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II )
LECON : LA
DIVISION EUCLIDIENNE
(le nom de « division
euclidienne » ne s’adresse uniquement aux divisions dont les nombres sont des entiers naturels.
(Ensemble des nombres entiers naturels N)
Chapitres :
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III ) DEFINITION de la division euclidienne et « quotient
exact » |
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IV) INFORMATIONS « formation leçon » :
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Travaux auto - formation. |
Interdisciplinarité 1°) série 1 (info sur les entiers naturels) |
Corrigé des travaux auto -
formation. |
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Contrôle : |
évaluation |
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OPERATIONS :« TESTS » |
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Rappel : La table de division. |
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V
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Leçon |
Titre |
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N°C.N.21 |
CHAPITRES
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III )
DEFINITION de la division
euclidienne et « quotient exact » |
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A partir
du fait que 6 La division est l’opération inverse de la
multiplication : en effet , multiplier puis diviser par un
même nombre différent de
« 0 » une quantité a
un effet neutre sur cette
quantité : Exemple : (13 x 2) : 2 = 13. Il est donc évident que savoir faire des divisions passe par la
connaissance parfaite des tables de multiplication. Quand à l’utilisation de la calculatrice pour diviser : l’usage des
calculatrices électroniques de poche ne doit pas dispenser de posséder la
maîtrise totale des quatre opérations élémentaires :
Addition ; soustraction ; multiplication ; division. La
division est l’opération inverse de la multiplication : La division est une sorte de
« partage » « partager » c’est découper en parts
« égales » un objet , un tas ; un
ensemble d’objets en vu de les répartir en quantité
égale : exemples : pour partager un gâteau. Il peut y avoir 2
façons ; en fonction du nombre de personnes ( il
y a 5 personnes on découpe le gâteau
en 5 parts égales ); ou en fonction d’une quantité que l’on destine à
chacun ( On découpe le gâteau en 8
parts est on en donne 5 parce qu’il y en 5 personnes et que les quantités par part sont
suffisantes pour rassasier chacun) ( Voir les fractions ) Revoir : Les tables des
divisions : |
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7 =
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Les Symboles
séparant deux nombres indique la même
opération : appelée la division ; ils sont au nombre de trois. a)
les deux points
superposés « __ : ___ » b)
le
"slache"
« __ /___ » c)
la barre de
fraction « Sur la touche de la calculatrice on trouve le signe « ¸ » Si l’on fait de calcul ,
on obtient le même résultat si l’on
pose : 40:
8 (= 5 ) ;
40 / 8 ( =
5 ) ; Conclusion : deux nombres séparés par le signe : : ou
le signe indique
que l’on peut faire une division pour effectuer le partage
. |
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Définition : La division
euclidienne est une opération qui associe à deux entiers naturels « a » et « b » les entiers
naturels « q » et
« r » tels que :
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a = b avec
les conditions suivantes : b ¹
0 et
r < b |
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Exemple: puisque
147 par 8 donne 18 , et le reste 3 ;
alors 147 = 8 Ecriture mathématique : Ce qui se traduit , en
langage littéral ,par : Le
dividende « a » est égal (=) au produit ( Formule équivalente
Encadrement : b Application :
38 : 7
7 3 5 £ 38 < 7 |
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"QUOTIENT EXACT" |
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Remarque : si le reste de la division euclidienne est égal
à zéro (le reste est nul ) , le quotient est appelé
« quotient exact ».
( si l’on obtient un quotient
exact ,on peut donc répartir ou partager « équitablement » une
quantité donnée .) 12 : 4 = 3 + 0 A retenir : ( savoir
nécessaire pour calculer dans une proportion)
« dividende » divisé
par le « diviseur » égal le quotient. :
« a » : « b » = « q » aussi : le quotient multiplié par le
diviseur est égal au dividende ; Et le
quotient divisé par le dividende est égal
au diviseur. |
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« QUOTIENT NON- EXACT » |
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Lorsque le reste n’est pas nul
, le quotient est appelé « quotient à 1 près par
défaut » ou « approximation entière par défaut » du quotient . Vocabulaire : le mot « approximation » vient du
latin « proximus » : proche . « par défaut » signifie « ce qui
manque » |
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18 + 3 Disposition
pratique de la division euclidienne :
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Forme : |
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a |
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b |
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q |
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r |
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où on nomme a
étant le dividende
b étant le diviseur
q étant le quotient
r étant le reste
Complément :
On peut dire que : le quotient d’un entier par
un entier non nul est appelé « rationnel ».
