Pré requis:

« distance5ème »
Préambule
Soustraction de deux nombres relatifs
BIPOINT

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent  mesure algébrique notée :

Objectif suivant : Longueur d’un segment

Liste des cours sur le repèrage.

 

DOSSIER :  DISTANCE entre deux points sur une droite .

·      DEFINITIONS 

·      Notation : d ( O,E ) = ½½ ;

 

·      CALCUL de la DISTANCE entre deux points sur une droite.

 

·      Exemples :  par la méthode graphique , par le calcul.

 

 

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

 

 

COURS

 

DEFINITIONS 

        1°)     ON appelle "mesure" l'évaluation d'une quantité en la comparant à une quantité déterminée.

   

      2°)       On appelle "longueur" la dimension d'un objet linéaire de l'une à l'autre de ses extrémités.

       (l'unité de longueur est le mètre)

 

      3°)On appelle "distance" ,l'intervalle (ou les intervalles )qui existe entre deux points ,ou deux objets. .(on dit aussi que c'est le nombre de graduations qui sépare de points sur une droite)

 

        (L'intervalle est généralement noté "u" associé à un segment de droite d'unité   "UN ") ,

 

on confond souvent « distance » et « longueur » ! On peut dire que la distance entre deux points se mesure avec un instrument gradué appelé « mètre » , avec le mètre nous mesurons la longueur entre deux points. La longueur est une forme de vue «  restrictive » de la distance. Dans la distance,  le nombre de graduations n’est pas associé à un nom. Exemple : la distance entre  A et B est de « 12 graduations » Dans la longueur , le nombre de graduations est associé à un nom . Exemple : la distance entre  A et B est de ,par exemple  « 12 centimètres »

 

Pour obtenir  la distance  entre les deux points  A et B

 

Il y a 2 solutions possibles ; une solution graphique  ou une solution par calcul  :

La distance entre deux points :elle se calcule ; c’est la valeur absolue du nombre relatif  obtenue  faisant le calcul d'une mesure algébrique  .

              Ou elle se détermine aussi graphiquement , il suffit de compter le nombre de graduations qui sépare les deux points.  (la distance est un nombre décimal qui n ’ a pas  d’unité de longueur.

 

La distance entre deux points servira à connaître , en effectuant un calcul  , la longueur d'un segment .

 

I )   Obtention de la distance entre deux points ,à partir d’une représentation graphique ,sur une droite par « comptage » :

 

Pour obtenir la distance entre deux  points sur une droite il suffit de compter le nombre de graduations ( ou intervalle) qui sépare les deux points considérés .

 

On la note  d ( O, E )   ou d ( A,B )

Remarque : d ( A,B )  = d ( B,A )

 

            Attention ne pas confondre avec   la mesure algébrique de  (A,B) qui est différente  de la mesure algébrique de (B,A) ; les valeurs sont « opposée »

 

Exemple de problème  : trouver  graphiquement la distance entre A et B :

 

 

 

 

 

                       

  On gradue la droite , en reportant  avec un compas la distance OI ; on numérote chaque graduation .

                          On compte le nombre d’intervalles séparant les points A et B  .

                          

                          Analyse :  il y a deux graduations entre A et B , ( quelque soit le sens du comptage ) .

 

La distance en A et B est  2

 

 

 

 

Travaux :    graduez ,  puis mesurez  les segments.
A partir du segment unitaire [ OI ]  = 1 ; procédure : avec un compas on prend une ouverture égale à la longueur du segment unitaire (ici OI = 2 cm ) . A partir d’une extrémité du segment on reporte la longueur du segment unitaire ( tracer  un arc sur la ligne pour obtenir un point d’intersection) .Reporter cette distance  autant de fois  qu’il est possible, dépasser l’extrémité si celle ci ne « tombe » pas juste sur l’arc du compas .
[AB ] ; [BC ] ; [CD ] ; [ EF] ; [GH ] ; [KL ] ; [MN ] ; [PQ ] ; [ RS] ;
A )  Mesure  des segments : AB ] =        ; [BC ]  =         ; [CD ]   =          ; [ EF] =         ; [GH ] =          ; [KL ] =        ; [MN ]  =        ; [PQ ]   =          ; [ RS] =         ; [ _ _ ] =

 

 

 

 

 

Graduations :

Mesure  des segments :

Distance	Commentaire :
[AB ]   =  entre 2 et 3	On est plus prés de 3 ; On peut dire que le segment vaut « 3 » ; pour plus de précision il faudrait « fractionner » le segment , en parts égales. (pour en savoir plus :voir division d’un segment )
[BC ]  =
[CD ]   =
[ EF] =
[GH ]
[KL ]
[MN ]
[PQ ]
[ RS]
[ _ _ ]

 

II )  CALCUL de la DISTANCE entre deux points sur une droite:

 

 La distance entre deux points est égale  à la valeur absolue de la  mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine O et d ’extrémité E ); cette mesure algébrique est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité ( x_E  )  moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint (x_O).

 

Ce qui se traduit :                                   

½xE  - xO ½= ½½

 

L'écriture symbolique de la distance entre  deux points est : deux lettres majuscules "ordonnées" surmontées d'un trait horizontal encadrées par une barre verticale de chaque coté.

