LES FRACTIONS "équivalentes" et "non équivalentes"

n donc on dira que : deux fractions dites « équivalentes » sont des fractions qui représentent la même valeur.(racine latine :« équi » qui signifie « égal »)

-Remarque.

Des fractions (ou écritures fractionnaires)peuvent représenter un même nombre:

exemple:

la division 48 / 12 = 4

20 / 5 = 4

4.8 / 1.2 = 4

4 / 1 = 4

on peut donc écrire que = = = = 4

Deux fractions séparées par le signe « égal » sont dites « fractions équivalentes »

Modèle mathématique:

⁼ (b et d sont différents de 0)

Question : SONT - ELLES « EQUIVALENTES » ;on "pourrait" dire " égales" ? ? ? ? ?

Première méthode :

Les deux fractions et sont égales si ……

si la division de et la division de donne le même rationnel .

Exemple:

Exemple numérique:

Question : est ce que les deux fractions suivantes sont "égales" ?

= ? =

Réponse: oui si la division 48:12 est égale à 20:5

Calcul :

48:12 = 4
20:5 = 4

Conclusion : le quotient étant "exact" ;les deux fractions sont égales , on dira "équivalentes"

Deuxième méthode:

Pour vérifier si deux fractions ( et ) sont équivalentes il faut multiplier le numérateur de l'une avec le dénominateur de l'autre ,les deux produits ( ad et cb ) doivent être égaux.

et sont égales si ……

Réponse : OUI , si ... « le produit......."ad "est égal au produit "cb" »

Exemple : dire si les deux fractions et sont équivalentes

Résolution:

On écrit : et sont égales si …8 fois 33 = 11 fois 24

On calcule : 8 fois 33 = 264 ; 11 fois 24 = 264

On conclut : les produits sont égaux , les fractions et sont équivalentes

Des fractions qui ne sont pas équivalentes peuvent être « comparées » et « classées » par ordre de grandeurs !

2°) LES FRACTIONS INEGALES. (info +++ Notion sur la comparaison )

A ) Comparaison de deux fractions .

Cas 1 : les fractions ont le même dénominateur :

Si deux fractions ont le même dénominateur , la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur .

Soient les fractions et ; la première est plus grande que la seconde . En effet , ces deux fractions représentent des parties égales de l’unité : Ce sont des septièmes , donc les parties sont égales ; mais la première contient 5 de ces parties , tandis que la seconde n’en contient que trois .

Donc >

divseg 1

Cas 2 : les fractions ont le même numérateur , mais elle ont un dénominateur différent :

Si deux fractions ont le même numérateur , la plus grande est celle qui à le plus petit dénominateur.

Lorsque les fractions ont pour numérateur 1 , l’affirmation est évidente .

Ainsi pain est plus grand qu’un de pain .

Soient les fractions et , la première est plus grande que la seconde .

En effet , ces fractions représentent chacune 3 parties de l’unité ; mais les parties de la première , étant des cinquièmes , sont plus grandes que celles de la seconde , qui sont des huitièmes .

Donc >

seg

Autre exemple : Soit à comparer et , un schéma nous permet d’écrire : < :

divseg4

B ) Comment classer ou ordonner des fractions par ordre croissant ou décroissant?

Trois façons possibles :

1°) en effectuant un calcul « approché » :

Pour ordonner des fractions il suffit :

a )de rechercher pour chacune d'elle la valeur du rationnel afin d'obtenir une forme décimale (faire la division),

b) classer les valeurs décimales ,

c ) pour remplacer ensuite ces valeurs par les fractions données.

2°) Graphiquement . (voir les travaux précédents sur les longueurs des segments de droite)

3°) voir aussi leçon sur le produit en croix :

SOS info : Produit en croix

C ) Comparaison d’une fraction à l’unité.

1°) Une fraction est inférieur à l’unité si son numérateur est plus petit que son dénominateur .

< 1 ; < 1

2°) Une fraction est égale à l’unité , si son numérateur est égal à son dénominateur .

= 1 ; = 1

3°) Une fraction est supérieure à l’unité si son numérateur est plus grand que son dénominateur.

> 1 ; > 1

divseg3

D ) Expression fractionnaire :

une fraction égale ou supérieure à l’unité est encore appelée expression fractionnaire.

Travaux auto formatifs

CONTROLE:

2 ° ) Par quel signe sont séparées deux fractions équivalentes?

3° ) Que représente deux fractions équivalentes , autre qu ‘une égalité ?

4 ° ) Donnez le modèle mathématique représentant deux fractions équivalentes.

5° ) Comment peut-on procéder pour ordonner ( classer dans un ordre croissant ou décroissant ) des fractions ?

6° ) Comment procède -t - on pour vérifier si deux fractions sont équivalentes (donnez la procédure la plus sûre ) ?

EVALUATION:

I )Dire si les fractions suivantes sont équivalentes (si non les classer par ordre croissant):

a ) ; ; ; ; ; utiliser le tableau ci dessous ;

b )idem que ci dessus : ; ; ; ;

c ) idem que ci dessus : ; ;

II ) Construire .....5......fractions équivalentes à la fraction donnée :

III) On nous donne deux fractions ; et ;sont-elles équivalentes?

En complément :voir cas avec nombres relatifs

I ° ) Construire 3 fractions équivalentes à la fraction donnée.(indiquer le coefficient multiplicateur utilisé pour chaque étape)

*un « coefficient » est un nombre ,généralement , entier .

a) =

b) =

c) =

d) =

II ° ) CALCUL ALGEBRIQUE :

Mettre sous forme d’une égalité simple les fractions équivalentes suivantes ,en utilisant le produit en croix :

et encore :

a) = 5 b) = 7 ;

Construire 4 fractions équivalentes à la fraction à la donnée

a) =

b) =

c) =

d) =

Dans les exercices suivants ne pas « développer »

e) =

f) =

CORRIGE EVALUATION

I ) a) ligne 2 : calcul avec la calculatrice

ligne 3 : classement par ordre croissant.


0,28333	0,250	0,8337	0,583	0,600
2	1	5	3	4

conclusion : < < 7/ 12 < <

Interdisciplinarité

Voir « les proportions »