Le quotient est le nom donné au résultat de la division.
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Pour "b" voir |
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A retenir : dividende : divisé par le diviseur égal le quotient. « a » :
« b » = « q »
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IV)
PRATIQUE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE . |
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A) Disposition :
Exemple : Faire la division
euclidienne de 27 : 6
= ?
1° )
Calcul :
Disposition pratique:
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Forme : |
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a |
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b |
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|
q |
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|
r |
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Ce qui se traduit par : |
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2 |
7 |
6 |
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2° ) Résultat :
27 = 6 
4 + 3 les conditions étant respectées : puisque b
= 6 et r < 6
B ) PRATIQUE DE LA
DIVISION : exemple : on veut diviser 87
par 6
PROCEDURE :
a ) Identifier (nommer) : le dividende : 87 ;
le diviseur : 6
b) établir mentalement (ou par écrit) la table de multiplication dont le
nombre « multiplicateur » est
le diviseur :
6 1 = 6
62 = 12
63 = 18
64 = 24
65 = 30
66 = 36
67 = 42
68 = 48
69 = 54
c) Poser la division :
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87 |
6 |
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d ) Prendre le premier chiffre du
dividende : « 8 » ;
le comparer à « 6 » , se poser la question :
Dans :
« 8 » combien peut - il t avoir de fois « 6 » ?
réponse à voir dans la table de multiplication :
6 1 = 6
62 = 12
« 8 » est compris entre « 6 » et « 12 » ; en conclure que « 8 » contient une
fois « 6 » ; on écrit
« 1 » au quotient
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8 |
7 |
6 |
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1 |
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ou plus généralement : Combien
« de fois » contient le premier chiffre du dividende le nombre
« diviseur » ?
e ) Dans la division pratique il faut
poser la soustraction 8 - 6
reste : 2
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8 |
7 |
6 |
|
6 |
6 |
|
1 |
|
|
2 |
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f ) reste « 2 » , j
‘abaisse le « 7 ».
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8 |
7 |
6 |
|
|
- 6 |
¯ |
1 |
|
|
2 |
7 |
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g) le nouveau dividende vaut : 27
On se pose la question :
dans « 27 » combien de fois y
a t - il de fois « 6 » ?
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8 |
7 |
6 |
|
|
6 |
1
4 |
|
|
|
2 |
7 |
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6 « 27 » est compris entre 6 |
- 2 |
4 |
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0 |
3 |
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On « met » « 4 » au quotient
On pose la soustraction 27 -
24 = 3
« 3 » est le reste de la division ( parce que le « reste » est inférieur au
« diviseur »)
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Utilité de l’encadrement du dividende sous la forme :
b ( rechercher pour
approcher un nombre dans les
tables de multiplication ) ;
en vue de trouver la valeur du
diviseur en se posant la
question :« combien de fois y
a t - il.... « tel nombre »......dans....« tel
nombre ».... ? » exemple : combien y a t il de fois « 6 » dans « 27 » ? D ‘après la table des multiplications ( fois 6 ) 6 fois 5 = 30 ; 6 fois 4 = 24» donc dans
la table des « 6 » ; 27
est compris entre 24 et 30 ce qui se traduit :
24 < 27
< 30 soit
6 on retrouve
la forme Nous obtenons avec cette relation d’encadrement
EXERCICE d '
application de l’encadrement : Travail : On veut effectuer la division euclidienne 27 : 6 On passera par l ’ encadrement
pour la recherche d'un nombre
pouvant se trouver dans la
table de multiplication: Ainsi , on s’interroge : est ce que 27 est
dans la table des 6 ? Réponse :
non parce que 27 est compris
entre 6 fois 4 et 6 fois 5. Réalisation : Effectuer la division
euclidienne 27 : 6 1°) Donner le résultat sous la
forme « a = b q + r) 2°) Donner la valeur de
« a » par encadrement , sous la forme « b q < a
< b q + 1 » (on lira que « a » est
compris en b fois q et b fois q plus r ). Résolution : 1°) résultat sous la forme « a = b q + r » a ) On pose 27 =
a et
6 = b b) On veut le
résultat sous la forme :
« a = b q + r) après avoir posé l’opération on relève que : 27 = 6 2°) Encadrement , sous la forme « b q < a
< b q + 1» c ) Nous
savons que dans la table des
« 6 » 27 > 6
d )
nous pouvons écrire 6
6 donc
24 < 27
< 30 Commentaire : dans la table des « 6 » , 27 est compris entre 6 fois 4 et 6
fois 5 . pour
diviser 27 par 6 ;nous nous réciterons la table des
« 6 » nous
chercherons dans 27
combien de fois il y a 6:
ainsi : 6 fois 4 = 24 ; 6 fois
5 = 30 on remarque
que 27 se trouvant entre
« 24 » et « 30 » 4 est donc le diviseur choisi : 6 fois 4 = 24 ensuite je calcule
27 - 24 ;il me reste donc 3 .
