Auteur : WARME R. Livre : Elève
en formation. |
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
Année
scolaire : ……………………… |
Dossier pris le : ……/………/……… |
Validation de la
formation : O - N
Le :
…………………………………….. Nom du
formateur : …………………… |
ETABLISSEMENT : ………………………………………….. |
iNous avons déjà recherché un
résultat en remplaçant des lettres par des nombres .lors de la leçon sur les « nombres décimaux
relatifs @ ( voir les derniers exercices de l’évaluation )».
Il est souhaitable de reprendre ces calculs et
pour les mettre en lien ce qui a té fait avec ce cours .La leçon
« sur la recherche d’une valeur
numérique d’une expression littérale » est la suite des calculs
avec des nombres relatifs .
Le but de la leçon « valeur numérique d’une expression
littérale » étant d ’ utiliser des « formules » qui
sont utilisées le cadre professionnel.
Dans le programme il n’est pas prévu de traiter
« normalement » la leçon sur les priorités dans les calculs .
Pourtant il faut connaître l ’ordre dans lequel on
effectuera les opérations ;: par
quelle opération commence t - on ? et par quelle termine - t -
on ? si il y a ( en partie ou tout )
des additions ,soustractions , multiplications ,divisions et puissances
voir racine dans une chaîne d’opérations .
cliquer ici : Les chaînes d’opérations
, dit aussi : opérations combinées et les priorités de calculs . |
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Leçon |
LECON |
RECHERCHE DE
LA VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION LITTERALE . |
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COURS
iEn arithmétique , lorsque
l’on utilise des formules ( voir :calcul d’aire ;
périmètre ….) ; on remplace des lettres par des nombres ( grandeurs) , en
vu de trouver une valeur numérique ; ce
calcul est une activité appelée :
« rechercher la valeur numérique d’une expression littérale » .
Définition : Pour calculer
la valeur numérique d’une expression littérale , on
remplace les lettres par les valeurs qui lui sont
attribuées (données) . |
Il en est de même si l’on calcule la valeur numérique d’une expression
algébrique .
Exemples de formules ( expressions littérales ) couramment usitées
Cas de calculs |
Formules Sur le C D
vous avez une foule de situations problèmes traitant chaque cas |
Pour plus
d’informations |
Aire du carré |
A = c² |
|
Périmètre du carré . |
P =4c |
|
Longueur d’une circonférence. |
P = 2 p R |
|
Aire d’un disque. |
A = p R ² avec (p » 3,14 ) |
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Aire du trapèze. |
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Périmètre du
rectangle. |
P = 2 ( L + l
) |
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Aire du rectangle . |
A = L l |
|
Aire du triangle |
A = |
Un calcul numérique
comporte plusieurs étapes qui, à chaque fois
sont :
-
soit changer l’écriture d’un nombre.
Exemple : = = 3,5
-
soit effectuer une série de
transformations
grâce à une règle (ou une
procédure)
Exemple : + = =
Préambule : Pour pouvoir effectuer un calcul ou une série de calculs , en vu de
trouver un nombre (appelé :
résultat ) , il faut avant
tout savoir le lire et donc de connaître les conventions d’écritures
et les priorités opératoires .
En calcul numérique :
· On n’écrit
jamais deux signes qui se suivent sans parenthèses .
on n’écrit pas
3 ´ - 4 mais
on écrit 3 ´ ( - 4 )
· Au lieu d’écrire
3 ´ 3 , on
écrit 3² ; et 3´ 3´ 3 s’écrit 33
· Le trait de
fraction signifie la division du numérateur par le dénominateur et tout se
passe comme si le numérateur et le dénominateur étaient entre parenthèses.
Ainsi :
* s’écrit
5 ÷ 2 + 3 = ; qui s’écrit
aussi ( 5 ÷ 2 ) + 3
= 5,5
*
et s’écrit
( 5 +3 ) ÷ 2 = ; soit
(8 ) ÷ ( 2 ) = 4
I.2. Principales règles de transformations de l’écriture des nombres |
Il est souvent très
utile de transformer les écriture des nombres et de les remplacer par une
valeur numérique. Nous retiendrons les transformations suivantes :
A) : @ i 3² signifie 3 ´ 3 ( = 9 ); comme 33
signifie 3´ 3´ 3 ( = 27)
B ) : @ i Le trait de fraction signifie une
division : = 2,5
C ) : @ i « simplifier » ; « rendre
irréductible » et « réduire au même dénominateur »
=
Les nombres « k » et
« b » sont des nombres non nuls . cette écriture permet de simplifier une fraction ou
de réduire deux fractions
aux mêmes dénominateurs.
