Pré requis:
|
|
Valeur approchée et approximation |
|
ENVIRONNEMENT du dossier:
Suivant : |
Tableau : |
DOSSIER : « APPROXIMATION » . (les rationnels et les
irrationnels)
|
A ) Notion d’approximations décimales ou quotient approchés ( ou « troncature ») de 253
par 0,7 sont : |
|
|
|
|
|
B ) Notion d’arrondis automatiques.
|
|
|
|
|
|
C ) Le RATIONNEL : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Interdisciplinarité |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
A ) Notion d’approximations
décimales ou quotient approchés ( ou « troncature ») de 253
par 0,7 sont : |
|
||||||||
|
Résultat affiché sur la calculatrice : 254 : 0,7 = 362,85714 On exprimera suivant la demande ou les contraintes imposées par
la situation : La division de: 254 par 0,7
donne le résultat
« 362,85714 » Ou : 362 à 1
près ; 362,8 à 0,1 près
; 362,85 à 0,01 près ; 362,857 à 0,001 près
Remarque sur la nécessité d’arrondir : on peut arrondir au millième une
distance exprimée en kilomètre ( On s’accorde à dire que la règle graduée que l’on utilise est précise
à |
|
||||||||
|
B )
Notion d’arrondis automatiques :
|
|
||||||||
|
Dans certains problèmes ,
on peut avoir besoin de donner la
valeur la plus voisine d’un nombre décimal : on l’appelle
« arrondi automatique ». Exemples : L’arrondi automatique entier de 39,9 est 40 L’arrondi automatique entier de 25,3 est 25 L’arrondi automatique d’ordre 1 de 7,83 est
7,8 L’arrondi automatique d’ordre 1 de 7,87 est
7,9 L’arrondi automatique d’ordre 2 de 3,141 est 3,14
( INFO ++++ : cliquez ici pour
connaître certaines règles ) Approximation et calcul numérique : L’écriture décimale des entiers nous est
tellement familière que nous n’y prêtons plus attention. Le Il est même beaucoup plus agréable de lire
1995 que mille neuf cent quatre vingt quinze . Pour les nombres décimaux également
, l’emploi de cette numération ne pose pas de problème particulier. La vie quotidienne
fournissant 18,25 ; 69 ;90 et autres . Mathématique
, 18,25 est égal à 73/4 et l’on utilise
indifféremment les deux notations. |
|
||||||||
|
C ) Le
RATIONNEL : |
|
||||||||
|
Mais les choses ne sont pas aussi simples pour
tous les nombres rationnels. Ainsi il arrive que l’on obtienne une suite infinie de
décimales : Par exemples : = 0 , 3 3 3 3 3 3
3 3 ……… = 3 , 143857 143857
143857 143857 ……… = 3 , 14 20 202020202020……… Néanmoins
, tous ces développements ont une propriété remarquable : à partir
d’un « certain moment » ,
ils deviennent périodiques ; (
c’est à dire que le même groupe de
chiffres se répète à l’infini ). On peut d’ailleurs démontrer que cette
propriété est caractéristique des rationnels : un nombre est un
rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à partir d’un
certain rang. Cela
signifie que , même si le développement d’un
rationnel est infini , une quantité finie de
chiffres est suffisante pour le décrire complètement : le début
du développement et sa période . Exemple : ou 31106 / 9900 est entièrement reconstitué à partir de la
donnée de 3,14 et de sa période 20. |
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
Pour les rationnels le développement est
périodique ; en revanche pour les irrationnels rien de tel n’est possible , le développement n’est jamais périodique . Deux types de questions se posent alors : v Peut-on relier d’autres propriétés des nombres ( le
fait d’être algébrique , transcendant , etc …) à
des propriétés de leur développement décimal ? v Comment ,
à partir d’un nombre fini de données , peut-on représenter un irrationnel
avec le maximum de précision ? Ces deux questions ,
avec les problèmes qui leur sont
reliés , font de nos jours l’objet d’actives
recherches . Par exemple , est-ce que
le chiffre 1 apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de (
lire : racine carrée de deux )? Si oui , avec quel
fréquence ? *on peut se poser évidemment les mêmes questions
à propos de « pi » ou de n’importe quel
nombre. Voilà un type de question très simple à énoncer , mais dont on ne connaît pas la
réponse : personne à l’heure actuelle ne sait par exemple si le chiffre
3 apparaît une infinité de fois dans
le développement décimal de « pi » On pense même qu’il s’agit là d’un problème extrêmement difficile . Commentaire : Le
résultat a probablement peu d’importance en lui – même .
Ce qui est intéressant , c’est qu’il paraît
nécessaire pour le résoudre de trouver des nouvelles approches , de
développer des méthodes complètement
neuves . Les méthodes ainsi créer auront certainement imaginer – pour
l’instant difficile à imaginer- dans les domaines variés des mathématiques , mais aussi dans les sciences appliquées ou
la technologie . La limitation des calculs effectués par une
calculatrice scientifique ou un ordinateur : Comme toute machine l’ordinateur a ses limites
, qui tiennent essentiellement à trois facteurs : -
les erreurs
d’arrondi : l’ordinateur , ne pouvant stocker qu’un nombre fini de
décimales , est toujours obligé d’arrondir les nombres .Bien sûr , l’erreur
d’arrondi ainsi faite sur un seul nombre est ridiculement faible . Mais il
peut arriver que les erreurs d’arrondi s’accumulent ,
surtout si l’on effectue une suite très longue de calculs , jusqu’à rendre le
résultat complètement faux . -
Le temps de
calcul : les calculs demandés prennent un certain temps , très petit pour les calculs
simples , mais qui devient important quand ces calculs se compliquent. ( voir le temps d’affichage de l’image d’un micro trop
lent ) -
Sa capacité de
mémoire : bien que très grand , le nombre
d’informations que peut stocker un ordinateur à un instant donné ne peut pas
dépasser une certaine quantité . |
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
Géométrie : la Géode ( La
Villette ), est l’approximation d’une sphère par un polyèdre |
|
|
TRAVAUX AUTO FORMATIFS |
|
|
CONTROLE :Préparation 1 ) Que veut dire approximation" ? Voir dictionnaire 2°) Que signifie qu’un développement d’un nombre
dévient périodique ? 3°) Donner la caractéristique (
propriété) d’un nombre rationnel. 4°) Comment peut-on décrire complètement un nombre rationnel ,
dont le développement est infini ? EVALUATION à préparer
Définissez le rationnel suivant , à partir de son développement :
ou 31106 / 9900 : il est entièrement reconstitué à partir de
la donnée de ………………. |
|
|
|
|