distance entre deux points _calcul de la longueur d'un segment.

Pré requis:

Projection orthogonale d’un segment
Pythagore
Longueur d’un segment
DISTANCE entre deux points sur une droite .

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

Objectif précédent :

1°) mesure algébrique d'un bipoint sur une droite.

2°)Composantes graphiques d’un segment

Objectif suivant :

1°) Composantes d’un vecteur dans un plan

Tableau

Liste des objectifs cours "repérage "

DOSSIER :

1°) Distance de deux points dans un repère ; dont distance d'un point à l'origine .

2°)Calcul de la longueur d’un segment situé dans un plan .

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS :

Rappel : Projection orthogonale d’un segment (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère est dit « cartésien ortho - normé »

Les segments de droites Ay By et B x A x sont appelés les projetés du segment AB .

La norme permet de graduer les axes.

Si la norme * sur x et y est égale « mesure » le repère est dit « normé »

*Voir [O,I] et [ O, J ]

y

Ay A

B

By

Bx Ax x

PROCEDURE pour obtenir la distance entre deux points dans un plan :

Pour trouver par le calcul la distance entre les points AB , nous devons passer par les projections sur les axes « x » et « y » .

1°) IL faut calculer la distance des deux points projetés sur « x »

2°) IL faut calculer la distance des deux points projetés sur « y »

les deux distances obtenues ,sont les mesures des segments des cotés d’un triangle rectangle . (parce que le repère est un repère cartésien orthogonal , il faut que ce repère soit « normé »).

3°) Nous en déduisons que les deux cotés (projetée sur « x » et projetée sur « y » ) forment un angle droit , nous appliquerons le théorème de Pythagore pour trouver la mesure du troisième segment que l’on appelle « hypoténuse ».

Soit un segment OE dans le plan :

CALCUL de la « distance projetée » de deux points sur l’axe des « x »:

La distance entre deux points est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique d ‘un bipoint ( d ’ origine O et d ’extrémité E ); cette mesure algébrique est égale à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité ( x_E ) moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint (x_O).

Ce qui se traduit : ½x_E- x_O ½= ½½_x

CALCUL de la « distance projetée » entre deux points sur l’axe des « y »:

Ce qui se traduit : ½y_E- y_O ½= ½½_y

Pour connaître la distance entre les deux points OE :on posera d'après le théorème de Pythagore ;

( 1) (½½_x ) ² + (½½_y) = ½½ ²

puisque le carré d'un nombre positif ou négatif est un nombre positif ; on peut aussi écrire que :

(2) _x² + _y² = ²

NOTA : pour les vecteur on calculera la mesure algébrique sur les « x » et sur les « y » afin de déterminer par le calcul le sens du vecteur . (on ne parlera pas de valeur absolue

Voir : Composantes d’un vecteur et calcul de la NORME D’UN VECTEUR

DISTANCE de deux points A ( x₁ ; y₁ ) et B ( x₂ ; y₂)

Désignons par A' et B' les projections de A et B sur O x et par A'' et B" leurs projections sur O y .

Soit H l'intersection de la droite passant par AA" et la droite passant par BB'.

D'après Pythagore :

² = ² + ² = ² + ²

Or la mesure algébrique d'un vecteur porté par un axe est égale à l'abscisse de son extrémité moins l'abscisse de son origine . Donc

= x₂ - x ₁ et = y₂ - y₁

soit : ² = (x₂ - x ₁ ) ² + (y₂ - y₁)²

en particulier :

Distance d'un point à l'origine :

la distance de l'origine O ( 0 ;0 )au point M ( x ; y ) est telle que :

² = x² + y ²

soit = ;

· est toujours positif .

Suite : milieu d'un segment

Info plus !!!!!

ENONCE TYPE :

Soit deux points dans un plan : A _{(+2 ;+1 )} et B _{(
+7,5 ; + 5 )}

Calculer la distance entre A et B

Résolution :

I ) Calcul de la distance de la projection de AB sur l’axe des « x »

Représentation graphique : [ x_A_; x_B ]

Calcul de la distance entre x_A et x_B :

Procédure :	Calcul de la mesure algébrique comprise entre les deux extrémités du segment projeté des points AB sur l’axe des « x » ;
Origine du segment:	X_A= (+2)
Extrémité du segment:	X_B = (+7,5)
Calcul de la mesure algébrique entre les extrémités du segment: SOS cours calcul	X_B- X_A = (+7,5) - (+2) Calcul: (+7,5) - (+2) = (+7,5) + (-2) = (+ (7,5- 2) ) = (+5,5)
Détermination de la valeur absolue du calcul précédent : SOS cours	½(+5, 5) ½ = 5,5
Conclusion	La distance entre A et B sur «y » est de 5,5

II ) Calcul de la distance de la projection de AB sur l’axe des « y »

Représentation graphique : [y_A; y_B ]

Calcul de la distance entre y_A et y_B :

Procédure :	Calcul de la mesure algébrique comprise entre les deux extrémités du segment projeté des points AB sur l’axe des « y » ;
Origine du segment:	y_A= ( + 1 )
Extrémité du segment:	y_B = ( + 5 )
Calcul de la mesure algébrique entre les extrémités du segment: SOS cours calcul	Y_B- y_A = (+ 5) - (+ 1) Calcul: (+ 5) - (+ 1)= (+ 5) + ( - 1) = (+ ( 5- 1) ) = (+ 4 )
Détermination de la valeur absolue du calcul précédent : SOS cours	½(+ 4) ½ = 4
Conclusion	La distance entre A et B sur « y » est de 4

III) Calcul de la distance du segment AB dans le plan.

D ‘ après Pythagore :

Théorème : Dans un triangle rectangle : le « carré » de la longueur de l’hypoténuse (c’est à dire : la longueur de l’hypoténuse multipliée par la longueur de l’hypoténuse) est égal à la somme des « carrés » des longueurs des cotés (du triangle) formant l’angle droit.

si l’on nomme les sommets du triangle , par une lettre ( A ; B ; C ) :

si :

AB désigne la longueur de l’hypoténuse

AC désigne la longueur d’un coté formant

l’angle droit

BC désigne la longueur d’un coté formant

l’angle droit

C

On peut écrire , d’après « Pythagore » :

AB fois AB = AC fois AC + BC fois BC

soit : AB² = AC ²+ BC²

Il ne reste plus qu’à faire l’application numérique :

Trouver « AB » si «AC » = 5,5 et « BC » = 4 à partir de

AB² = AC²+ BC²( se souvenir que = x )

On pose =

si « a » = 30 et « b » =40 alors =

de l’égalité on en tire que : le premier membre = AB , et le deuxième membre : = 6,8 ( d’après la calculatrice = 6,8007353)

on conclut que la distance entre AB = 6 ,8

AUTRES APPLICATIONS

Sujet de concours :

1°) Dans un repère orthonormé ( 0,,) ;On place les points A ( -2 ;-3 ) , B ( -2 ;5 ) et C ( 4 ;-3)

Question : montrez que le triangle ABC est rectangle

Résolution :

Remarque :il faut que le repère soit orthogonale : ( le repère est orthonormé.)

C'est le cas :

:le segment AB est parallèle à l’axe « y » (les extrémités ont la même abscisse )

:le segment AC est parallèle à l’axe « x » (les extrémités ont la même ordonnée )

les deux segments sont donc perpendiculaires

Il reste à montrer par le calcul que BC est l’hypoténuse du triangle rectangle en calculant la somme des carrés des cotés (représentés par les projetées BD et DC)