- Simplifier directement les fractions suivantes :
Soit la fraction : |
On peut diviser le numérateur et le dénominateur
par : |
On peut ainsi
remplacer : |
|
« 2 »
pour
simplifier ou
« 4 » pour
rendre irréductible . |
Par 4 / 6
ou 2 / 3 |
-
C 1 ) Réduire au même dénominateur
2 fractions :
résultat : le
dénominateur commun est
« 40 » ;
les deux fractions équivalentes aux fractions 7 / 10
et 3/ 4 sont 28 / 40
et 30 / 40
-
C 2 ) Réduire au même dénominateur
3 fractions :
résultat : le
dénominateur commun est
« 60 » ;
les trois fractions
équivalentes aux fractions 7 /
10 et
3/ 4 et 18/30 sont 42 / 60
et 45 / 60 et 36 / 60
D) : @ i L’écriture
décimale et les puissances de
dix :
exemples :
b) 0,45 = = 45 ´ 10 -2
E ) :@i L’écriture décimale
et les pourcentages :
exemple : 0,145 = = 14,5
%
si la fraction n’est pas « décimale » ,il faudra :
E 1 ) : @ i- ou rendre la fraction irréductible .et
continuer les calculs avec cette fraction.
E 2 ) : @ i-
ou effectuer la division et
remplacer la fraction par un nombre décimal « arrondi » à
0, ? ? ?1 prés . On
remplace le « ? » par un
ou plusieurs« 0 »
F ) : @ i L’écriture par la
valeur de la racine
exemples : on
remplacera par 3 ;
et par une valeur approchée » 3,162 )
I.3. Priorités
opératoires : Recherche d’un résultat numérique . |
le résultat
peut être recherché soit à partir d’une formule ou d’une chaîne
d’opérations possédant ou non des parenthèses.
Organigramme concernant
l’ordre chronologique des calculs :
¶ Résultat numérique recherché
à partir d’un énoncé et d’une formule donnée
Si les calculs
s’effectuent à partir d’une
formule donnée :
+Le calcul est direct :
Il n’y a que des nombres séparés par des
signes opératoires dans le deuxième
membre , le résultat s’obtient directement ;on remplace chaque lettre par leur valeur numérique ,ensuite on
effectue les calculs .
Exemple : Calcul d’aire du trapèze (à l’aide de
la formule : )
Application : Un trapèze a les dimensions suivantes :
B = 12,6 cm ; b = 7,4 cm ; h = 6,8 cm.
Calcul de son aire . A = =
68 cm2
+Le calcul est indirect : L’expérience et les
connaissances en algèbre sont
nécessaires ! ! ! ! ! !
Il y a des nombres dans les deux membres de
l’égalité , il y a une lettre dans un des membres , qu’il faut isoler . C’est
alors un problème d’algèbre : il faut faire l’inventaire des données
numériques , on identifie ce que l’on
cherche , on transforme l’égalité
pour isoler l’inconnue , on fait le calcul .
Exemple : Trouver la hauteur du trapèze qui à une aire de 50 m2 et
dont les bases mesurent 12,6 m et
7,4 m .
