PREAMBULE
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N°5 |
Définitions préalables
Fraction : La fraction est le rapport (une division ) d’un nombre
entier naturel par un autre nombre entier naturel
Exemple :
Rationnel Un rationnel est le quotient
d’un entier par un entier « non nul ». ( on dit
aussi : « différent de zéro » ; noté :
¹ 0 )
Exemples : 16 : 2 = 9 9 est un rationnel
25:
4 = 6,25 6,25 est un rationnel
11
: 7 =
11/7 11/ 7 est un
rationnel
Ecriture fractionnaire : On appelle « écriture fractionnaire «
une fraction possédant, au moins un nombre décimal ».(
Il y a au moins un nombre décimal au numérateur ou au dénominateur.)
Pour
des raisons « pratiques »
il est souvent demandé d'exprimer le résultat du calcul
sous une forme qui vous est précisée: exemple :« arrondi à …0,001… » ( pour plus d’information consulter le CD : les « nombres irrationnels)
Savoir additionner deux fractions de même dénominateur (cas où les dénominateurs sont différents) |
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Savoir soustraire deux fractions de même dénominateur (cas où les dénominateurs
sont différents) |
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Savoir multiplier
deux fractions de même
dénominateur (cas où les dénominateurs
sont différents) |
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Multiplication : pourcentage |
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Savoir diviser
deux fractions de même
dénominateur (cas où les dénominateurs
sont différents) |
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Savoir diviser
un nombre par une fraction |
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Savoir diviser
une fraction par un nombre. |
RESUME
( à retenir) :
les opérations avec les fractions
Pour
chaque opération type il y a deux cas à prendre en compte : les dénominateurs
sont différents ou les
dénominateurs sont identiques
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ADDITION |
SOUSTRACTION |
MULTIPLICATION |
DIVISION ( ou fraction
de fraction) |
Même
dénominateurs |
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Dénominateurs
différents |
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Cas particuliers : et |
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LES FRACTIONS
EQUIVALENTES
Dénominateurs
différents |
Même
dénominateur |
; donc
ad = bc |
Impossible ;
puisque a ,b , c sont des nombres différents ; donc
ab = bc |
Leçon |
Titre |
N°5 |
LES FRACTIONS : Opérations : Addition ;
soustraction ; multiplication ; division |
Important :Pour faciliter les calculs et pour éviter les risques d’erreurs de
calcul , il est conseillé de simplifier
jusqu’à rendre irréductible la ou
les fractions .
A.
« ADDITION » ; « SOUSTRACTION » ;
« MULTIPLICATION » ; « DIVISION » de DEUX FRACTIONS DE
MEME DENOMINATEUR . |
* chaque opération est traitée, à chacune correspond une
information plus particulière .
1.
ADDITION |
Définition : La somme de deux fractions est égale à
une troisième fraction qui aura pour
« Numérateur » : la somme des numérateurs et pour
« Dénominateur » : le dénominateur commun. |
.
Forme mathématique:
Exemple
2.SOUSTRACTION |
Règle :
(Forme
littérale)
Définition : La différence de deux fractions est égale
à une troisième fraction qui aura pour
« Numérateur » : la différence des numérateurs et pour
« Dénominateur » : le dénominateur commun. |
Forme
symbolique mathématique:
Exemple
Calcul de :
Solution : = =
Expression
du résultat :
Conclusion : = ; »
0,333333333333333333333333333333333
3.MULTIPLICATION |
Règle : ( Forme littérale)
La
multiplication de deux fractions de même dénominateur est égale à une
troisième fraction qui aura pour: « Numérateur » le produit des
numérateurs et pour « Dénominateur » le produit des dénominateurs. |
Forme
symbolique mathématique:
Exemple :
Calcul de
Solution : = = ou
=
Calculs : 8
fois 7 = 56 et 13² = 169
Soit : =
En
conclusion = ou » 0,331
4
.DIVISION ( fraction
de fraction) |
Remarque
importante: Nous ne pouvons pas calculer directement la fraction de
deux fractions ,il faut impérativement transformer
Donc
l’écriture : se
transforme en
La fraction de deux fractions devient
Bien que la fraction de deux fractions soit transformée en
division ;le calcul de
la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut « passer » par la multiplication en
respectant la procédure suivante:
se transforme en qui
devient = = =
En conclusion : =
En
résumé :
Règle : ( forme littérale ) Pour
calculer la division de deux fractions il suffit de
multiplier la première fraction par l’inverse de seconde
fraction. |
Autrement
dit : Le résultat de la division de deux fractions de même
dénominateur est égal au produit de la
première fraction par l’inverse de seconde fraction .
