INFORMATIONS sur |
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
Année
scolaire : ……………………… |
Dossier pris le : ……/………/……… |
Validation de la
formation : O - N Le :
…………………………………….. Nom du
formateur : …………………… |
ETABLISSEMENT : ………………………………………….. |
Devoir exercices sommatifs de(doit conclure le niveau) niveau V entrée niveau IV. |
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Cette leçon est
très importante. Elle doit être
entièrement étudiée. Elle doit faire l’objet d’une attention toute
particulière , elle est « particulièrement » longue à traiter ( il
y a 4 règles fondamentales à
apprendre, dont une difficile à retenir,et il faut du temps pour apprendre ).
Chaque étape ( chapitre) doit être maîtriser . Tous les chapitres doivent être entièrement maîtrisés. La non maîtrise d’un seul de ses chapitres, risque
d’entraîner des erreurs, par ignorance, notamment lorsque
l’on recherchera une valeur dans le cas d’une résolution d’équation ou
lorsque l’on devra faire une étude de
fonction . Cette leçon ,
demande du temps pour la comprendre , apprendre les règles et les
utiliser , il est conseillé de
travailler, en même temps ( en parallèle) ,une autre leçon en commençant
par : ( voir la leçon n° 14 ) |
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Leçon |
Titre |
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N°6 |
COURS :
LES NOMBRES RELATIFS (identifications et opérations). |
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CHAPITRES : |
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iinformations sur l’emploi des nombres relatifs :Dans
la vie courante on utilise les nombres relatifs : pour exprimer une
température ( +20°) . (voir les travaux en
arithmétique) ( - 5°) ; pour
parler de son compte en banque ( je suis à
- 800 € ;ou je suis à + 800 € ) ; on entend à la radio que
la bourse (le CAC 40 ) a monté de + 2,6% ; ou a baissé de - 0,5% ,un plongeur a plongé à
-12 m ; …. . Vous pouvez
trouver d’autres exemples. Il
faut apprendre à les reconnaître ces nombres relatifs et faire des opérations avec ceux - ci . Ci
dessous , on a représenté dans le tableau les mesures de températures
relevées au cours d’une journée. On pourrait faire de même
avec les notes obtenus sur un mois de scolarité ;…. Trouvez des exemples . |
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Définition : Un alignement horizontal de chiffres précédé d’un
signe + ou - , dans des
parenthèses est appelé : nombre
relatif . |
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Cet alignement de
chiffres « 5,6 » s’appelle : « valeur absolue ». |
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Cet alignement de
chiffres « 3,5 » s’appelle : « valeur
absolue ». |
Exemples |
( + 5,6
) ou
( - 3, 5 ) |
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Nombre relatif
positif : ( + 5,6 )
|
|
Nombre relatif
négatif : ( - 3, 5
) |
Commentaire : Un nombre relatif peut être positif ou
négatif ! Ne pas confondre , par exemple : ( - 5,38 ) et ( + 5,38 ) . |
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Les nombres « opposés » :
représentation graphique des nombres décimaux relatifs .
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La lettre
D - désigne
l’ensemble des nombres relatifs négatifs. La lettre
D + désigne
l’ensemble des nombres relatifs positifs. Déterminer sur la droite
le Lieu du point « A » ( - 5,38 ) et
le lieu du point
« B » ( + 5,38 ) On dit
que ( - 5,38 ) et ( + 5,38 ) sont à l’opposé du zéro . |
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RESUME |
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Nombre relatif positif |
Nombre relatif négatif |
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Définition : Un alignement de chiffres
précédé d’un signe
« plus » entre
parenthèses est un nombre relatif positif . Exemple : ( +
35,7 ) Remarques : La
forme simplifiée d’un nombre relatif positif ( + 35,7 ) est
+ 35,7 Une
simplification abusive, assimile « 35,7 » à un nombre relatif . Il est
abusif d’écrire que : ( + 35,7 ) = 35,7 |
Définition :Un alignement de
chiffres précédé d’un signe « moins » entre parenthèses est un nombre relatif négatif . Exemple : ( - 35,7 ) Remarques : Exemple
de simplification d’écriture : -
35,7 est une simplification du nombre relatif négatif ( -35,7). |
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i Le nombre zéro
est considéré à la fois comme « positif » et « négatif »
. |
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Définition : Les nombres relatifs de signe
contraire sont dits : opposés. Exemple 1 : (-3,7) et (+3.7) sont des
nombres opposés ( info plus Cd : sur l’opposé
d’un nombre
) Dans
les nombres relatifs, l’alignement de chiffres séparés ou non par un virgule
est appelé « la valeur absolue » du nombre relatif . Exemple 2 : 3,7 est la valeur absolue de ( - 3,7 )
et de ( + 3 ,7 ). |
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RESUME DU VOCABULAIRE UTILISE |
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Nombres relatifs |
Nombre relatif positif |
Nombre relatif négatif |
Forme simplifiée |
Valeur absolue |
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( + 3,7) |
( + 3,7 ) |
|
+ 3,7 |
3,7 |
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( - 3, 7 ) |
|
( - 3,7 ) |
- 3,7 |
3,7 |
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Attention ; Il ne faut pas
confondre : le nombre décimal 3,7
avec le nombre décimal relatif
( + 3,7 ) qui lui a pour
« valeur absolue » la
valeur 3,7 (En
arithmétique nous utilisons exclusivement
des nombres décimaux ,En algèbre , nous utilisons exclusivement des nombres
relatifs. l’information sur le calcul
à faire et l’utilisation des nombres
« positifs » ou et des nombres relatifs est donnée par le professeur ou dans l’énoncé i On ne devrait pas et on ne peut pas assimiler le nombre « 3,7 » à la forme simplifiée du nombre relatif positif : + 3,7
.Ce sont deux nombres différents .Ils appartiennent à deux ensembles