 

Procédure : à respecter pour calculer la distance entre deux points.	Exemple : calculer la mesure algébrique comprise entre les deux extrémités du segment AB ; avec A(+2) ; B (+7)
Origine du segment:	XA =  (+2)
Extrémité du segment:	XB =  (+7)
Calcul de la mesure algébrique entre les extrémités du segment:     SOS cours calcul	XA- XB =  (+2) - (+7) Calcul: (+2) - (+7) = (+2) + (-7)                    = (- (7- 2) )                    =   (-5)
Détermination de la valeur absolue du calcul précédent :  SOS cours	½(-5) ½ = 5
Conclusion	La distance entre A et B est de 5

Exemple n°2  de problème : calculer la distance entre les deux points : A (+3)  et B (+ 5)

 

Procédure :

 Il faut  calculer  ê ê  ( lire :...la  valeur absolue de la mesure algébrique...)avec A (+3)  et B (+5)

 

1 ° )  On pose l'égalité : êx _E  - x _O ê = êê

on remplace :  par  ; on repère l’origine et l’extrémité du bipoint

 

2°)   on transforme l'égalité et on l'adapte en fonction des caractéristiques du bipoint

                         on obtient : êx _B  - x _A ê = êê

 

on peut écrire  l’ égalité de cette façon : êê = ê x _B  - x _A  ê

 

 

3° ) on remplace par les valeurs numériques données :

                            ê ê  =  ê (+5)  - (+3) ê

 

4°)  Calcul :  (voir :  soustraction de deux nombres relatifs )

 

                 ê (+5)  - (+3) ê=  ê (+5)  ₊  (-3) ê

                 ê (+5)  - (+3) ê=  ê (  +  (5 - 3 ) ) ê

              

                 ê (+5)  - (+3) ê =  ê ( + 2 ) ê

 

5°) rendre compte : êê=  ê ( + 2 ) ê

 

 donc êê=  2

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE

Série 1 :

 

Qu'appelle t on  "mesure"

Qu'appelle t on  "longueur "

Qu'appelle t on  "distance"

 

Pour quoi est utilisée la  mesure algébrique ?

 

Série 2 :

1° )A quoi est égale la distance entre deux points  ? …………………………………

 

2°)Traduire en langage  littéral : ½x_E  - x_O ½= ½½ ; que cherche t - on à connaître ?

 

 

3 °) Traduire en langage mathématique :

La distance entre deux point est égale à la mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine B et d ’extrémité A ) qui elle est  égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité A   moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint B.

 

4°) Donnez la procédure pour calculer la distance entre deux points .

 

 

 

EVALUATION :

 

Graduation et mesure (distance)d’un segment :

Ce travail propose 4 travaux différents ; éventuellement voir  ( INFO :  SOS graduation )   et  ( INFO : SOS mesure) ; (INFO mesure d’un segment)

Série  1 :
à partir du segment unitaire [ OI ]  = 1 ; donner le mesure des segments :
[AB ] ; [BC ] ; [CD ] ; [ EF] ; [GH ] ; [KL ] ; [MN ] ; [PQ ] ; [ RS] ;
A )  Mesure  des segments : AB ] =        ; [BC ]  =         ; [CD ]   =          ; [ EF] =         ; [GH ] =          ; [KL ] =        ; [MN ]  =        ; [PQ ]   =          ; [ RS] =         ; [ _ _ ] =

 

                                                             

 

Série  2 :
à partir du segment unitaire [ OI ]  = 1 ; donner le mesure des segments :
[AB ] ; [BC ] ; [CD ] ; [ EF] ; [GH ] ; [KL ] ; [MN ] ; [PQ ] ; [ RS] ;
A )  Mesure  des segments : AB ] =        ; [BC ]  =         ; [CD ]   =          ; [ EF] =         ; [GH ] =          ; [KL ] =        ; [MN ]  =        ; [PQ ]   =          ; [ RS] =         ; [ _ _ ] =

 

Série  3 :
à partir du segment unitaire [ OI ]  = 1 ; donner le mesure des segments :
[AB ] ; [BC ] ; [CD ] ; [ EF] ; [GH ] ; [KL ] ; [MN ] ; [PQ ] ; [ RS] ;
A )  Mesure  des segments : AB ] =        ; [BC ]  =         ; [CD ]   =          ; [ EF] =         ; [GH ] =          ; [KL ] =        ; [MN ]  =        ; [PQ ]   =          ; [ RS] =         ; [ _ _ ] =

 

Série  4 :
à partir du segment unitaire [ OI ]  = 1 ; donner le mesure des segments :
[AB ] ; [BC ] ; [CD ] ; [ EF] ; [GH ] ; [KL ] ; [MN ] ; [PQ ] ; [ RS] ;
A )  Mesure  des segments : AB ] =        ; [BC ]  =         ; [CD ]   =          ; [ EF] =         ; [GH ] =          ; [KL ] =        ; [MN ]  =        ; [PQ ]   =          ; [ RS] =         ; [ _ _ ] =

CALCULS

Exercice n° 1:

Enoncé :

          Calculer  d (A,B ) avec A (+3)  et B (+5)

 

Donner les deux solutions :  Le  graphique  et par le calcul.

 

Exercice n°2 :

Enoncé :

          Calculer  d(A,B) avec A (+3)  et B (-5)

Donner les deux solutions :graphique  et par le calcul.

 

 

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EVALUATION CC