Pré requis:
ENVIRONNEMENT du
dossier:
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Info
complémentaire : 2 Puissances et
racines niveau V . Liste des cours en
calcul numérique |
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DOSSIER: Niveau III : LA RACINE nième
· La racine de certain nombre est dit : nombre « incommensurable »
· L’extraction de la
racine est appelée : la sixième opération en mathématique · Définitions :
a) « Radical » . b )
« Radicande » . c )
Ce qui gravite autour de ce signe d) Les nombres dits « Irrationnels ». · CAS GENERAL: RACINE nème
d’un nombre · OBTENTION DE
LA RACINE N ièmè D’UN NOMBRE · RACINES D' UN NOMBRE
RELATIF · Relations
entre les écritures mathématiques
de la "RACINE N ièmè " et la " PUISSANCE N ièmè
" D’UN NOMBRE et
d'une opération simple ·
Généralisation sur les racines… |
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Ou |
COURS
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Devoir Contrôle |
Devoir évaluation |
|
Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation
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La racine de certain nombre est dit : nombre « incommensurable »
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Exemple :
Si l’on mesure la diagonale « d » d’un carré en prenant comme unité de mesure
le côté « a », on ne trouve aucune partie de l’unité
« a » contenue un nombre exact de fois dans « d » , on
dit qu’il n’y a pas de « commune » mesure entre « d » et « a » ,
le résultat de la mesure est un nombre incommensurable . Dans le cas de la
figure ce nombre est Dans la pratique des opérations
, on se contente d’une mesure
approchée de la grandeur donnée et l’approximation varie avec la nature de la
mesure à effectuer. |
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Cas Général : la racine nième
L’extraction de la racine est appelée : la
sixième opération en mathématique ;
Définition
de l’objectif : Savoir « donner » le radical d’un nombre.. (On
dit aussi donner la racine « carrée
ou cubique d’un nombre »)
a) « Radical »
Le mot « Radical »
est le nom donné au signe : 
, Ce
signe est une modification de la lettre
« r » , initiale du mot latin qui signifie « radical ».
On trace un « vé » prolongé par une barre horizontale.(recouvrant totalement un nombre ou une opération ).
Au XVIème
siècle encore , on se servait ,pour désigner la racine
, d’un « R » majuscule , suivi d’un « q » ou d’un
« c » pour indiquer respectivement la racine carrée (quadrus) ou cubique (cubus) .
Par exemple on écrivait R.q. 1225 au lieu de la notation 
,
Exemples :
; 
; 
; 
b ) « Radicande »
Le nombre (ou opération) situé sous la barre horizontale s’appelle : radicande
c ) Ce qui
gravite autour de ce signe 
:
la
barre horizontale prolongeant le « vé » couvre la partie numérique(exemple
; ici 25 est le radicande ).
sur la branche la plus courte du « vé » (à gauche) est
inscrit un nombre appelé « indice » ; (il
indique
le degré de la racine carré pour le nombre (2) ;cubique pour le
nombre (3) , ou quatrième pour le nombre
(4) ;ainsi de suite.........
La pointe du vé étant sur la ligne d’écriture.
|
d) Les nombres dits « Irrationnels » |
|
|
Les nombres tels que |
Remarques : |
;
ne peuvent avoir la forme d’un nombre entier , d’un nombre
décimal ni la forme d’une fraction
*Les irrationnels
appartiennent à l’ensemble des nombres dits « Réels ». (cliquez
ici ++++)
CAS GENERAL: RACINE nème
d’un nombre
La « racine » d’un nombre « X » est l’opération
inverse de la puissance qui tend à trouver le nombre « x »de départ
qui à permit de calculer X .
en faisant le calcul de xn on obtient un nombre " X "
donc
inverse en faisant le calcul X1/n
on retrouve le nombre
" x"
En ayant
« X » est
« n » ;on
demande de retrouver « x » ; pour cela on utilise l écriture
( sachant que l’on a admis que xn =X )
Remarque:
On écrit aussi que :
= 
; ces deux écritures mathématiques ont la
même signification;(écriture utilisée
dans l'objectif « dérivation » )
Remarques :
les
écritures de la forme ;telle
que 
et
sont souvent utilisées sur les
calculatrices (pour effectuer la même opération ,cela dépend des marques
).