de nombres différents. SIMPLIFICATION @
D’UN NOMBRE
RELATIF Positif
: ( +3) Je peux simplifier un nombre relatif
positif ,pour cela il suffit de supprimer les parenthèses et le signe + se trouvant entre les parenthèses Donc
( +3) devient "simplifié"
3 ; mais attention danger ! il faut savoir faire l' inverse.. C’est à dire que :
5,6 est en
fait le nombre relatif ( + 5,6)
Négatif
: ( -3) Je peux simplifier un nombre
relatif négatif ,pour cela il suffit
de supprimer les parenthèses et conserver le signe -
se trouvant entre les parenthèses Donc ( -3) devient "simplifié" -3
; mais attention danger ! il faut savoir faire l' inverse.. C’est à dire que :
- 7, 3 est
en fait le nombre relatif ( - 7,3 ) A
propos de ce qu ‘il faudrait
dire lorsque l’on est en présence de deux nombres relatifs : 1°) Soit , par exemple , deux nombres
relatifs : ( - 2 ) et
( + 3) on pourra dire que : Le
nombre (+3) est plus grand que le nombre (-2) La valeur absolue « 3 » du nombre
( + 3 ) est plus grande que la valeur absolue « 2 » du nombre ( +2) 2°)
Soit deux nombres relatifs : (
- 5 ) et ( + 3) : Le
nombre (+3) est plus grand que le nombre (-5) La valeur absolue « 5 » du nombre
( - 5 ) est plus grande que la
valeur absolue « 3 » du
nombre ( +3) Le nombre ( + 3) est plus grand que le nombre (- 5) Le nombre qui a la plus grande valeur
absolue est le nombre ( -5) Le signe du nombre relatif qui a la plus
petite valeur absolue est « + » Le signe du nombre relatif qui a la plus
grande valeur absolue est « - » |
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Définition : -
Tout nombre relatif négatif est
inférieur ou égal à zéro . - Tout nombre relatif
positif est supérieur ou égal à zéro . - Un nombre relatif
négatif est plus petit qu’un nombre relatif positif . |
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A ) Comparaison de deux nombres
« négatifs » |
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Règle : Si deux nombres relatifs sont négatifs , le plus
petit est celui qui a la plus grande valeur absolue ; le plus grand est
donc celui qui à la plus petite valeur absolue . |
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Exemple : ( - 6 ) est plus petit que ( -2 ) , parce que -6
est le plus éloigné de 0 sur une droite graduée . ( info plus Cd : voir repérage des nombres
relatifs sur une droite ) INFO :
le signe ± signifie
« + » ou « - » superposé , il faut lire « plus ou moins »
. L’écriture
( ± 5 ) ; désigne
à la fois le nombre ( +5) et le nombre ( -5)
(Nota :
ce signe est employé pour désigner la valeur de « x » , dans la
résolution de x ² ) |
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Représentation graphique des nombres décimaux
relatifs :
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Sur une droite graduée , sur laquelle on à
placé un point d’abscisse « O » , on peut ranger les nombres
relatifs et les lire dans un ordre croissant
ou décroissant Exemples : Soit une série de nombres
ordonnés Non
simplifiée :
(- 189) < (- 74) < (- 6)
< (- 5 )< (- 4) < (-2,3) < ( ± 0 ) < (+1) < (+ 1,5) < (+ 5,9) < (+ 13) <
( (+ 147,34) la même
série « simplifiée » : - 189 < - 74 <- 6 < - 5 < - 4 < -2,3 < 0 < +1
< + 1,5 < + 5,9 < + 13 < 147,34 a) Classement par ordre croissant : - 189 < - 74 <- 6 < - 5 < - 4 < -2,3 < 0 < +1
< + 1,5 < + 5,9 < + 13 < 147,34 Commentaires : ( -
189) est Le plus petit nombre ,
il est placé à l’extrême gauche de la ligne;
( + 147 , 34) est le plus grand nombre , il est placé à
l’extrême droite de la ligne b) Classement par ordre décroissant :
+ 34 > + 15,6 > +3 > 0 > - 2 > -
3,4 > - 63 > - 137,8 Commentaires : ( +
34 ) est Le plus grand nombre , il est placé à l’extrême
gauche de la ligne; ( - 147 , 8) est
le plus petit nombre , il est
placé à l’extrême droite de la ligne En règle
générale ,et par habitude , on
classe du plus petit au plus grand ,
en partant de la gauche, en allant de la gauche vers la droite. |
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La comparaison de deux
nombres positifs ne doit pas poser de problème particulier , sinon retourner au
cours N°1 . ( cours sur les nombres décimaux). Le plus
petit est celui qui a la partie entière la plus petite . S’ils
ont la même partie entière , on compare les parties décimales chiffre
à chiffre à partir des dixièmes . |
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POUR CLASSER des nombres
décimaux relatifs : 1°) il faut classer les
nombres positifs avec les positifs ,
les négatifs avec les négatifs , 2°) Il faut classer, pour chaque groupe, les valeurs absolues ( il est souhaitable d'
utiliser le tableau de numération) : 3°) ranger en fonction du
signe ►Si les nombres sont
positifs : on classe les valeurs absolues de la plus petite à la plus grande en partant de
la gauche. ►Si les nombres sont
négatifs : on classe les valeurs absolues de la plus grande à la plus
petite en partant de la gauche. Exemple avec des nombres positifs
: Enoncé : classer les
nombres suivants (par ordre croissant) : 4,067 ; 4,07
; 40,7 ; 4,071
; 4,71 ;
4,701 ; 4,717
; 4,08 Procédure: a) « rentrer »
les nombres dans le tableau de numération . b) compléter les cases "vides" avec
des zéros c) dans le tableau donner un numéro d' ordre ,
lire les nombres à partir de l'ordre décimal le plus grand (ici les
millièmes): |
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artie
entière (multiples ) |
Partie
décimale (sous multiples) |
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Classe
des millions |
Classe
des mille |
Classe
des unités |
Dixièmes: 1er
ordre décimal |
Centièmes 2ième
ordre décimal |
Millièmes 3ième
ordre décimal |
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C 9ième ordre |
D 8ième ordre |
U 7ème ordre |
C 6ième ordre |
D 5ième ordre |
U 4ième ordre |
C 3ième ordre |
D 2ième ordre |
U 1er ordre |
0,1 |
ou |
1/10 |
0,01 |
ou |
1/100 |
0,001 |
ou |
1/1000 |
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N°8 |
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4 |