Pour que 27 soit divisible par 6 ,
dans la division euclidienne le quotient devrait être (dans une des divisions)un
quotient exacte. je peux rendre
compte : le résultat de la division
euclidienne 27 par 6 est : 27 = 6 Autre division: POUR DIVISER : 4592 par 31 Réponse : Il
faut établir la table des multiplications
des "31"
Il faut ensuite effectuer la division
vue précédemment . |
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Leçon |
TRAVAUX d
’ AUTO - FORMATIFS sur |
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N°C.N. 21 |
LA DIVISION EUCLIDIENNE. |
1. Que veut dire diviser ?
2 . Donner la définition de la division euclidienne.
3. Traduire avec des symboles :
« Le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient ,plus le reste .Avec les conditions que le diviseur
soit différent de zéro ; et le reste
soit strictement inférieur au diviseur. »
4 . Si le reste de la division
euclidienne est égal à zéro ,comment appelle - ton le
quotient ?
5. Donner la disposition pratique de la division
euclidienne ;nommer les symboles .
6.
Quel point
commun ont entre eux les symboles suivants :
:
; _ ;
/ ; ?
7. Traduire en langage littéral : a
= b q + r
avec les
conditions suivantes :
b ¹ 0 et r < b
8 . A quoi sert - il de connaître la division
euclidienne ?
1 .Soit : 40 : 8;
40 / 8; 
; trouver le
point commun ; conclusion.
2°) Donner sous forme euclidienne le résultat des divisons
suivantes :
|
Exercices |
Votre résultat |
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31 : 3 |
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165 : 5 |
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587 : 11 |
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237 : 33 |
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|
166 : 9 |
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|
349 : 15 |
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|
180 : 4 |
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|
51 : 7 |
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3°)
Reprendre les divisions précédentes et présenter le dividende
encadré par les divisions euclidienne les plus proches.
Rappeler la
forme
|
b |
< a
< |
b |
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31 |
|
|
|
165 |
|
|
|
587 |
|
|
|
237 |
|
|
|
166 |
|
|
|
1 349 |
|
|
|
180 |
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51 |
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A )Problème :peut
- on partager équitablement 123
feuilles de papier en 6 paquets .INTERDISCIPLINARITE :
|
Soit 45872’’ , convertir
en degrés, minutes , secondes |
PARTAGE :
Claude partage entre ses équipiers une boites de 72 dragées. Chaque équipier a reçu 12 dragées
.Combien sont-ils dans l’équipe de Claude ?
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Classe
« école » |
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Exemple :
les 24 élèves d’une classe sont
répartis en 4 équipes. Combien y a-t-il
d’élèves par équipe ? |
Réponse : 24 = 4 |
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1- Pour le goûter
on partage équitablement un paquet de 24 galettes entre 4 enfants . Quelle sera la part de chaque enfant ? |
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2 - Cinq personnes , qui
ont joué ensemble , ont gagné 4625 € au loto. Quelle somme revient à chacune
d’elles ? |
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3- Dans un ascenseur ,
un panonceau indique « charge maximale autorisée : |
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4- Un moustique bat des ailes 132 000 fois par
minute ! Combien cela représente-t-il de battements par seconde ? |
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5- Un fût contient |
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6- Sur une camionnette , on doit charger des
colis pesant chacun |
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7- Pour acheter un réfrigérateur d’une valeur de
4276 € , il est possible de ne payer
que 1000 € à la commande et le solde en 12 mensualités . Quel sera alors le
montant de chaque mensualité ? |
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|
8 - Un ouvrier perçoit un salaire de |
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|
9 - Une course cycliste se déroule sur un
parcours comprenant un tronçon de |
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10- Dans une lettre publicitaire , un mensuel
propose , au choix, un abonnement : -
de 6 mois pour 105 € -
d’un an pour 195
€ ; -
de 2 ans pour 390 €. Quel est , dans chaque cas, le prix de revient au
numéro ? |
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11- D’une citerne contenant |
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