Forme
symbolique mathématique :
Exemple :
calculer
Solution :
Déroulement :
+Faire les exercices
suivants :
Addition |
|
|
= |
|
|
Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les
nombres relatifs) |
|
|
|
|
|
Soustraction |
|
|
= |
|
|
Multiplication |
|
|
= |
|
|
Fraction de fractions |
|
|
|
|
|
Division de fractions |
|
|
= |
|
|
Réponses : ; ; ; ; ;
Il faut
valider les acquis précédents avant d’étudier le chapitre « B »
(chapitre suivant)
voir ci- dessus. |
B ) ADDITION ;
SOUSTRACTION ; DIVISION et
MULTIPLICATION ; de DEUX
FRACTIONS de DENOMINATEURS DIFFERENTS. |
:i |
i9 |
5 .ADDITION : |
:i |
Soit les deux fractions On ne peut pas additionner des
fractions de dénominateurs différents :
Ainsi
avant de faire l’addition de deux fractions il faut transformer
chaque fraction en fraction dite « équivalente »
dont le nouveau dénominateur est égal
au produit des deux dénominateurs « bd » .
a)
b)
On remplace l’addition par
On peut écrire
l’égalité : =
On peut maintenant effectuer l addition des deux fractions:
=
Exemple : Calculer
Procédure :
1°) Au préalable on simplifie ou ,dans la mesure du
possible’ on essaie de rendre irréductible
la ou les fractions :
2°) On
remplace l’addition devient égale à
l’addition
On a remplacé , On obtient une nouvelle addition ,
3°) On calcule le « dénominateur commun » :
5 fois 4 = 20
4°) Transformation chacune des deux fractions . (Dont le dénominateur sera 20)
;
5°) On remplace l’addition avec
les fractions de départ par une nouvelle addition avec des fractions équivalentes :
=
Nous avons maintenant deux fractions de même dénominateur , nous pouvons faire l’addition .
6°) Calcul de l’addition :
= =
7°) Conclusion :
On reprend l’énoncé : l’addition de
départ ! |
On donne le résultat sous
forme irréductible |
On peut donner aussi le
résultat sous forme décimale |
|
= |
= 0,85 |
8°) Vérification : Dans tous les cas il
faut vérifier si notre résultat est
conforme ; pour cela on calcule la
division dans chaque fraction :
= 3 ¸ 5 = 0,6
; = 3 ¸ 12 = 0,25
Ensuite , on
remplace les deux fractions par les valeurs décimales calculées
précédemment et l’on compare :
=
0,6 + 0,25 = 0,85
On compare 0,85 avec , bien
entendu nous trouvons le même nombre
donc on peut maintenant conclure que :
=
6.
SOUSTRACTION: |
Soit les
deux fractions On ne peut pas soustraire des fractions de dénominateurs
différents :
Ici le
dénominateur commun sera «
bd »
On doit
transformer les fractions en fractions équivalentes dont on donnera un
dénominateur égal au produit des dénominateurs.
Avant de faire une soustraction il faut :
Transformer chaque
fraction en fraction dite
« équivalente » dont le nouveau dénominateur est « bd » .
a)
b)
On
remplace par
On peut écrire =
On peut maintenant effectuer la soustraction des deux fractions:
=
Exemple :
Calculer
Procédure :
1°) Rendre irréductible la ou les
fractions : ce qui est le cas de
2°) réécrire la nouvelle opération : devient égal à
3°)calculer
le dénominateur commun : 5 fois 4
= 20
4°) Transformation les deux
fractions de départ par des fractions équivalentes , ayant toutes deux un même dénominateur .