A savoir :
-S i x y = X , alors
x = 
(traduction
: si le nombre petit « ixe » à la puissance y a pour résultat ( est
égal ) le nombre grand « ixe » ,alors le nombre petit « ixe » est égal à la racine hi grec ième
du nombre grand « ixe ». )
Exercices les plus exécutés:
|
Soit une valeur de x |
on pose x y |
le résultat de x y est
X |
on fait le calcul de (lire :racine nième ) |
le résultat de |
soit
|
si x = |
x y |
calculons X |
|
= x |
|
5 |
52 |
25 |
|
= 5 |
|
3 |
33 |
27 |
|
= 3 |
|
7 |
74 |
2401 |
|
= 7 |
=
Commentaire:
il n’y a pas de difficulté à calculer la puissance d’un nombre (x y );il n’en est pas de même pour calculer la
racine nième d’un nombre :
Comment obtenir la valeur
d’une racine d’un nombre ?
· OBTENTION DE LA
RACINE N ièmè D’UN NOMBRE
Pour obtenir la racine nième d’ un nombre ( exemple : 
) il y a plusieurs
possibilités:
a) soit par le calcul:
il est possible de
calculer la racine carré d’un nombre; cela fait l’objet d’une leçon
particulière.(c’est le seul cas de calcul qui peut
être accessible à un élève).
b) Soit par identification: il faut connaître et
donc reconnaître les carrés parfaits.
c) Pour tous les autres cas il vous faut consulter une table numérique (recensant
tous les calculs faits à l’avance )
d) ou alors il vous
faut apprendre à utiliser la
calculatrice.
Autres écritures
utilisées par les calculatrices: signifiant que l’on calcule le radical
d’un nombre.
a) est = à
. (que l’on traduit
par « racine » y ième de X )
b) est =
à 
. (que l’on traduit
par « racine » x ième de y )
· RACINES
D' UN NOMBRE
RELATIF
Deux cas renfermant deux cas :
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"x" est positif |
"x"
est négatif |
"x" est positif |
"x" est négatif |
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Exemple: Résultat = (+5) |
Exemple: Résultat impossible; le carré
d'un nombre est toujours positif |
Exemple : Résultat : (+3) |
Exemple : Résultat : (-3) |
|
Calcul possible |
Calcul impossible |
Calcul possible |
Calcul possible |
Cas d'un calcul courant
d'algèbre à maîtriser :
|
On
donne x 2 = (+25) ; quelle
est la valeur de "x" ? Réponse : "x" vaut (+5) ou (-5) Raison : (+5)(+5) =(+25) ; (-5)(-5) =
(+25) |
Réponse: on fait la racine carrée de
"25" ; on trouve
"5" "5" est la valeur absolue de
"x" ; conclusion ;on peut
donner deux valeurs à "x": x= (+5) x= (-5) |
de calcul :
· Relations entre
les écritures mathématiques de la "RACINE N ièmè
" et la " PUISSANCE N ièmè " D’UN NOMBRE et d'une opération simple
|
EN RESUME : |
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Rappel xn |
Peut s'écrire = |
|
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Ecriture avec le radical : |
Ecriture équivalente Sans radical
|
Développement ou simplification : |
résultat |
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( |
(x |
x |
x1 = x |
|
( |
((x n ) |
((x |
= x n |
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|
(x |
x |
|
|
x |
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( |
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|
( |
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Aucune transformation possible |
(x + y) |
|
|
|
Aucune transformation possible |
x |
|
|
|
Aucune transformation possible |
(x - y) |
|
|
|
Aucune transformation possible |
x |
|
|
|
|
|
|
= x 
) n
=
=|
·
Généralisation sur les racines |
· Ecritures équivalentes : 
= 
= 
· Si a ³
0 , alors désigne le seul nombre qui a pour carré
« a ».
Exemples
« 16 » est un nombre positif ,
le nombre positif qui a pour « carré » « 16 » est
« 4 ».