Soit la formule : ;
on remplace les lettres par les valeurs données :
On transforme pour
obtenir : h= ==
5 m
( info @ + :voir le
cours sur « résoudre un problème du premier degré »)
·
Résultat numérique à rechercher à partir d’une chaîne d’opérations :
Exemple de calculs
à effectuer dans une chaîne d’opérations
L’expression
contient des additions, soustractions ,multiplications
,divisions (ou fractions….) , des puissances , des racines:
Exemple
9,2 - 42 7
+ 2,7 (-6)2 + - =
Procédure |
Exemple |
|
1ereEtape |
Calculer la racine au préalable faire le calcul sous la racine au cas où….. |
9,2 - 42
7
+ 2,7 (-6)2 + -
20 |
2emeEtape |
Calculer les puissances |
9,2 - 16 7
+ 2,7 (+36) + -
20 |
3emeEtape |
Calculer les divisions |
9,2 - 16 7
+ 2,7 (+36) +
5 - 20 |
4emeEtape |
Calculer les multiplications |
9,2 - 112 + (+ 97,2 ) + 5
- 20 |
5emeEtape |
Transformer l’expression algébrique en somme
algébrique |
(+9,2)+( -
112) + (+ 97,2 ) + (+ 5) + ( - 20) |
6emeEtape |
Calculer la somme des nombres positifs |
(+9,2)+ (+ 97,2 ) + (+ 5) = (+(9,2+97,2+5)= (+ 111,4) |
7emeEtape |
Calculer la somme des nombres négatifs |
( - 112)
+ ( - 20) =( - (112+20)) = (-132) |
8emeEtape |
Calculer la somme des nombres de signe contraire |
(+ 111,4)+
(-132) = ( - (132- 111,4)) = (-20,6) |
9emeEtape |
Rendre compte |
9,2 - 42
7
+ 2,7 (-6)2 + - =(-20,6) |
ACTIVITES : Calculer (CORRIGE : CLIQUER ICI )
1°) 3 + 5,6 + 8 =
2° ) - 5 - 6,3 -7,2 =
3° ) -8,3 + 5 - 9 - 13,5 + 7,7
=
4°) 15,3 - 4 5,3
+ 73
=
5°) 3, 5 - 9 : 2 + 49
=
6°) -8.4 + 11 +1,2
=
7 °) 3, 52- 9
: 2 + 492
=
8 ° ) -8,42 + 11 +
()
21,2 =
9°) 9,2 - 42 7 + 2,7 (-6)2 + - =
II. NOTIONS sur le CALCUL ALGEBRIQUE et exemple de résolution de problèmes à
traiter avec l ’ algèbre . |
i Les objectifs
de base en algèbre qu’il faudra atteindre en fin de niveau V
sont :
- savoir effectuer des calculs
qui comportent des variables ou des inconnues ( notées
généralement « x » et « y ») ; savoir développer
et factoriser des expressions ,
- savoir mettre un problème en
équation et
- savoir résoudre des équations ( et système) du
premier degré .
Ce cours a pour but de vous familiariser au vocabulaire
qui sera
utilisé dans les objectifs cités ci - dessus .
i Dans les expressions algébriques
le signe « multiplié » n’est jamais représenté.
On n’écrit pas les signes ´, sauf entre deux nombres ( pour ne pas confondre entre
24 et 2 ´ 4 )
Exemples :
Formule |
En omettant les signes ´ |
L’expression se lit : |
2 ´ p ´ R |
2p R |
2 fois pi fois R |
3´x |
3x |
3 fois ixe |
a´b |
ab |
a fois b |
a´b´c |
abc |
a fois b
fois c |
3´ |
3 |
3 fois
racine carré de 18 |
2 ´ x ´ ( 1 - x ) |
2 x ( 1 - x ) |
2 fois x facteur de 1-x |
3 ´ ( 2´ x + 1) |
3 ( 2x + 1) |
3 facteur de 2 ixe plus un |
x ´ ( 2´x +2 ) |
x ( 2x +2
) |
ixe facteur
de 2ixe plus 2 |
(2´x +1)´(3´x + 2) |
(2x+1) (3x+2) |
2ixe plus un entre parenthèses facteur de 3 ixe plus 2. |
iremarque : les
groupes de mots « fois entre parenthèses » et « facteur
de » ont la même signification .
