - 3   » passe du premier membre dans le deuxième membre ,alors  « -3   » du premier membre devient « +3 » dans le deuxième membre.

autre exemple:

 l’égalité             devient ; après transformation           

Commentaire:      Dans une égalité ,on peut faire passer un  terme d’un membre dans l’autre ,à condition de changer son signe.

ATTENTION : dans ce cas le terme n'est que la valeur numérique ,cela pose parfois des problèmes , il est préférable de passer par la somme algébrique.

     devient          qui peut devenir   3x = 10

Méthode préconisée

Il faut passer par une étape intermédiaire :

Exemple 

3x +15 =  25

Il faut transformer l’expression en somme algébrique @

(+3x)+( +15) = (+ 25)

(+3x) = (+ 25) +( -15)

3x = ( + ( 25 – 15))

3x =  (+10)

Autres transformations possibles (pas très utiles)

1°)       3x +15 = 25     ;

on fait passer « 3x » dans le second  membre !

               devient        15  =  25  - 3x              qui peut devenir            15 -25 = - 3x

               nous obtenons   l’égalité       - 10 = - 3x

« problème : le signe - dans les deux membres ;  que l’on résoudra  en multipliant les deux membres par « -1 » , on obtiendra en fin de compte l’égalité  : 10 = 3x

2°)     3x + 15  = 25 

   on fait passer « 25 » dans le premier  membre !

 l’égalité devient        3x+15 - 25 =  0 

  qui peut devenir  par l’addition des nombres :      3x  -  10  = 0

Rappel :  pour   faire  le calcul  15 - 25

,il faut transformer l’expression « 15 – 25 » en une somme algébrique (+15)+(-25) ;  et voir l’opération (+15)+(-25);qui est l’ addition  de deux nombres relatifs de signe contraire .

La transformation idéale :

             il faut conserver les « x » positifs dans le premier  membre et mettre toutes les valeurs numériques dans le second membre !

       devient            qui peut devenir     

Commentaire :  Toutes les transformations ,précédentes , sont vraies,

  La « meilleure »  transformation  est fonction du résultat recherché,

Celle qui est  intéressante est celle qui a permis  d ’ isoler le terme contenant les  « ixe »,en vue de rechercher  la valeur de « ixe » :( voir l’objectif: résoudre une équation EG3.)

Recette N° 2 : On peut supprimer un terme commun  aux deux membres d’une égalité, (  l’égalité reste vraie)

Exemple :  soit l’égalité

                         15+ 3x  + 3y     =   35 +  2x +3y

On remarque que dans l’égalité  que les deux membres ont  « 3y » comme terme commun, on peut donc  supprimer les termes communs,

l’égalité devient donc:

                                15 +3x  = 35 + 2x

ADDITION de deux égalités :

*si nous avons deux égalités , nous pouvons additionner les premiers membres entres eux et les deuxièmes membres entre eux ,la nouvelle égalité reste vraie.

Exemple:

soit l’égalité  (1)       

et l’égalité    (2)

addition  (1) +(2)    donne :     

                    19x   + 12    =      5 x    +  1

15 x + 4 x = 19 x

2x + 3x = 5 x

9 + 3 = 12

5 – 4 = 1

Utilisation et intérêt : voir  la résolution d’un système d’équations :

Théorème N°3

On peut multiplier  les membres d’une égalité par un même nombre, ou facteur(s),non nul.

Commentaire: cela revient à multiplier tous les termes de l’égalité par ce même nombre ou même facteur(s),l’égalité reste vraie.

Exemple:   1

       soit l’égalité:                           8 +  7     =     2  +  13   

 je peux , par exemple   , multiplier les 2 membres  par   «  » , sans modifier l’égalité , l’égalité  reste vraie:

                                 (  8 + 7 )   =    (  2  +  13 )

 pour obtenir un résultat  je devrais développer  ( voir Cours : « développer » )

   autre possibilité:

       «multiplier les deux membres d’une égalité  cela revient à multiplier tous les termes de l’égalité » ;    alors dans ce cas le résultat donnera directement:

(a) (8)  + (a) (7)  =   (a) (2) +  (a)  (13) 

on écrira  le résultat de façon plus « élégante »    