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0 |
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6 |
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7 |
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N°7 |
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4 |
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0 |
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7 |
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0 |
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N°1 |
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4 |
0 |
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7 |
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0 |
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0 |
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N°6 |
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4 |
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0 |
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7 |
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1 |
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Quand les nombres sont placés , on numérote les nombres dans l’ ordre demandé. |
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N°3 |
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4 |
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7 |
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1 |
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0 |
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N°4 |
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4 |
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7 |
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0 |
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1 |
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N° 2 |
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4 |
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7 |
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1 |
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7 |
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N°5 |
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4 |
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0 |
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8 |
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0 |
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d) reporter le résultat: Remarques : Il y a
deux solutions ( possibilités ) acceptées pour rendre compte : a) les
nombres sont classés et séparés par des points virgules : 40,7 ; 4,717 ; 4,710 ; 4,701 ; 4,080 ; 4,071 ; 4,070 ; 4,067 b) les
nombres sont classés et séparés par le signe
< qui désigne une
relation dite « relation
d’ordre » 40,7 < 4,717 < 4,710 < 4,701 < 4,080
< 4,071< 4,070< 4,067 Autre méthode : classer les nombres suivants : 57,2 ; 57,23 ; 57, 236 ; 57,3 ; 57,235 ;
57,24 On classe par « rang
décimal » : On classe les parties entières et puis
ensuite les parties décimales :
57,2 et
57,3
57,23 et 57,24
57,235 et 57, 236 On compare celui qui a le plus grand
nombre de dixième , à partie entière égale :
57,2 < 57,3
On compare celui qui a le plus grand nombre de centièmes, à dixième
égal :
57,23 < 57,24 On compare celui qui
a le plus grand nombre de
millièmes , à centième égal:
57,235 < 57, 236 Remarques
: 0,5
= 0,50 = 0,500 |
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0,5 |
Lire "cinq dixièmes" d ' unité |
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0 ,50 |
Lire" cinquante centièmes" d '
unité |
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0,500 |
Lire " cinq cent millièmes d '
unité |
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*une
"unité "vaut 1 ainsi : 57,2 =
57,20 = 57,200 On peut ainsi
classer : 57,200 <57,230
<57,235 < 57, 236< 57,240< 57,300 (on peut
« rajouter des « 0 » pour obtenir
le même rang décimal , ce qui facilite la lecture des nombres « sous
multiples » ) |
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III. transformations
d’écritures :EXpression algébrique et somme algébrique |
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iTrès souvent ,on vous donne en exercice à faire des calculs avec des nombres qui sont écrits sous forme de nombres relatifs
simplifiés. Cette suite de nombres séparée par des signes « + ,
- ; …..) est appelée « communément » : expression
algébrique. Il faut
transformer cette expression algébrique en une somme algébrique ! ! ! ! ! On va voir , dans ce
chapitre , que les signes
« + et - » ne sont pas des signes
« opératoires » .Ils indiquent
seulement si le « terme »
est « positif » ou « négatif ». |
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Définition : Une
suite de 2 ou plusieurs nombres précédés d’un signe + ou – sont
appelée : expression algébrique . |
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Exemples : Attention :
l’écriture : « 12
+ 6,5 » devient « + 12
+ 6,5 » Il en est
de même pour « 14,5 – 53,7 » se transforme « + 14,5 –
53,7 » Ainsi : lorsqu ‘en tête d’expression il
n’y a pas de signe, il faut rajouter à
l’expression le signe « + » en tête d’expression , avant de vouloir
transformer une expression en somme algébrique. |
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Transformation des expressions algébriques en
somme algébrique : |
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A )
Avec 2 nombres et 4 cas : Dans les
deux premiers cas il faut faire une première transformation: 1°) « 12 + 6,5 » qui devient « + 12 + 6,5 » ; on remarque : on a dans l’ordre :deux nombres précédés du
signe + 2°) « 14,5 - 53,7 » qui devient « + 14,5 – 53,7 » ; on
remarque : on a dans
l’ordre : un nombre précédé du signe + et un nombre précédé du signe - )
3°)
« - 47 + 32 » ; on remarque : on a dans l’ordre : un nombre précédé du
signe - et un nombre précédé du signe
+) 4°) « - 30,2 – 8,34 » ; on remarque : on a dans l’ordre deux nombres précédés qu
signe - Procédure
de transformation d’une expression
algébrique en somme algébrique On