;
5°) Remplacer les fractions de la
soustraction d’origine par les fractions équivalentes :
=
6°) calcul de la soustraction :
= =
7°) 1ère conclusion :
= =
0,35
8°) Vérification : = 0,6 -
0,25 = 0,35 ; et =
0,35 ; conclusion
=
Si l’addition et la soustraction de deux
fractions de dénominateurs
différents posent un réel
problème , il n’en est pas de même
pour la multiplication et la division ( ou fraction ) de
fractions : il n’y a aucune transformation particulière , il faut
appliquer directement les
règles énoncées pour les fractions de même dénominateur . |
Voir suite du cours .
7.MULTIPLICATION |
Il n’y a
pas de transformation particulière
à effectuer , ainsi la multiplication de deux fractions de dénominateur
différent ne pose pas de problème
particulier .
On retiendra la règle suivante :
Règle : ( écriture
littérale)La
multiplication de deux fractions de dénominateur différent est égale à une
troisième fraction qui aura pour
« Numérateur » : le produit des numérateurs et pour
« Dénominateur » : le produit des dénominateurs. |
Traduction
symbolique mathématique: = =
Exemple : calculer :
Solution :
conclusion : = » 0,194805194805194805194805194805195
8.
DIVISION |
iNous ne pouvons pas calculer directement la fraction de
deux fractions ,il faut impérativement transformer
l’écriture .
Donc
l’écriture : se transforme en
La fraction de fractions devient
Bien que
la fraction de fractions soit transformée en division ; la division de deux
fractions ne se fait pas ; il faut transformer la division en multiplication en respectant
la procédure suivante:
se
transforme en qui
devient
En conclusion :
Et l’on applique ,ensuite, les règles de la multiplication de deux
fractions.
Règle : ( forme littérale ) Pour
calculer la division de deux fractions il suffit de
multiplier la première fraction par l’inverse de seconde
fraction. |
Forme symbolique
mathématique :
|
Exemple :
( »0,244444444444444444444444444444444)
conclusion : ; »0,24 à 0,01
près ( il faudrait faire la vérification ! !)
+Faire les
exercices suivants
Addition |
|
|
= |
|
|
Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les
nombres relatifs |
|
|
= |
|
|
Soustraction |
|
|
= |
|
|
Multiplication |
|
|
= |
|
|
Fraction de fractions |
|
|
= |
|
|
Division de fractions |
|
|
= |
|
|
iComme vous
l’avez remarqué :
on peut multiplier ou
diviser directement deux fractions de
dénominateur différent , on ne peut pas additionner ou
soustraire deux fractions qui
n’ont pas le même dénominateur .
C)
ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION d ’ une FRACTION et d ’ un NOMBRE . |
9.
ADDITION |
Addition d’une fraction avec un nombre entier
(naturel ou relatif)
Modèle mathématique: = ?
Exemple: = ?
idans
l’addition , Que le nombre soit devant
ou derrière la fraction le résultat ne changera pas : ( cela ne
sera pas vrai avec la soustraction )
Procédure pour transformer l ‘ addition
( ou la soustraction ) en addition ( ou soustraction) de deux
fractions de même dénominateur.
1°)Rendre la
fraction
irréductible.:
2°)Mettre le nombre
sous forme de fraction de dénominateur égal à
1
Modèle mathématique: c = ;
Exemple : 2
=
3°)Transformer cette fraction en fraction
équivalente de dénominateur égal au dénominateur de la première
fraction.
Modèle mathématique:
Le dénominateur de la première fraction est 13
donc =
4°) Poser la nouvelle égalité
Modèle mathématique: =
donc =
5°) Faire l’addition des deux fractions de même dénominateur.
donc =
6° ) il faudra conclure (comme on l’a vu pour les
exercices précédents ), après vérification.
10.
SOUSTRACTION |
Soustraction d’une fraction avec un nombre entier
(naturel ou relatif)
Modèle mathématique: = ?
Exemple: = ?
iContrairement
à l’addition , pour la soustraction , si l’on permute
le nombre et la fraction on n’aura pas
le même résultat: ¹
Procédure pour transformer la
soustraction d’un nombre et d’une
fraction en soustraction de deux fractions de même dénominateur.
( nous ne
traiterons que l’exemple de
soustraction : )
procédure :
1°)Rendre
la fraction
irréductible.:
2°)Mettre le nombre
sous forme de fraction de dénominateur égal à 1
Modèle mathématique: c = ;
exemple : 2 =
3°)Transformer cette fraction en fraction
équivalente de dénominateur égal au
dénominateur de la première fraction.