8 a  + 7 a  =  2 a  + 13 a

autre exemple: (on multiplie les deux membres par un nombre) 

soit l’égalité:                           8 +  7     =     2  +  13   

 je peux , par exemple   , multiplier les 2 membres  par   « 3  » , sans modifier l’égalité , …………………l’égalité  reste vraie:

3   (  8 + 7 )   =   3  (  2  +  13 )

 pour obtenir un résultat  je devrais développer  ( voir Cours : « développer » )

   autre possibilité:

       «multiplier les deux membres d’une égalité  cela revient à multiplier tous les termes de l’égalité » ;    alors dans ce cas le résultat donnera directement:

(3) (8)  + (3) (7)  =   (3) (2) +  (3)  (13) 

on écrira  le résultat de façon plus « élégante »    

24   + 21   =  6   + 39

on additionnera pour se rendre compte que l’égalité est encore « vraie »  .

 ( faites  les additions  )

!!

Exemple 2 :   Résoudre      

Procédure :

Se rappeler   que :          SOS COURS

 est le produit de « x ou » par  soit   :    = 

on multiplie X/3 par 3/1 ; pour neutraliser le « 3 », mais il faut multiplier le deuxième membre « 21 » par « 3/1 »

Après  calculs  ou simplifications , on obtient :

x    =  63

Remarques:

Je peux  multiplier tous les termes  d’une égalité   par  « -1 »  ,cela à pour conséquence de changer tous les signes qui précédent les termes.

APPLICATION algébrique:

On a  transformé  l'égalité

+ 1,5   =  2 x

Pour devenir une égalité équivalente:

+    = 

On veut faire disparaître le dénominateur:

Il suffit de multiplier tous les termes par le nombre 7

+    = 

Après calcul :on obtient l'égalité suivante:

3x + 10,5 = 14x

Autre exemple :

Pour passer de l’égalité suivante

-+ = -+

à l’ égalité équivalente:

90 x- 100x + 480 = 72x - 135 x + 639

il faut multiplier tous les termes de l’égalité par le même nombre : « 60 »

(voir multiplication d’une fraction par un nombre)

-+ = -+

les « 60 » s’annulent pour chaque terme

Nous obtenons bien l’égalité :

90 x- 100x + 480 = 72x - 135 x + 639

Théorème  N°4

On peut diviser les deux membres d’une égalité par un même nombre  ,non nul . "l'égalité reste  vraie"

Commentaire: cela revient à diviser tous les termes de l’égalité par ce même nombre,(on peut dire aussi facteur(s) ).

Exemple:

  Soit l’égalité:                                   8 +  7  =   2   +  13 

je peux  diviser l’égalité par   3

dans ce cas j’écrirai                     

ou je pourrai  écrire                     

l’égalité reste « vraie »  si je divise les deux membres  d’une égalité par la même valeur (ou quantité)

Application algébrique :  soit l’équation type   :    = c ; ( c’est la forme d’une multiplication , « c » est le produit . ;  transformer l’égalité pour obtenir les trois égalités suivante  (trouver le deuxième membre)  :   a = ? ;  b = ? ; c = ?

Exemple numérique

Modèle théorique :

  ;   on cherche ""

Si      3  a   = 15 ,pour obtenir la valeur  de ""

On divise par "3" chaque membre

          =   

         1 a   = 5

             a = 5

il faut vérifier si 3 fois 5 = 15

Si      

On veut "a" , on divise les deux membres par "b"

  =

après simplification:

a =

Activité :  Procéder de la sorte si l'on cherche " b"

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1 ) Enoncer les quatre théorèmes permettant de transformer une égalité.

 Compléter les phrases suivantes:

 2 )  Un terme change de membre ........................................................

 3 )  Je peux ,mais je dois  multiplier tous les ...........   d’ une égalité.

 4 ) Je peux ,mais je dois diviser tous les  .... .............  d’une égalité

  5 ) Je peux changer tous les signes  des termes d’une égalité  cela revient à  .........           

Evaluation:

 (Voir les transformations  de formules)

1   )    Ajouter   « + 5 »  à l’égalité

 2  )    Ajouter    « - 5 »  à l’égalité

3   )   soustraire  « 2y »   à l’égalité

4 )   multiplier   par « 4 »  l’égalité

5 )  multiplier  par  « -1 »   l’égalité.

6  ) diviser par  « 2 »    l’égalité.