retiendra que : pour transformer une
expression algébrique de deux nombres en
somme algébrique (addition de deux nombres relatifs) Il faut : mettre le signe
« + » en tête d’expression (si il n’y a pas de signe - ou de signe
+ ) puis il faut mettre les chiffres
et le signe qui les précède dans des parenthèses , pour terminer on
sépare les parenthèses contenant ces nombres relatifs par le signe + . Application : |
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L’expression
algébrique |
Devient la somme algébrique : |
L’expression
algébrique |
Devient la somme algébrique : |
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+12 +6,5 |
(+12) + (+6,5) |
- 43,25 + 49 |
(- 43,25)+( + 49) |
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-47 + 32 |
(-47) +( + 32) |
+ 14,5 – 53,7 |
(+ 14,5) +( – 53,7) |
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- 30,2 – 8,34 |
(- 30,2) +( – 8,34) |
|
|
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B )
Transformation d’une suite de nombre
(avec plus de 2 nombres) Exemples : ► - 7 – 3 – 23 ► 3,2 – 4,67 – 5,63 + 14 qui devient
+ 3,2 – 4,67 – 5,63 + 14 |
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L’expression
algébrique |
Devient la somme algébrique : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 7 –
3 –23 |
(- 7) + ( – 3) + ( –23) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 3,2 –
4,67 – 5,63 + 14 |
(+3,2) + (– 4,67) + ( – 5,63) + ( + 14) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
C )
Transformation d’une suite de nombre et ou de
lettres Exemples : ► - 7x – 3 – 23 ► 3,2 – 4,67x – 5,63xy + xyz qui devient
+ 3,2 – 4,67x – 5,63xy +
xyz Transformations : ► - 7x – 3 – 23 devient
la somme (- 7x) + (– 3) + ( –
23) ► + 3,2 – 4,67x – 5,63xy + xyz
devient (+ 3,2) + (– 4,67x) +
(– 5,63xy) + (+ xyz) Procédure
de transformation d’une expression
algébrique en somme algébrique CAS
GENERAL : On
retiendra que : pour transformer une expression
algébrique en somme algébrique (addition de terme relatifs)Il
faut mettre le signe « + » en tête d’expression (si il n’y a
pas de signe - ou de signe + ) puis il faut
mettre les chiffres (et ou
lettres) et le signe qui les
précède dans des parenthèses , et séparer
les parenthèses contenant ces
nombres relatifs par le signe +. A
quoi ça sert ??????? : Pour
factoriser , pour effectuer des calculs en algèbre ( pour résoudre ) , pour
faire des calculs « apparemment »
simples avec des nombres positifs et
ou négatifs , à chaque fois il
faut « identifier les
termes » et les termes n’existent que dans la somme
algébrique , aussi il faut savoir « impérativement » transformer
les expressions
« algébriques » simplifiées : +12 +
6,5 = …(ce calcul est simple )
… ; - 47 + 32 = ……(ce calcul
est moins simple ) ….. ; - 30,2 –
8,34 =………(ce calcul n’ est pas simple
) …. ; et ainsi de suite : + 14,5
– 53,7 = ……..;-43,25 + 49 = …….. ; - 7 – 3 –23 = …… ;3,2
– 4,67 – 5,63 + 14 = …………….; Exemples
de calculs qui deviennent simples : |
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Transformation : On veut effectuer
une suite d’addition |
On calculera la somme :Voir cas par cas ,
dans la suite du cours , pour trouver le résultat |
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+12 +
6,5 = (+12) +
(+6,5) |
….de deux nombres positifs. (de même signe ). |
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- 47 +
32 = (-47) + (+
32) |
….de deux nombres de signe contraire . |
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-
43,25 + 49 = (- 43,25) + (+
49) |
….de deux nombres de signe contraire . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 14,5
– 53,7 = (+
14,5) + (– 53,7) |
….de deux nombres de signe contraire . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 30,2
– 8,34 = (- 30,2) + (– 8,34) |
….de deux nombres négatifs. (de même
signe ). |
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Dans le cas ou il y a plus de deux nombres : on effectue toujours la transformation
.parce que l’on
veut calculer une suite
d’additions ! ! ! |
|
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- 7 –
3 –23 = (- 7) + ( – 3) + ( –23) |
|
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+3,2 –
4,67 – 5,63 + 14 = (+3,2) + (– 4,67) + ( –
5,63) + ( + 14) INFO PRATIQUE :
Lorsqu’il y a plus de deux nombres , il faudra regrouper les nombres de même signe
( on fera la somme des nombres positifs , et la somme des nombres négatifs,
pour conclure sur la somme de deux nombres de signe contraire . |
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IV ) LES « 4 »
OPERATIONS simples
avec les nombres relatifs : |
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Commentaires :
Les groupes d’ opérations avec les nombres relatifs sont au nombre de 3 : Le groupe
« addition » ( 3 règles) ; le groupe de la multiplication ( 3
règles) et le groupe de la division ( 3 règles) , on se
souviendra que la soustraction « ne se fait pas » ( 1 règle) . Ce qui en fait vous oblige
à apprendre 10 règles pour réussir tous les exercices de calculs avec deux
nombres relatifs. |
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Situations
problèmes : 1°) Sens que l’on peut donner à une somme de 3,4 € : En
matière d’argent : -
les recettes ou gains d’argent sont des « nombres
arithmétiques » positifs , ils s’écrivent avec un signe + dans des parenthèses. ( + 3,4 € ) ; -
les dépenses ou dettes sont des « nombres arithmétiques » dits
« négatifs » , ils s’écrivent avec un signe - dans des parenthèses.
, ( -3,4 € ) Donc
3,4 € est une monnaie relative : je reçois 3,4 € j’écris sur mon compte ( + 3,4) , de
donne 3,4 € , sur mon compte
j’écris ( - 3,4) . 2°)
Somme de nombres positifs : Sur
une journée je reçois : 2 €
et 5 € sur mon compte
j’écris (+2) ;(+ 5) , je veux faire la somme j’écris :
(+2) + (+ 5) = ( +
( 2 + 5 ) ) 3°)
Somme de nombres négatifs : Sur
une journée je donne : 2 €
et 5 € sur mon compte je
vais écrire (- 2 ) et ( -
5) , j’additionne ces deux valeur et j’obtient (- 2) + (-
