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ENVIRONNEMENT du
dossier: |
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Objectif
précédent |
Objectif
suivant : 1. Le cercle 2.
Le disque |
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DOSSIER : LE
nombre "pi" ;
Symbole : p |
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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La
notation " p " ; "pi" en grec ,
correspond à la première lettre du mot "périphéreia" qui signifie "contour" On
prend couramment la valeur décimale
de p = 3,14 ; 3,14 n'est qu'une valeur approchée du nombre
"p"
dont on connaît 900 000 décimales. Notions
historiques Tous les cercles étant des figures semblables ,
l'on devine qu'il existe un rapport de configuration constant , c'est à dire
le même pour tous les cercles , entre le périmètre "C" et le diamètre 2R. Les grecs ont désigné ce rapport de configuration par p Calcul
approché du nombre p Avant de savoir calculer exactement ce rapport
, les anciens en proposèrent des valeurs approchées. 1°)Dans la Bible , on dit que p
= 3 .Quelques lecteurs s'étonneront ,
et se demanderont sous quelle forme la Bible a pu parler de telles questions.
S'ils sont curieux , ils chercheront au 1er livre des Rois , ch VII , verset 23. 2°) Les Egyptiens connaissaient une valeur approchée de p , s'il est vrai qu'ils ont introduit ce nombre
dans la Grande Pyramide , comme rapport entre le
périmètre de la base et la hauteur. 3°)Les Grecs se
proposèrent , étant donné un cercle , de construire un carré de périmètre
équivalent ; ou un autre carré de surface équivalente: c'est ce qu'on appelle
la "quadrature" du cercle .Par la règle et le compas , ils ne
parvinrent pas à résoudre le problème , mais en donnèrent une solution
approchée très simple: la longueur du demi-cercle est à
peu près égale à la somme des côtés du carré et du triangle
équilatéral inscrits:
. 4°) Nombre de décimales de p en fonction
des années : |
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4°)
On peut obtenir le nombre p ;
expérimentalement : On mesure le périmètre ,
avec une ficelle ,(on évalue sa longueur ), puis le diamètre du cercle: on
effectue le rapport ; il sera égal à p Si
l'on sait mesurer une surface , en pesant un disque
de rayon R et un carré de coté R
découpés dans une même feuille de carton : le rapport des masses sera égal au
rapport des aires , donc égal à p .Cette
seconde méthode est assez précise. Définition de la longueur du cercle: La vraie
difficulté dont les premiers calculateurs ne s'étaient pas rendu compte, c'est qu'on n'avait pas
défini avec précision la longueur d'une ligne courbe. La longueur du segment AB
, c'est la rapport à un segment unité ab .Pour évaluer ce rapport , on partage ces deux segments en
parties toutes égales , ce qui peut se faire avec toute l' approximation
qu'on voudra . Du segment on passera par addition à la ligne brisée. Mais
la longueur d'un arc de courbe ne peut être
définie aussi aisément ; car , si l'on compare l'arc
AB au segment unité ab , il sera
impossible de les partager l'un et l'autre en parties toutes égales , puisque
les fragments seront curvilignes sur AB , rectilignes sur ab . Dés lors ,
le rapport de AB à ab est malaisé à définir. Travaux d' Archimède
. Archimède qui vécu à Syracuse
, en Sicile (287-212) , fut l'un des plus grands génies de
l'antiquité. Il étudia les lois de l'équilibre et énonça le principe des
corps flottants ; l'on dit que , ses "miroirs
ardents" , il tenta de défendre sa patrie contre l'attaque des vaisseaux
romains. Lors de la prise de Syracuse, il fut tué par
un soldat ignorant , bien que le général romain
Marcellus eût désiré lui sauver la vie. |
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En géométrie , il calcula
les longueurs ,aires et volumes de certaines figures courbes , par une
méthode nouvelle que nous allons exposer . (voir figure ) *On remarque que le cercle peut être assimilé à un polygone particulier; il possède une
