Pré
requis
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5°)
Résumé du cours « intérêts simple ») niveau 4 (bac pro.) |
MATH
FINANCIERE :
Leçon : LES POURCENTAGES et
INTERETS SIMPLES
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité :
les pourcentages |
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les
mathématiques financières mettent en relation une personne (morale ou physique
) qui prête une somme d ’argent (
appelée : « prêteur » ) et une personne qui « emprunte cet
argent (appelée
« emprunteur » ) .
La somme d’argent prêtée ( appelée
« capital ») rapporte de l’argent à celui qui le prête.
L’argent est prêté a un
« certain » taux exprimé en pourcentage .Le taux est
« l’intérêt » produit par un capital de 100 francs placé pendant un
an.
L’intérêt est proportionnel
au capital .
Cet intérêt est appelé « loyer de l’argent » (ce loyer de l’argent varie
,il est fixé par l’état ou les banques.)
Il existe deux types d’intérêt :
les intérêts simples : l’intérêt est dit « simple »
lorsqu’il est proportionnel à la durée du prêt.
Les intérêts composés : l’intérêt
est dit « composé » si à la
fin de chaque année , l ’ intérêt simple produit
pendant l’année précédente est ajouté au
capital, cet intérêt produisant à son tour des
intérêts. (on
dit alors que l’intérêt est « capitalisé » .)
LES INTERETS SIMPLES :
Généralités :
Les variables ,conduisant à des calculs différents , concernant « les intérêts simples »
sont :
n
l ‘intérêt lui même (on peut avoir à rechercher le montant de
l’intérêt) que l’on notera par la lettre « I »
n
le capital (on peut avoir à
rechercher le montant du capital placé)que l’on notera
par la lettre « C »
n
le taux de placement (on peut avoir à rechercher le taux de placement )que l’on notera par l a lettre « t ».Le
taux s’exprimant en « pour cent », on écrira « t %
,ce qui donne la fraction 
»
n
la durée du placement (en effet le montant de l’intérêt étant
proportionnel à la durée du placement ,on peut avoir à
rechercher la durée (en an , mois
ou et jours) du placement. Que l’on
notera par la lettre « m » si
l’on désire avoir le temps de placement en mois
ou que l’on notera par la
lettre « n » si l’on veut
exprimer le temps de placement en jours .
Par définition : l’intérêt simple est
la somme d’argent que rapporte par un capital
(prêté si l’on se place du coté du prêteur) placé pendant un an .
C’est aussi la somme d’argent que doit verser un emprunteur pour ce même
capital emprunté pendant un an
Attention la notion de temps est fondamental ,elle intervient obligatoirement dans le
calcul du montant des intérêts ,à toucher ou à verser.
Intérêts = ( Capital 
)
durée
.
On
peut calculer ce que rapporte un capital en fonction du temps de
placement :
Cas
1 : l’argent est placé pendant un an
Cas
2 : l’argent est placé
pendant un « certain » nombre
de mois
Cas
3 : l’
argent est placé pendant un
« certain » nombre de jours .
(Voir
les trois cas pages suivantes ).........................
Ce que l’on peut demander :
A) Savoir
faire le calcul de l’intérêt. en fonction de la durée exprimée
« an » ; « mois » et
ou « jours »
B ) à partir de la relation mathématique utilisée
précédemment ,on peut demander de savoir :
- Faire un calcul de taux de
placement.
- Faire le calcul de la durée de placement.
>>>Calcul
de l’intérêt.
En fonction
de la durée exprimée « an » ;
« mois » ou « jours »
« ON PLACE L’ARGENT PENDANT UN AN » :
Calcul
du montant de l ’ intérêt rapporté par un capital placé pendant un
an :
A savoir : L ‘ intérêt rapporté par un capital
prêté pendant un an est égal au produit
du capital par le taux pour cent par « un » an .
Traduction :
I = ( C 
)1 ,
ce qui donne , par transformations successives :
I =
C
I = 
I = 
à
retenir :
I = 
APPLICATION :
Calculer le revenu annuel d’une somme de 7500 € placée à
4,5 %.
Résolution :
1)
soit l’égalité : I
=
2)
J’identifie :
C = 7500 ;
t = 4,5
; I = ?