5) = ( - ( 2
+ 5 ) ) = ( - 7 ) ; cela signifie que j’ai fait une dépense
pour la journée de 7 € 4°)
Somme de deux nombres de signe contraire : (somme d’une dépense et d’un
gain ): 1er
cas : je
n’ai rien en poche ;je dépense 2 €
et je reçois 5 € ; le bilan
est qu’il me reste 5 - 2 = 3 €
, j’écrirai (+3) € . soit : ( - 2 )
+ ( +5 ) = ( + ( 5 - 2 ) ) = ( + 3 ) 2ème cas : j je n’ai rien en poche je dépense 5 € et je reçois 2 € ; Bilan je dois
5 - 2 = 3 € , j’écrirai (- 3) € soit : ( + 2 )
+ ( - 5 ) = ( - ( 5 - 2 ) ) = ( - 3 ) ce
qui nous permet de généraliser : ¶ Addition de deux nombres de signe + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Règle1: On énoncera : Somme de deux nombres relatifs de signe « + » : La somme de deux nombres relatifs de
signe « + » est égale
à un troisième nombre relatif qui aura pour signe « le signe + » et
pour valeur absolue « la somme des valeurs absolues » . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemple : ( + 6 )
+ ( + 7 ) = ? ( calcul « simple ») |
|||||||
Nombre positif n°1 |
|
Nombre positif n°2 |
|
On conserve le signe commun + |
On regroupe les valeurs absolues |
|
Calcul : On fait la somme des valeurs absolues . Le signe + est le
signe opératoire de l’addition |
( + 6 ) |
+ |
( + 7 ) |
= |
( + |
( 6 + 7
) ) |
= |
( + 13 ) |
( + 13
) : Le résultat est un nombre de
signe + qui a pour « valeur
absolue » la somme des valeurs
absolues des deux nombres positifs . Ainsi : ( + 6 ) + ( +
7 ) = (+ ( 6 + 7 )) = (
+ 13) |
|||||||
· Addition de deux nombres de
signe - ( moins) : |
Règle2: On
énoncera : Somme de
deux nombres relatifs de signe
« - » : La
somme de deux nombres relatifs de signe
« - » est égale à un troisième nombre relatif qui aura
pour signe « le signe -
» et pour valeur absolue « la somme des valeurs
absolues » . |
Exemple : ( -
6 ) + ( - 7 ) = ? Remarque : ce calcul
est beaucoup « moins simple » si l’opération est donnée sous
la forme simplifiée : - 6 - 7 = ? |
|||||||
Nombre négatif n°1 |
|
Nombre négatif n°2 |
|
On conserve le signe commun - |
On regroupe les valeurs absolues |
|
Calcul : On fait la somme des valeurs absolues . Le signe + est le
signe opératoire de l’addition |
( - 6 ) |
+ |
( - 7 ) |
= |
( - |
( 6 + 7
) ) |
= |
( - 13 ) |
( - 13 ) : Le résultat est un nombre
de signe - et
qui a pour valeur absolue :
la somme des valeurs absolues des
deux nombres négatifs . Ainsi : ( - 6 ) + ( - 7 ) = ( -
( 6 + 7 )) = ( - 13) |
|||||||
¸ Addition de deux nombres de signes
contraires ( un + et un -
) : ( cette règle est difficile à retenir , mais il faut la
connaître parfaitement ) |
Règle 3 : On
énoncera : La somme
de deux nombres relatifs de signe
contraire est égale à un troisième nombre relatif qui
aura : -
pour signe :
« le signe du nombre relatif qui
a la plus grande valeur absolue » - pour valeur absolue : « la
différence des valeurs absolues » . On soustrait toujours
la plus grande valeur absolue
moins la plus petite valeur absolue ! ! !. |
Pour additionner deux nombres de signe contraire : Le résultat est un nombre
qui aura pour signe , le signe
du nombre relatif qui à la plus grande
valeur absolue . |
Exemple 1 : ( + 6 )
+ ( - 7 ) = ( calcul
« plus compliqué » si :
6 - 7 = ? ) |
Nombre positif n°1 |
|
Nombre négatif n°2 |
|
On prend le signe qui se trouve devant la plus grande valeur absolue. _ |
On regroupe les valeurs absolues |
|
Calcul : On fait la différence des valeurs absolues . |
( + 6 ) |
+ |
( - 7 ) |
= |
( - |
(
7 -
6 ) ) |
= |
( - 1 ) |
|
|
« 7 » est la plus grande valeur absolue ! , on conserve le signe « - » |
|
|
Dans
tous les cas ,si les nombres sont de signe contraire: On fait la
différence des valeurs absolues ( la plus grande moins la plus petite ). |
|
Le signe - est le signe qui se trouve devant la plus grande valeur
absolue |
Ainsi : ( + 6 ) + ( - 7 ) = ( -
( 7 - 6 )) = ( - 1 ) |
Exemple 2 : ( -
6 ) + ( + 7 ) = ? (
calcul « plus compliqué » si : - 6 + 7
= ? ) |
Nombre négatif n°1 |
|
Nombre positif n°2 |
|
On prend le signe qui se trouve devant la plus grande valeur absolue. _ |
On regroupe les valeurs absolues |
|
Calcul : On fait la différence des valeurs absolues . |
( - 6 ) |
+ |
( + 7 ) |
= |
( + |
(
7 -
6 ) ) |
= |
( + 1 ) |
|
|
« 7 » est la plus grande valeur absolue ! , on conserve le signe « + » |
|
|
Dans
tous les cas ,si les nombres sont de signe contraire: On fait la
différence des valeurs absolues ( la plus grande moins la plus petite ). |
|
Le signe + est le signe qui se trouve devant la plus grande valeur
absolue |
Ainsi : ( - 6 ) + ( + 7 ) = ( +
( 7 - 6 )) = ( + 1 ) |
|||||||
|
|
IV.2 SOUSTRACTION |
||
|
Situations
- problèmes : Je suis à ma banque : j ‘ai 7 € à mon compte je vais retirer 3 € ; bilan : ( +7 ) - ( +3) ; il me reste sur mon
compte 4 € . Je suis dans un magasin :j’ai 7 € et que je dois 3 €
; bilan : + 7 ) + ( - 3 ) ; il me reste 4 € . je
vois et constate que ( +7 ) - ( +3) = ( + 7 ) + ( - 3 ) , On remarque que soustraire une valeur relative à un
nombre relatif c’est ajouter à ce
nombre relatif l’opposé de cette valeur relative. Pour
deux nombres relatifs on trouvera les quatre cas suivants : ( +7 )
- ( +3) = ( + 7 ) + ( - 3
) ; (
= + 4 ) ( +7 )
- ( -3) = ( + 7 ) + ( + 3
) ; ( = +10 ) ( -7 )
- ( +3) = ( - 7 ) + ( - 3
) ; ( = - 10 ) ( -7 )
- ( -3) = ( - 7 ) + ( +3
) ; ( = -
4 ) A chaque fois que cela est possible on décidera de transformer la soustraction ; pour
calculer on applique les règles de
l’addition vu ci-dessus. |
||
i1: L’opposé de ( + 3 ) est
( -3) ; l’op. ( +7) = -7 i2: Avec les nombres relatifs, la soustraction ne se fait pas.
On transforme cette soustraction. |
|||
|
|||
Règle : On
énoncera : Pour soustraire un nombre relatif ( 1)
à un autre nombre relatif ( 2)
, on ajoute à (2) l’ opposé de (1) . Ensuite :
On applique la règle de l’addition qui
correspond aux 3 cas traités
ci-dessus. [un autre nombre relatif ( 2)]
- [un nombre relatif ( 1) ] = nombre relatif ( 2)]
+ opposé du nombre relatif ( 1)
] = |
|||
Exemple 1 : ( + 6 )
- ( - 7 ) = ?