On sait que : ( 4²
= 4 ´ 4 =
16 ) ;
On dit que « 4 » est la racine
carrée de « 16 » et on écrit : 
= 4
21 est
un nombre positif , sa racine carrée n’est ni un
nombre entier ni un nombre décimal , ni une fraction , on l’écrit : 
iCe
nombre qui n’est ni un nombre entier , ni un nombre décimal , ni une fraction est
appelé : nombre « irrationnel ».
· Si a ³
0 , alors ()
² = a
· Si a ³ 0 ,
alors est la solution positive de l’équation x² = a
Conséquences :
·
Si k ³ 0 ,
alors 
= k et , si
k £ 0 ,
alors = - k
Exemple :
( + 4 ) ² = (+16 ) et ( -
4 )² = ( + 16 ) aussi si l’on fait la racine carré du nombre relatif ( +16) : on trouve deux
solutions possibles :
= ( + 4 ) ou ( - 4)
· Si a
³
0 et
b > 0 alors
- Le produit
de deux racines carrées est égal à la racine carrée des produits
´ 
= 
( = 
)
Exemple :
´
= 
= 
= ( 3 ´
10 = 30)
· Si a
³
0 et
b > 0 alors
La racine
carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées
Exemple 
· L’équation
x² = a
- Si a < 0,
elle n’a pas de solution.
- Si a = 0,
elle a pour seul solution « 0 » .
- Si a >
0, elle a deux solutions + et -.
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
CONTROLE
Que signifie: calculer le radical d’un nombre ?
La « racine » d’un nombre
« X » est l’opération inverse de la puissance qui tend à trouver le
nombre « x »de départ qui à permit de calculer X .
Donner l’écriture utilisée sur les calculatrices pour effectuer la recherche d’un radical d’un
nombre.
= x = ;telle
que et
Quelles sont les possibilités d’obtenir la valeur
numérique de la racine n ième d’un nombre ?
Ecrire différemment
les expressions suivantes : (forme d'écriture :
puissance )
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Rappel xn |
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Ecriture avec le radical : |
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( |
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|
|
( |
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|
Rappel xn |
Peut s'écrire = |
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|
Ecriture avec le radical : |
Ecriture équivalente Sans radical
|
Développement ou simplification : |
résultat |
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|
x |
|
|
|
( |
(x |
x |
x1 = x |
|
( |
((x n ) |
((x |
= x n |
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|
(x |
x |
|
|
|
x |
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|
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|
( |
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|
|
|
( |
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|
|
|
|
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|
Aucune transformation possible |
(x + y) |
|
|
|
Aucune transformation possible |
x |
|
|
|
Aucune transformation possible |
(x - y) |
|
|
|
Aucune transformation possible |
x |
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|
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Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dix:
de 100 à 10 8
si elles existent ! pour 100 ;101
; 102 ; 103
; 104 ; 105 ; 106 ;10 7 ; 10 8;
Première série d ’exercices :
soit un nombre « x » ;
trouver la racine carrée du nombre :
x =0.25 ; 
=
x = 7,29 ; =
x = 33,64 ;
=
x = 81 ; =
x = 291 600
; =
x = 2 744 000
; =
x = 1,5746
108 ; =
II )Deuxième série d’exercices en
relation avec la racine carrée d’un
produit:
=
=
=
=
=
=
donc : 
=
=
III ) Troisième série d’exercices en relation avec la racine d’un quotient:
Ces exercices utilisent des carrés parfaits
=
=
=
Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que
tout nombre « à virgule » peut se mettre sous forme de fraction de
dénominateur égal a ...........