3)
Je remplace dans (1)
I
= ( 7500 4,
5 ) : 100
4)
Calcul(s)
a)
7500 fois 4,5 = 33750
; b) 33750 : 100 =
337,50
5) Conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de 7500 € placé à 4,5 % en un an rapporte :
337,50 €
II ) CAS : ON PLACE L’ARGENT PENDANT « m » MOIS :
Si
l’on place l’argent pendant un
« certain nombre de mois » ( m) :
On dira : que L ‘ intérêt rapporté par un
capital prêté pendant un an est égal au
produit du capital par le taux pour cent par « un » an .Pour trouver
le montant de l’intérêt gagné en
« m » mois de placement , on
divisera l’intérêt par 12 ( 12 mois dans une année)pour connaître le
montant de l’intérêt rapporté en un mois
,le résultat trouvait sera multiplié par « m » le nombre de
mois correspondant à la durée du placement
.
1 ) On
calcul le montant de I : I =
2 ) on
divise I par 12 : (pour connaître
le montant de I pour un mois de placement )
I (pour 1 mois )= :
12
3 ) On
calcul le montant de I pour « m » mois de placement :
I (pour
« m ») = ( :
12 ) m
Ce qui donne la formule :
pour « m » mois I = 
APPLICATION :
Calculer le revenu des intérêts d’une somme de 7500 € placée à 4,5 %
pendant 3 mois
.
Première
méthode : (on
procède par étape)
Résolution :
A
)
Calcul du capital placé pour un
an :
1)
soit l’égalité : I
=
2)
J’identifie :
C = 7500 ;
t = 4,5
; I = ?
3)
Je remplace dans (1)
I
= ( 7500 4,
5 ) : 100
4)
Calcul(s)
a)
7500 fois 4,5 = 33750 ; b)
33750 : 100 = 337,50
5) première conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de 7500 € placé à 4,5 % en un an
rapporte : 337,50 €
B ) Calcul de l’intérêt rapporté en un
mois :
337.50 : 12 = 28,125 €
C ) Calcul
de l’intérêt rapporté en trois mois : 28 , 125 3 =
84,375 €
D ) Conclusion :
L’intérêt rapporté par un capital de
Deuxième méthode : « calcul direct »
On utilise la relation suivante : pour « m » mois I =
1 ) soit : I =
2)
on identifie :
I= ? ; C = 7500 ; t = 4,5 ; m = 3
3)
on remplace : dans (1) I = (75004,5
3)
: 1200
4)
Calculs :
7500 fois 4,5 = 33750
33750 fois 3 = 101250
101250 :1200 = 84.375
5 )
Conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de 7500
€ placé à 4,5 % pendant trois mois est
de : 84, 38 €
III cas ) DUREE
DE PLACEMENT EN
« n » JOURS :
On place
l’argent pendant un « certain
nombre de jours » ( n) :
(pour simplifier les calculs ,on considère
que l’année commerciale comporte 360
jours)
On sait que L ‘ intérêt rapporté par un capital prêté
pendant un an est égal au produit du
capital par le taux pour cent par « un » an .
Pour
trouver le montant de l’intérêt gagné en
«n » jours de placement , on
divisera l’intérêt par 360 ( 360 jours dans une année commerciale )
pour connaître le montant de l’intérêt rapporté en « un » jours
,ce résultat trouvait sera multiplié par «n » ( le nombre de jours correspondant à la durée du placement ) .
1 ) On
calcul le montant de I : I =
2 ) on divise
I par 12 : (pour connaître le montant de I pour un mois de
placement )
I (pour 1 mois )= :
360
3 ) On calcul le montant de I pour « n »
jours de placement :
I (pour
«n »jours )
= ( :
360) n
Ce qui donne la formule :
pour «n »jours
I = 
APPLICATION :
Calculer le revenu des intérêts d’une somme de 7500 € placée à 4,5 %
pendant 72 jours .
Première
méthode de résolution : (on procède par étape successive )
Résolution :
A ) Calcul du capital placé pour un an :
1)
soit l’égalité : I
=
2)
J’identifie :
C = 7500 ;
t = 4,5
; I = ?
3)
Je remplace dans (1)
I =
( 7500 4,
5 ) : 100
4)
Calcul(s)
a)
7500 fois 4,5 = 33750
; b) 33750 : 100 =
337,50
5) première conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de 7500 € placé à 4,5 % en un an
rapporte : 337,50 €
B )
Calcul de l’intérêt rapporté en un jour : 337.50 : 360 = 0,9375 €
C ) Calcul
de l’intérêt rapporté en trois mois : 0,9375 72 =
67,50 €
D ) Conclusion : l’intérêt rapporté par un capital de
Deuxième
méthode de résolution :
On utilise la relation suivante : pour
«n »jours I = 
1 ) soit pour «n »jours I
=
2)
on identifie :
I= ? ; C = 7500 ; t = 4,5 ; n= 72
3)
on remplace : dans (1) I = (75004,5
72)
: 36000
4)
Calculs :
7500 fois 4,5 = 33750
33750 fois 72 = 2430000
2430000 :36000 = 67,50
5 )
Conclusion :
l’intérêt rapporté par un capital de
TRAVAUX
AUTO – FORMATIFS ( devoir type )
Répondre
aux questions suivantes :
1.