( calcul pas possible !!!!! ) ( pas de calcul
immédiatement possible !) |
|||
Premier
Nombre |
_ |
Deuxième
nombre |
|
On transforme |
1°) On transforme le signe de la soustraction en « + » |
|
Soit la nouvelle opération !! |
( + 6 ) |
- |
( - 7 ) |
► |
Devient
|
( + 6 ) + ( opp.- 7) |
= |
(+ 6 ) + ( + 7) |
|
|
On a
besoin de l’opposé de (- 7 ) On sait
que : Opp. ( -7)
= ( + 7 ) |
|
|
2°) On
remplace : ( -7) par « opp.( -7 ) » On sait
que : opp . (- 7) = ( + 7 ) |
|
On remplace ensuite opp . (- 7) par
( + 7 ) On a transformé la
soustraction en une addition !! |
Ainsi : l’opération ( + 6
) -
( - 7 ) est remplacée par l’opération ( + 6 ) + ( + 7 ) ; Le calcul devient évident : ( + 6 )
+ ( + 7 ) = ( +13 ) |
Exemple 2 : ( + 9 )
- ( +11 ) =
? ( calcul pas
possible !!!!! ) ( pas de calcul immédiatement possible !) |
Premier Nombre |
_ |
Deuxième nombre |
|
On transforme |
Passage intermédiaire !! |
|
Soit la nouvelle opération !! |
( + 9 ) |
- |
( + 11 ) |
► |
Devient |
( + 9 ) + ( opp. + 11) |
= |
( + 9) + ( - 11) |
|
|
On a
besoin de l’opposé de (+11 ) On sait
que : Opp. (
+11) = ( -11 ) |
|
|
|
|
On a une
addition !! |
Ainsi : l’opération ( + 9 ) - ( + 11 )
est remplacée par l’opération ( + 9 ) +
( -11 ) Le calcul devient évident ( ??) : ( + 9 ) + (
- 11 ) = ( - 2 ) Exemple 3 : ( + 9 ) – ( -
11) = ? devient ( +
9 )
+ ( + 11 ) soit =
( + 20 ) |
i n° 3
: - 6 – 7
n’est pas une soustraction, mais l’addition de ( - 6 ) + ( - 7 ) comme 6 – 7
n’est pas une soustraction mais l’addition de ( + 6 ) + ( - 7 ) ( revoir
Info. : transformation d’une somme algébrique en somme algébrique ) |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
IV.3 MULTIPLICATION
avec 2 D + ou - |
||||||||||||||||
La première
règle sur la multiplication est celle
que l’on semble retenir le plus facilement , alors qu’il est compliquer
d’expliquer pourquoi le produit de deux nombres relatifs de signe - donne en résultat le signe
« + » !!!! |
||||||||||||||||
Règle 1 : Le produit de deux nombres relatifs de même signe , est égal à un nombre
relatif qui aura le signe +
et qui aura comme valeur absolue, le produit des valeurs absolues . |
||||||||||||||||
Exemples : ( - 6 ) ( - 7 ) = (
+ ( 6
7 ) ) = ( + 42 ) ; forme simplifiée du
résultat : + 42 ou 42 ( + 6
) ( + 7 ) = ( +
( 6
7 ) ) = ( + 42 ) ; forme simplifiée du
résultat : + 42 ou 42 |
||||||||||||||||
Souvenez vous que le signe « multiplié » est sous entendu entre deux parenthèses opposées |
||||||||||||||||
Règle
2 : Le produit de deux nombres relatifs de signe contraire, est égal à un nombre
relatif qui aura le signe -
et qui aura comme valeur absolue, le produit des valeurs absolues . |
||||||||||||||||
Exemples : 1°) On
multiplie un « négatif » par un « positif » ( - 6
) ( + 7 ) = (
- ( 6
7 ) ) = ( - 42 ) ; forme simplifiée du
résultat : - 42 2°) On
multiplie un « positif » par un « négatif ». ( + 6
) ( -
7 ) = ( -
( 6
7 ) ) = ( - 42 ) ; forme simplifiée du
résultat : - 42 Dans le produit de deux nombres de signe contraire , le signe « moins » l’emporte. |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
IV.4 DIVISION
avec 2 nombres D + ou - |
||||||||||||||||
Commentaire : Pour effectuer la division de
deux nombres relatifs , on applique
les mêmes règles des signes que celles
employées pour la multiplication .En ce qui concerne la valeur absolue du
résultat , on calculera le quotient des deux valeurs absolues . ¶ Quotient de
deux nombres relatifs de même
signe |
||||||||||||||||
Règle : Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est égal à un nombre relatif qui aura le signe
+ et qui aura comme valeur
absolue ,le quotient des valeurs
absolues . |
||||||||||||||||
Exemples : ( - 42
) + ( - 7 ) = ( +
( 42 : 7 ) ) = (
+ 6 ) ; forme simplifiée du résultat : +6 ( + 24
) + ( + 6 ) = ( +
( 24 : 6 ) ) = (
+ 4 ) ; forme simplifiée du résultat : +4 · Quotient de
deux nombres relatifs de signe
contraire |
||||||||||||||||
Règle : Le quotient de deux nombres relatifs
de signe contraire est égal à un nombre relatif qui aura le signe -
et qui aura comme valeur absolue, le quotient des valeurs absolues . |
||||||||||||||||
Exemples : ( - 42
) + ( + 7 ) = ( -
( 42 : 7 ) ) = (
- 6 ) ; forme simplifiée du
résultat : - 6 (
+24 ) + ( - 6 )
= ( - ( 24 : 6 ) ) = (
- 4 ) ; forme simplifiée du
résultat : - 4 ¸ Simplification
d’un nombre relatif Positif
: ( +3) Je peux simplifier un nombre relatif
positif ,pour cela il suffit de supprimer les parenthèses et le signe + se trouvant entre les parenthèses Donc ( +3) devient "simplifié" 3
; mais attention danger !il faut