êATTENTION au
risque d’erreur : ne pas confondre ce qui est dit et de ce
qui est écrit :
Exemple
1 : a +b² est différent de l’écriture ( a + b ) ²
3 + 5 ² = 3
+ 25 = 28 ¹ (3+5)² = 64
Exemple 2 : a - b² est différent de l’écriture ( a -
b ) ² ;
3 - 5²
= 3 - 25
= - 23
¹ ( 3 -5 )²
= 4
A retenir :
Quand on multiplie un nombre par une lettre ou une
parenthèse, on n’écrit pas le signe ´
¶ Calculs
@ : tous les calculs
peuvent se décomposer en multiplications , divisions , additions ou
soustraction de monômes ( un monôme
est une expression algébrique qui ne
contient ni signe + ni signe - , c’est un produit de
coefficient et de lettre (s))
Exemples de monômes : 3x ;
2,5 x² ;
On
décompose en produit de facteurs et
l’on « regroupe » |
On
regroupe les termes de même degré |
Addition ou soustraction de deux
monômes de même degré |
|
Exemple 1 : 5 x² 2x
= 52x
x x =
10 x3 Exemple 2 - 3 x 3
2 x²
= - 3 x
xx2x
x = -
6
2
x 5 = - 12 x 5 |
Exemple 3 5 x² - 2
x² =
3 x² Exemple 4 4 x² - 3
x² = 1 x² =
x² |
· Développements et factorisations
@
Définition : Une expression algébrique est développée si elle
est écrite sous la forme d’une somme de
monômes
Les deux modèles mathématiques
de base du développement sont : k (
a + b ) et k ( a - b )
Exemples :
Expressions
algébriques de la forme : |
|
Forme non développée |
Forme développée |
k ( a + b ) |
k a +
k b |
3 ( x
+ 5 ) |
3x + 15 |
3 ( 2x
+ 5 ) |
6x + 15 |
3 ( x
- 5 ) |
3x - 15 |
3 ( 2x
- 5 ) |
6x - 15 |
Applications :
Forme |
Application
numérique |
Application
algébrique : |
k ( a + b) |
a) 3 ( 2
+ 5 ) = 3 (
7 ) = 3 ´ 7 =
21 b) 3 ( 2
+ 5 ) =
3 ´ 2 + 3 ´ 5 =
6 + 15 = 21 |
a) 3 ( x +
5 ) = 3 ´ x + 3 ´ 5
= 3x + 15 b) 3 ( 2x
+ 5 ) = 3 ´2 ´ x + 3 ´ 5
= 6x + 15 |
k ( a - b ) |
a) 3 ( 5 - 2
) = 3 (
3 ) =
3 ´ 3 = 9 * b) 3 (5
- 2 ) =
3 ´ 5 - 3 ´ 2
= 15 - 6 = 9 |
a) 3 ( x
- 5 ) = 3 x
- 3 ´ 5 = 3x
- 15 b ) 3 ( 2x -
5 ) = 3 ´2 ´ x - 3 ´ 5
= 6x - 15 |
* exemple de développement d’une somme de nombres relatifs :
3 [ (+5
) + ( -
2 ) ] = 3
(+5 ) + 3 (
- 2 )
= ( +15 )
+ ( - 6 ) = ( + 9 )
Activités :
Développer
2 ( x +
3 ) ; 7 (
x -
5 ) ; 3 ( 4x + 2,1
) ; 5 ( 3x -
3,2 ) ; x ( x +
1 ) ; x ( 2x + 1 ) ; 2x ( 2x +
1 )
+Suite : Développer ,
réduire, ordonner
@ :
Définition : Une expression algébrique est
développée, réduite et ordonnée si elle
est la somme de monômes ,de puissances différentes ,ordonnée par puissances
décroissantes.
Ordonner
:
Exemple d’expression algébrique ordonnée : A = 7 x² - 3 x + 1
Exemple de l’expression algébrique
ci dessus non- ordonnée : A = - 3 x
+ 1 + 7 x²
Réduire : réduire
c’est regrouper des termes de même degré
( ou de même puissance) :
Exemples :
Expression « non » réduite : |
Expression réduite . |
5 + 3 |
8 |
7 - 4 |
3 |
x
+ x |
2x |
2x + x |
3 x |
3x +
2 x |
5 x |
x ² + x ² |
2 x ² |
3 x + x |
4 x ² |
Remarque : on ne peut pas réduire les expressions ci dessous ! |
|
|
Mais on peut
« factoriser » ! ! ! !à condition de
savoir identifier le « facteur
commun » qui est contenu dans chaque terme . ( info plus +++) |
x
² + x
( = x x + 1 x ) |
= x
( x + 1 ) « x » est le facteur commun |
3
+ 3 x [ =
( 3 ´ 1 + 3 ´ x ) ] |
= 3
( 1 + x ) « 3 » est le facteur commun |
3
+ x ( il n’y a rien à modifier) |
|
Factoriser :
Une expression algébrique est
factorisée si elle est écrite sous la forme d’un produit :
A = ( 2x
+ 1 )² ou B = 3
( x + 4 ) ( 3x - 1) ou C = ( x + 1 ) ( x - 1 )
Pour savoir factoriser
il faut savoir identifier les termes qui
contiennent un facteur commun . (
info plus +++)
On dit aussi que pour
« factoriser » il faut savoir identifier dans les termes de l’expression
algébrique le (ou les )
facteur commun .
i Pour
factoriser ou développer on utilise
les égalités :
k ( a + b ) = k a + k b
(
a + b ) ( c + d ) = a c + ad + b c + bd
ou les
Identités Remarquables .