Modèle mathématique:
Le dénominateur de la première fraction est 13
donc
4°) poser la nouvelle égalité
Modèle mathématique: =
donc =
5°) faire la soustraction des deux fractions de même
dénominateur.
donc =
6° ) il faudra conclure (comme on l’a vu pour les
exercices précédents ), après
vérification.
11
.MULTIPLICATION |
Par définition : On ne
peut pas multiplier un nombre par une fraction ,
pour obtenir un résultat on prendra appui sur la règle concernant la
multiplication de deux fractions . |
Modèle mathématique: =
Exemple : = ? ;
On passe de ce
modèle mathématique: à ce modèle
Remarque : Il faut mettre le nombre
« c » sous forme de fraction de dénominateur égal à 1
; tel que c =
3° ) On
applique la procédure concernant la multiplication de deux fractions:
=
4° )
Rendre compte: =
Exemple : =
Solution : = = =
Conclusion :
=
Cas particulier 1 : on veut calculer : 3 = ; 72
Modèle mathématique: a = pas de
solution immédiate ; (il faut
transformer)
a = ? =
= ; aussi : a = |
Exemple : si
b = 2
|
Exemple 1 : Calculer 3 = ? ( donner le résultat sous forme d’une fraction simplifiée ; puis
sous la forme décimale )
3 = ( voir multiplication de deux fractions)
= ; = (voir
simplification d’une fraction)
= ; = ; =
conclusion : 3 = ; remarque :
( = 0,5 ),
sous forme décimale 3 = 0,5
Exemple 2 : calculer
72 ( donner le
résultat sous forme d’une fraction
simplifiée ; puis sous la forme décimale )
72 = = ; = ;
En
résumé : On ne peut pas multiplier un
nombre par une fraction , pour obtenir un résultat on
prendra appui sur la règle concernant la multiplication de deux fractions.
Procédure permettant de multiplier
une fraction par un nombre.( Modèle mathématique: = ) Il faut faire dans l’ordre :
a) Placer le nombre sous forme de
fraction de dénominateur égal à 1 :
b) On passe de ce modèle
mathématique: à ce modèle
c) On applique la procédure
concernant la multiplication de deux fractions:
=
d ) Rendre
compte: =
12. DIVISION |
Attention: on ne doit pas confondre:
« diviser une fraction par un nombre(
entier) » ( 1° cas):
|
|
ET
« diviser un nombre ( entier) par une
fraction »(2° cas)
|
|
iCe qui
différencie les deux cas est la position du signe « égal »
devant l ‘ une des deux barres de
fraction :
Etude
du 1° cas : « diviser une fraction par un nombre(
entier) »
|
|
1°) Première transformation
Exemple:
2°) Deuxième transformation
3°) Troisième
transformation : seconde. »
=
4°) Calcul : appliquer la règle concernant la
multiplication de deux fractions.
=
Etude du second cas : Division d’un nombre "a" entier
par une fraction
|
|
Exemple :
1°) Transformer la division d’un nombre par une
fraction en une division de fraction par
une fraction.
2°) Multiplier la première fraction par l ‘inverse de
la seconde. »
4°) Faire la
multiplication des deux fractions.
ion peut constater
que les deux cas donnent des résultats différents ,il est donc trés important de vérifier la position du signe
« égal »
donne
comme résultat: » 0,……
et donne comme
résultat: » 1,……
+Faire les
exercices suivants
Addition |
|
|
= |
|
|
Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les
nombres relatifs) |
|
|
= |
|
|
Soustraction |
|
|
= |
|
|
Multiplication |
|
|
= |
|
|
Fraction de fractions |
|
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= |
|
|
= |
|
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Division de fractions |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
( Voir la partie
abordée dans la leçon N°2 sur la fraction)
A
savoir : a% =
y = x ;
ou y = = =
ou
« y » est la valeur
d’une augmentation ou diminution
« a » la
valeur du taux
« x » le nombre sur lequel
s’applique le taux.
Exemple : on veut
calculer 8 % de 120
On transforme :
8% = ( = 0,08 )
On calcule : ´ 120 = = = = 9,6
Conclusion :
8% de 120 = 9,6