savoir faire l'inverse.. Négatif
: ( -3) Je peux simplifier un nombre
relatif négatif ,pour cela il suffit
de supprimer les parenthèses et conserver le signe -
se trouvant entre les parenthèses Donc
( -3) devient "simplifié"
-3 ; mais attention danger
!il faut savoir faire l' inverse.. Í
Fractions : (observer le signe des termes !!!! = ( -
(5 : 7) ) ;
= ( + ( 3 : 4 ) ) ;
= (
- ( 6,4 : 3 )) = ;
= ;
= ; = |
||||||||||||||||
V) OPERATIONS COMBINEES : PRIORITES de
CALCULS |
||||||||||||||||
iLes expressions algébriques
contiennent une suite
d’opérations , elles ne contiennent
pas de parenthèses : Exemple : «
8 + 56 + 12 + 965,12 » (
remarque : l’expression ne
contient que des « additions »: |
||||||||||||||||
Procédure |
Exemple |
|||||||||||||||
1ere Etape |
Transformer
« l’expression » en « somme » de nombres relatifs |
x = «
(+8)+( + 56) + (+12) +(+ 965,12) » |
||||||||||||||
2eme Etape |
Faire la somme
des nombres de même signe |
x = ( + (8
+ 56+12 + 965,12) ) à ce stade , il faut faire la somme des valeurs absolues !!! |
||||||||||||||
3eme Etape |
Rendre compte |
x = (+1041,12) |
||||||||||||||
· Suite de soustractions |
||||||||||||||||
i
Attention au signe du
premier nombre : + s’ il est négatif : faire la somme des nombres négatifs + s’il est positif :
faire la somme des nombres négatifs ; terminer par la somme de deux nombres
de signe contraire |
||||||||||||||||
+ l’expression débute par un signe « - » et ne contient que des signes « moins » . Exemple « -12 -
56 - 4 - 5,7 » |
||||||||||||||||
Procédure |
Exemple |
|||||||||||||||
1ere Etape |
Transformer
« l’expression » en « somme » de nombres relatifs(SOS cours) |
x = (-12) + (- 56) + (- 4) + (- 5,7) |
||||||||||||||
2eme Etape |
Faire la somme
des nombres de même signe(SOS
cours) |
x = (- (12 + 56
+ 4 + 5,7 ) |
||||||||||||||
3eme Etape |
Rendre compte |
x =
-12 - 56 - 4 - 5,7 = (-77,7) |
||||||||||||||
+ L’expression
n’a pas de signe en tête
d’expression ou elle débute par un signe « + »
et ne contient que des signes
« moins » . Exemple :
« 12-56-4-5,7 » ou « +12-56-4-5,7 » |
||||||||||||||||
Procédure |
Exemple |
|||||||||||||||
1ere Etape |
Transformer
« l’expression » en « somme » de nombres relatifs(SOS cours) |
x = (+12) + (- 56) + (- 4) + (- 5,7) |
||||||||||||||
2eme Etape |
Faire la somme
des nombres de même signe(SOS
cours) |
(- (56 + 4 + 5,7
) soit : ( - 55,7 ) Somme des Valeurs absolues des nombres négatifs |
||||||||||||||
3eme Etape |
Faire la somme
des nombres de signe contraire |
x = (+12) + (- 55,7) = ( - ( 55,7 - 12 ) =
( - 33,7 ) |
||||||||||||||
4emeEtape |
Rendre compte |
12 - 56 - 4 - 5,7 =
( - 33,7 ) |
||||||||||||||
¸ L’expression ne contient que des « additions » et des
« soustractions » . Exemple : x = - 12 + 56 - 4 + 5,7 |
||||||||||||||||
Procédure |
Exemple |
|||||||||||||||
1ere Etape |
Transformer
« l’expression » en « somme » de nombres relatifs(SOS cours) |
L’expression algébrique
« x = - 12 + 56 - 4 + 5,7 » devient la somme : x = (-12) + (+56) + (-4) + (+5,7) |
||||||||||||||
2eme Etape |
Regrouper les nombres de
même signe |
(-12) ; (-4) et (+5,7) ;(+56) |
||||||||||||||
3eme Etape |
Faire la somme
des nombres de signe contraire |
(-(12+ 4 ))=
( -16) (+(56 + 5,7 ))= ( +61,7) |
||||||||||||||
4emeEtape |
Faire l'addition des deux
sommes calculées (nombres de signes contraires) |
x = (-16 ) + (+ 61,7 ) x = (+ ( 61,7 - 16 ) ) x = (+
45,7 ) |
||||||||||||||
5emeEtape |
Rendre compte |
x = -12+56-4+5,7 x = (+
45,7 ) |
||||||||||||||
¹
L’expression contient des multiplications : (exemple :calcul d’un volume) + Il n’y a
que des multiplications: sans signe
négatif Exemple ( 91,2
6,9
) Procédure: il faut faire le produit des nombres ( ou valeurs
absolues) |
||||||||||||||||
|
Procédure |
Exemple |
||||||||||||||
1ere Etape |
1ère
multiplication : |
91,2 = 10 ,8 |
||||||||||||||
2eme Etape |
2ème
multiplication |
10,8 6,9
= 74,52 |
||||||||||||||
3eme Etape |
Rendre compte |
91,2
6,9 = 74,52 Nombre impair de signe «moins » ,le produit est « négatif » |
||||||||||||||
+Il n’y a que des multiplications: avec un ou des signes négatifs Exemple : ( - 91,2
6,9
) ; ( - 9-
1,2 6,9
) ; ( - 9-1,2
-6,9
) Remarque : Il faut faire le produit des nombres ( ou
valeurs absolues) |
||||||||||||||||
|
Procédure |
Exemple |
||||||||||||||
1ere calcul |
1ère multiplication ( - 91,2
6,9
) = ? |
- 91,2 devient
- 10,8 et
- 10 , 8 6,9
= - 74 , 52 |
||||||||||||||
2eme calcul |
2ème multiplication ( - 9-
1,2 6,9
) = ? |
- 9-
1,2 devient + 10,8 et
10,8 6,9
= 74,52 |
||||||||||||||
3eme calcul |
3ème multiplication ( - 9-
1,2 - 6,9 ) = ?