infinité de côtés |
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Calcul
du nombre pi par Archimède. Pour calculer la longueur du cercle , un
moyen expérimental consisterait à y promener un curvimètre , c'est à dire une
roue armée de très petites dents très serrées : un compteur de tours ferait
connaître le chemin parcouru : on a
par ce système substitué au cercle une ligne
brisée inscrite formée d'un très grand nombre de cotés très
petits. Archimède a transformé cette méthode
expérimentale en un calcul précis. A un
cercle de diamètre "2R" Archimède inscrit et circonscrit deux
séries de polygones réguliers , en doublant indéfiniment le nombre de
cotés. Il en calcule les périmètres successifs , non pas par des formules
trigonométriques qu'on n'utilisait pas à cette époque , mais par des formules
équivalentes fournies par des triangles rectangles .Il trouve ainsi pour les
périmètres des carrés , octogones, hexagones … inscrit et enveloppants. |
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I4 = 2R 2,8284 |
E4 =2R 4 |
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I8 = 2R 3,0615 |
E8 =2R 3,3136 |
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I16 = 2R 3,1216 |
E16 =2R 3,1832 |
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Et
ainsi de suite……. |
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1°) les
"I " vont toujours en
croissant , puisque ce sont des périmètres de
polygones convexes s'enveloppant les uns les autres Pour la même
raison , les "E" vont toujours en
décroissant. 2°) La différence " E -
I " : devient de plus en plus petite , et l'on peut démontrer avec rigueur (nous
l'admettrons) que E -I
devient aussi petite que l'on voudra quand ont poursuit l'opération. 3°) Nous en conclurons que E et I tendent
vers une limite commune: c'est cette limite qui est le périmètre C du
cercle. Ce périmètre est resserré de
plus en plus entre les I ( valeurs approchées par défaut ) et les E ( VALEURS
APPROCHEES PAR EXES ) NOUS OBTIENDRONS
AINSI LES DECIMALES SUCCESSIVES DU NOMBRE
p Remarque
sur la méthode : La méthode d' Archimède
, dira-t-on , n'est encore qu'une
méthode d'approximation .Mais l'immense progrés
qu'approte cette méthode , est que cette
approximation peut être poussée , aussi loin que l'on veut.Archimède
introduisait en mathématiques une
méthode d'approximations successives qui , depuis, s'est généralisée sous le
nom de méthode d'INTEGRATION. Archimède n'ayant pas à sa disposition les
ordinateurs calculateurs , il n'est pas aller très
loin dans le calcul et donna à "pi"
la valeur : # 3,141592
(Il y a 3 décimales exactes) Les Successeurs d'
Archimède: Vers 1600 , la même
méthode ,avec des perfectionnement de détail ,donna au Hollandais Adrien Méthius pi = # 3,141592
(Il y a 6 décimales exactes) En 1940 on connaissait 707 décimales au nombre pi. La connaissance de tant de décimales pour le
nombre "pi" est et restera probablement sans utilité pratique;
c'est donc par simple amusement qu'il a été mis en vers les 126 premières: |
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que |
J' |
aime |
à |
faire |
apprendre |
un |
nombre |
Utile |
aux |
Sages.. |
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3 , |
1 |
4 |
1 |
5 |
9 |
2 |
6 |
5 |
3 |
5 ;…. |
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On
retiendra pour les calculs courants des deux valeurs de pi couramment
utilisées :
3,14 et 22 / 7 Impossibilité
de la quadrature du cercle : Le Français
Hermite et l' Allemand Lindemann , au XIX eme
siècle ,ont démontré qu'il est impossible , par la règle et le compas , de
construire un cercle et un carré équivalent ; soit en périmètre , soit en
surface , comme se l'était proposé les Grecs D'autres problèmes de construction
, comme la quadrature du cercle , sont insolubles par la règle et le
compas seuls. Donner deux valeurs approchées de
« pi » : EVALUATION |