=
=
IV ) Quatrième série d’exercices en
relation avec la racine carrée d’une
addition ou d’une soustraction , et les transformations
a) 
=
b ) 
=
c ) 
=
d ) 
=
e ) 
=
f ) 
=
g ) 
=
h ) 
=
k ) 
=
V ) Cinquième série
d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre
1 ° ) Calculer les
expressions suivantes avec la précision
du dixième
=
=
=
2 ° ) Calculer les
expressions suivantes avec la précision
du centième
=
=
=
3 °) Calculer les expressions suivantes avec la précision du millième
=
=
= =
=
=
I ) remplacer dans les lettres par les nombres
suivants et faire le calcul :
avec x= 16
et y = 9 (remarque : 16 et 9 sont
des carrés parfaits; nous connaissons la racine carrée de 16 (4) et de 9 (3) , ces valeurs sont choisies pour faciliter la
compréhension)
|
|
|
|
|
|
( |
( |
|
|
|
( |
( |
|
|
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|
|
|
|
|
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= = 4 = 12 |
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|
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|
Le calcul est impossible |
On ne peut faire la racine carré d'un
nombre négatif ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 2
) 2
) 2
) 2 =162 = 256
=
=12
=
=
=
= 2,6457513
=
=
= "Erreur"II ) Transformer en vue de
simplifier les calculs :
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 4 = 7 |
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|
|
|
|
|
- |
= 3-4 |
|
|
( |
= 81 |
|
+
= 
) 2III) Résoudre :
|
: 7
= |
7 2 = ( |
: 7 2 = 30+x 49 = 30+x 49 - 30 =
x ;
19 = x ; conclusion « x » vaut 19 |
|
50 = |
50 2 = ( |
50 2 =1600+x2 2500 - 1600
= x2
30 = x |
CALCULS:
A ) Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLmettre une croix dans la case correspondante
|
|
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|
|
100 |
|
|
|
101 |
|
|
|
102 |
x |
|
|
103 |
|
|
|
104 |
x |
|
|
105 |
|
|
|
106 |
|
|
|
10 7 |
|
|
|
10 8 |
x |
|
B ) soit un nombre « x » ;
trouver la racine carrée du nombre :
|
|
|
|
|
x =0,25 |
|
0,5 |
|
x = 7,29 |
|
2,7 |
|
x = 33,64 |
|
5,8 |
|
x = 81 |
|
9 |
|
x = 291 600 |
|
540 |
|
x = 2 744 000 |
|
1656,502339 |
|
x = 1,5746 |
|
39681,22982 |
C )Deuxième série d’exercices en relation avec la
racine carrée d’un produit:
|
|
|
|
|
|
|
4 fois 5 =20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=630 |
|
|
|
=1600 |
|
|
|
=600 |
=20
=56D ) Troisième série d’exercices en relation avec avec
la racine d’un quotient:
Ces exercices utilisent des carrés parfaits
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
|
|
|
1,5 |
|
|
|
7 |
E ) Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que tout nombre
« à virgule » peut se mettre sous forme de fraction de dénominateur
égal a ...........
|
|
|
9,3 |
|
|
|
0,86 |
F ) Quatrième
série d’exercices en relation avec la
racine carrée d’une addition ou d’une
soustraction , et les transformations
|
|
|
|
|
|
|
6,32455532 |
|
|
|
37,74917218 |
|
|
|
5,385164807 |
|
|
|
9,219544457 |
|
|
|
44,82186966 |
|
|
|
8,136952747 |
|
|
|
65 |
|
|
|
57 |
|
|
|
55 |
G ) Cinquième
série d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre
1 ° ) Calculer les
expressions suivantes avec la précision
du dixième
|
|
|
|
|
|
|
2,2 |
|
|
|
4,1 |
|
|
|
69,0 |
2 ° ) Calculer les
expressions suivantes avec la précision
du centième
|
|
|
|
|
|
|
4,80 |
|
|
|
94,00 |
|
|
|
9,15 |
3 °) Calculer les expressions suivantes avec la précision du millième
|
|
|
|
|
|
|
9,434 |
|
|
|
9,7417 |
|
|
|
9,149 |
|
|
|
10,247 |
|
|
|
4,376 |
|
|
|
impossible |
H ) ENCADREMENT D’UN RESULTAT
:
On donne le
résultat des exercices suivants :
=4,4647451
=21,111276
=4,3742992
=4,717694
=2,6754054
= -3
Donner le
résultat sous la forme: n <
< n +1
ou n est un entier naturel et X un nombre (entier
ou décimal )
|
: n |
< |
|
< |
n +1 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
21 |
|
|
|
22 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
-4 |
|
|
|
-3 |