|
- 9-
1,2 devient + 10,8 et +10,8 -6,9
= - 74,52 |
||||||||||||||
4eme Etape |
On remarque : Pour un nombre impaire de
signe - donne un résultat négatif : ( - 91,2
6,9
) = -74,52 ( - 9-1,2
-6,9
) = -74,52 Pour un nombre paire de
signe - donne un résultat positif : ( - 9-
1,2 6,9
) = +74,52 |
|||||||||||||||
On
retiendra que le résultat d’une suite
de produit : + si la suite
de multiplications à 1 ou
3 ; 5 ; 7 signes
« moins » : le résultat sera du signe « moins » + si la suite de multiplications à 2 ; 4 ; 6 ;
8 ;…signes « moins » : le résultat sera du signe
« plus » . Remarques : Si le nombre de nombres est impair et de signe «moins » ,le produit est « négatif » Si le nombre de nombres est pair et de signe « moins » , le produit est positif . On utilisera ce type de savoirs
lorsque l’on devra calculer des : x² ; x 3 ; x 4 ; x 5 ;
….x n , si
« x » est un nombre relatif
, on pourra déterminer le signe du
résultat avant d’effectuer le calcul. Exemple : calcul de x 5 avec « x » = - 3 ; avant de
calculer ,on sait par avance que le
résultat sera un nombre négatif. +La suite de
multiplication ne contient que des nombres de signe négatif Exemple (-9-1,2
-6,9
) Procédure :
calculer le produit des valeurs absolues ; compter le nombre de nombres
. si le nombre de nombres
est pair : le produit est un
nombre relatif positif . si le nombre de nombres
est impaire : le produit est un nombre relatif négatif . º La
suite d’opérations ne contient que des divisions .( très rare) Exemple : 15 : 8 :2 Remarque : Il faut commencer par la division de gauche. |
||||||||||||||||
|
Procédure |
Exemple |
||||||||||||||
1ere Etape |
1ère
division : 15 : 8 |
1,875 |
||||||||||||||
2eme Etape |
2éme division : 1,875 : 2 |
0,9375 |
||||||||||||||
3eme Etape |
Rendre compte |
15 : 8 :2 = 0,9375 |
||||||||||||||
Exemple : Avec des fractions -
Vous avez
travaillé le cours sur les opérations sur les fractions , alors vous
avez une première réponse. -
Vous n’avez pas travaillé le cours sur les
fractions « opérations » alors faire comme il suit : Le plus simple est
d’écrire les fractions sous forme d’une division : il faut commencer par la division de gauche. |
||||||||||||||||
|
Procédure |
Exemple |
||||||||||||||
1ere Etape |
( :1,2
) |
(13 : 7) : 1,2
= 2,6 : 1,2 = 2,1666667 |
||||||||||||||
2eme Etape |
( : ) |
(13 :5) : (
27 :8) = 2,6 : 3,375 =
0,7703703 |
||||||||||||||
3eme Etape |
( : :1,2
) |
[ (13 :5) : (
27 : 8)] : 1,2 = ( 2,6 : 3,375 ) : 1,2
= 0,7703703 : 1,2
= 0,6419752 |
||||||||||||||
» Suite
d’opérations contenant que
des « multiplications » et des « divisions » + La division "tombe juste", la
division représente un nombre décimal . Exemple : (
6216
: 51,2) |
||||||||||||||||
|
Procédure |
Exemple |
||||||||||||||
1ere Etape |
Faire la (ou les
division) : 16 : 5 = 3,2 |
( 62
3,21,2) |
||||||||||||||
2eme Etape |
Faire les
multiplications :il n ' y a pas
d’ordre impératif à respecter ; mais il est conseillé de faire les opérations en partant de la gauche, |
198,4 fois 1,2 = 238,08 |
||||||||||||||
3eme Etape |
Rendre compte |
:( 6216
: (1,2)
= 238,08 |
||||||||||||||
+ La chaîne contient des "fractions ou
écritures fractionnaires" Exemple : (621,2) Une division "ne tombe pas juste" ;on dit aussi " la (ou les)division ne représente pas un nombre décimal ." |
||||||||||||||||
|
Procédure |
Exemple |
||||||||||||||
1ere Etape |
Mettre la (ou les )
fraction sous forme d ‘une fraction
irréductible ou d’une écriture
décimale |
est
irréductible ; et =0,6 |
||||||||||||||
2eme Etape |
Mettre tous les autres nombres sous forme de
fraction de dénominateur égal à 1 |
|
||||||||||||||
3eme Etape |
Faire le produit des numérateurs sur le
produit des dénominateurs |
= |
||||||||||||||
4eme Etape |
Laisser le résultat sous
forme fractionnaire ,puis rendre irréductible la fraction |
ou » 86,357143 |
||||||||||||||
¼ La suite d’opérations contient
des additions, soustractions
,multiplications ,divisions Exemple :
-8,4 + 112
+ Procédure : |
||||||||||||||||
Procédure |
Exemple |
|||||||||||||||
1ere Etape |
Faire la (ou les )
division : 13 : 5 = 2,6 |
-8,4 + 112
+2,6 = |
||||||||||||||
2eme Etape |
Faire la ( ou les ) multiplication |
-8,4 + 22
+2,6 |
||||||||||||||
3eme Etape |
Transformer
« l’expression » en « somme » de nombres relatifs |
(-8,4 ) + ( + 22) + (+2,6) |
||||||||||||||
4emeEtape |
Faire l'addition des deux
sommes calculées (nombres de signes contraires) |
( + 22) + (+2,6)
= ( + (22+2,6))=(+24,6) il n’y a qu’un nombre négatif : (-8,4 ) |
||||||||||||||
5emeEtape |
Puis faire la somme des
deux nombres de signes contraires.* |
(+24,6)+ (-8,4 ) = ( + (24,6 –8,4)) = (+16,2) |
||||||||||||||
6emeEtape |
Rendre compte |
-8,4 + 112
+ = =
(+16,2) |
||||||||||||||
FIN DE lA LECON.