Pour informations : les I.R.
sont des « outils mathématiques » , elles se présentent sous « 3 formes » , elles sont
utilisées soit pour donner une forme
factorisée ou inversement donner une
forme développée d’une expression algébrique du « second degré » .
·
les égalités en caractère gras seront à retenir et utilisées dans le
cadre du calcul mental .
·
exemples : ( 101)
² ( = 100 + 1 ) ²; 49 ² (
= 50 - 1 ) ² ; ………
iPour effectuer
une opération (calcul) il faut deux nombres. Lorsqu’il y a plus de deux
nombres, il y a au moins deux opérations à effectuer, il y a souvent une opération à faire avant l’autre, on dit que la première
opération à priorité sur la seconde opération.
Les 3
principales priorités sont :
+Si il y a des
parenthèses :on effectue en premier les calculs entre ces parenthèses.
Exemple : 2 ( L + l )
= ; on calcule d’abord la somme : L + l puis on multiplie par cette somme
par 2 .
Tout comme il est possible de développer : 2 ( L + l )
= 2 L + 2 l
+Une puissance à
priorité sur la multiplication.
Exemple : 3,14 R²
: on calcule d’abord
R² ;puis on multiplie le résultat par 3,14 .
+La
multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la
soustraction.
Exemple : 3 + 4
l ; on calcule 4 fois « l »
puis on ajoute « 3 »
A ) Exemple d’utilisation d’une
formule
On donne les dimensions du trapèze B = 8 ; b =
5 et h = 4 ( les unités sont des , par exemple, cm) On veut connaître son aire . On
connaît la formule : A = |
|
¬ On remplace les lettres par leurs valeurs :
A = On calcule dans les parenthèses : A = ® Puis on calcule
(13)4 = 4 ( 13) = 4
13 = 52 ainsi : A = ¯ On divise :
52 :2 ainsi A = 26 °On conclue : l’aire du trapèze est de 26 cm² |
B ) Exemples
de calculs : ou il faut remplacer les lettres par des valeurs
numériques et calculer :
N°1 ) Soit
l’expression littérale : |
4a + 5 b – 2c |
Calculer sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43
+ 5
8 – 25
= |
42 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3
+ 59,25
– 21,5
= 17,2 +
46,25 - 3 |
60,45 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)
+ 5
(+6) – 2(-8)= -16 + 30 – (-16) =-16 +30 + (+16) |
( +30) |
N°2 :Soit
l’expression littérale : |
4a² + 5 b ´ 2c |
Calculer sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43²
+ 5
8 25
= 36 + 400 |
436 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3²
+ 59,25
21,5
= 73,96
+ |
212,71 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)²
+ 5
(+6) 2(-8)= 64 + ( -
480 ) = |
- 416 |
N°3 :Soit
l’expression littérale : |
4a + ( 5 b – 2c )² |
Calculer sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43
+ ( 5
8 – 25)
² = |
912 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3
+ ( 59,25
– 21,5)²
= 17,2 +
612,5625 |
629,5625 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)
+ (5
(+6) – 2(-8))²= - 16 + 2116
= |
2100 |
N°
4 :Soit l’expression littérale : |
4a + ( 5 b – 2c )² |
Calculer sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
43
+ ( 5
8 – 25)
² = |
912 |
2°) |
4,3 |
9,25 |
1,5 |
44,3
+ ( 59,25
– 21,5)²
= 17,2 +
612,5625 |
629,5625 |
3°) |
-4 |
+6 |
-8 |
4(-4)
+ (5
(+6) – 2(-8))²= - 16 + 2116
= |
2100 |
N°5
:Soit l’expression littérale : |
+ 5 – (2 c
) ² |
Calculer sa valeur numérique :
|
« a » |
« b » |
« c » |
Transformation de l’expression |
Résultat |
1°) |
3 |
8 |
5 |
+ 5
4 – ( 10 ) ² = 2 + 20 - 100 = = 2 - 80 |
= 2 ( - 40
+ )
|
2°) |
-4 |
+6 |
-8 |
+ 5
fois – (2
-8 ) ² : résultat terminal
impossible |
Le calcul
n’est pas possible pour |
CONSEILS :
Après une première lecture : il faut prendre
les travaux auto formatifs, et travailler chapitre par chapitre.
Surtout , allez au « corriger » pour
vérifier vos réponses.
Si le devoir « contrôle » paraît long,
passer le en plusieurs fois.
N°7/ 26 |
Voir : ►les TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION à préparer sur feuille. |