Comment nomme - t- on la
personne qui prête de l’argent ?
2.
Comment nomme - t - on la personne qui emprunteur de
l’argent ?
3.
Comment appelle -t- on la
somme d ’argent que l’on emprunte ou que l’on prêt ?
4.
Compléter la phrase :
L’argent est prêté à un « certain » ......... ; exprimé en
...........
5.
Qu’appelle t - on
taux ?
6.
Que rapporte l’argent prêté ?
7.
Quelle est la relation qui
lie le taux et le capital. ?
8.
Qu’appelle - t on
« loyer de l’argent »
9.
Combien existe - t -
il de types d’intérêt ?
10.
Quand dit - t - on que « l’intérêt est
simple »
11.
Un intérêt qui n’est pas
« simple » est dit « intérêt ...................... »
12.
Quand dit - t - on que
l’intérêt est « composé » ?
13.
Que devient l’intérêt au
bout d’un an ?
14.
LES INTERETS SIMPLES :
1.
Quelles sont les variables
qui interviennent dans le calcul des intérêts simples ?
2. traduire en écrit littéral : Intérêts = ( Capital )durée
.
3.
Que peut - on dire concernant la durée de
placement et le montant de l’intérêt ?
4.
Compléter la phrase :
l’intérêt simple est la somme d’argent que
rapporte.............................pendant ..................
5.
Combien de jours retient - on
pour une année commerciale ?
6.
Quels sont les variables
« temps » utilisés ,distinctement, pour le calcul des intérêts ?
7.
Voici trois relations
mathématiques utilisées pour le calcul
« d ’ intérêts » ;préciser la particularités de chacune d’elles
.
1
°) I =
2° ) I
=
3° ) I =
I ) Calculer le revenu annuel d’une somme de
II)
Calculer le revenu des intérêts
d’une somme de
III ) Calculer le revenu des intérêts d’une somme de
Faire un calcul
de capital.
Exercice : Trouver le capital qui , placé
à 4,5 %,à produit en 72 jours un intérêt
de 54 €
Faire un calcul
de taux de placement.
Exercice : Trouver à quel taux a été placé un capital
de 5 000 € , sachant qu’en 7 mois l’ intérêt
produit a été de 350 € .
Faire le calcul
de la durée de placement.
Exercice : Trouver combien de temps il faut
placer 8 000 € à intérêt simple au taux de
4,5 % pour que l’intérêt produit soit de 100 €
.
Les caisses d’épargne :
Les caisses d ‘épargne ( caisse d’épargne et de
prévoyance , caisse nationale d’épargne
) reposent sur les mêmes
principes : l’argent placé est disponible à tout moment. ’intérêt est
calculé par quinzaine, il part du 1er ou du 16 (du mois qui à suivi le versement , et cesse
le 1 ou le 16 du mois qui a précédé le remboursement.
Ainsi le
retrait le 15février ou le 15 mai d’une somme destinée à payer le tiers
provisionnel fait perdre l’intérêt correspondant à la première quinzaine du
mois considéré.
Exemple d’un compte de caisse d’épargne.
Le calcul
est effectué avec un taux annuel de 8,5 %, ce qui fournit un taux proportionnel de 0,354 % par
quinzaine ( diviser 8,5 par 24 )
|
Date |
versement |
nombre
de quinzaines |
intérêt |
date |
retrait |
nombre
de quinzaines |
intérêt |
|
1/1 (report) 7/3 15/4 12/7 7/9 |
640 500 300 400 500 |
24 19 17 11 7 |
54.40 33,75 18,06 15,58 12,40 |
13/5 29/10 |
900 400 |
15 4 |
47,81 5,67 |
|
|
2340 |
|
134,09 |
|
1300 |
|
53,48 |
l’ « avoir » au 31/12 sera
de :
(2340+134.09)-(1300+53,48) =
Pour
chaque opération, on calcule les intérêts jusqu'à la fin de l’année ;ceux de
la colonne 4 sont donc à ajouter, tandis que ceux de la colonne 8 sont à
retrancher.
Remarque : le dépôt d’une somme C au cours
d’une quinzaine suivi du retrait de cette même somme avant la fin de la
quinzaine se traduit par un intérêt négatif du capital C pendant une quinzaine
.(cela afin de décourager les dépôts
trop brefs et des écritures inconsidérées.)
Refaire les
calculs en appliquant le taux actuel de 4,5 %