Pré requis:

la multiplication de deux nombres relatifs	cliquer ici
Puissance « carrée »
Puissance « cube »
Puissance niveau 1 ( écriture normalisée )

ENVIRONNEMENT

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		Puissances d’un réel.

DOSSIE PUISSANCES de nombres RELATIFS. (Leçon : 3 /5)

	A ) Puissance d’un même nombre. (définition ; notation ; calculs ;……remarques et explications…)
	B ) GENERALITES: "PUISSANCES des nombres relatifs" .
	Calculs PARTICULIERS : exemple : – 2 ² comparé à ( -2)²
TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
				Sciences PUISSANCE de dix (niveau II (6)) APPLIQUEES AUX SCIENCES

COURS :

A ) Puissance d ' un "même" nombre:

a) Définition :

on appelle "puissance d'un même nombre" , la multiplication d ' un nombre par lui même deux à plusieurs fois .

X = XXX ; X ⁵ = XXXXX ; X ⁸ = XXXXXXXX

b) Ecriture:

Par convention voir : l’exposant 0 X^0 = 1	(+2^0) = 1	(-3,2) ^0 = 1	a ^0 = 1
X^1= X	(+ 2^1 ) = ( + 2 )	(-3,2) ^1 = (-3,2)	a ^1 = a
X ^2 = X X	(+2 ) = ( + 2 ) ( + 2 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2)	a= a a
X = XXX	(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2)	(-3,2) = (-3,2)(-3,2)(-3,2)	a= a a a
Ainsi de suite …….

c) Calculs :

Dans D^+ ou D^- "au carré"
(+4) (+4) = (+4)^2 =	(+16)
(+5) ( +5 ) = (+5)^2 =	(+25)
(+3,2) = (+3,2) (+3,2) =	(+10,24)
(-5) ( -5 ) = (-5)^2 =	(+25)

Dans D^+ ou D^- "au cube"
(+4) (+4) (+4) = (+4)^3 =	(+64)
(+5) ( +5 ) ( +5 ) = (+5)^3 =	(+125)
(+3,2)^3 = (+3,2) (+3,2) (+3,2) =	(+32,768)
(-5) ( -5 ) ( -5 ) = (-5)^3 =	(-125)

Les carrés des nombres entiers naturels s ' appellent :les carrés parfaits
Les cubes des nombres entiers naturels s'appellent : les cubes parfaits

Autres exemples :

4 4 = 16 ; "4" est une valeur absolue.	55 = 25 ; "5" est une valeur absolue
(+4) (+4) = (+4)^2 = ( +16)	(-5) ( -5 ) = (-5)^2 = (+25)
"2" est une valeur absolue	"3,2" est une valeur absolue
(+2^0) = 1	(-3,2) ^0 = 1
(+ 2^1 ) = ( + 2 )	(-3,2) ^1 = (-3,2)
(+2 ) = ( + 2 ) ( + 2 ) = (+4)	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) = (+10,24 )
(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2) = (+8 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

d) REMARQUES IMPORTANTES :

Remarque 1

ATTENTION ! les nombres relatifs de même valeur absolue mais de signe contraire ne sont pas des nombres égaux ; donc le produit de l'un par l'autre ne forme un "carré" .

(-5) et (+5) ne sont pas des nombres égaux :donc (-5) (+5) n ' est pas la multiplication d ' un nombre par lui - même parce que (-5) n'est pas égal à (+5)

Remarque 2

à savoir que "par exemple":

;

4^2 = 16	(+4)^2 = (+16)	- 4 ^2 = - 16	(-4)^2 = (+16)	+ 4^2 = 16
16 Parce que 4 est un N	(+16) Parce que (+4) est un nombre relatif	- 16 Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction	(+16) Parce que (-4) est un nombre relatif	16 Parce que 4 est un nombre N précédé par le signe de l ' addition

CALCULS: Puissance de « trois»

Exemples :

4 4 4 = 64	55 5 = 125
(+4) (+4) (+4) = (+4)^3 = ( +64)	(-5) ( -5 ) ( -5 ) = (-5)^3 = (-125)
(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2) = (+8 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

REMARQUES IMPORTANTES:

(-5) (+5) (+5) n ' est pas la multiplication d ' un nombre pas le cube parce que -5 n' est pas égal à +5

à savoir que par exemples:

4^3 = 16	(+4)^3 = (+16)	- 4 ^3 = - 16	(-4)^3 = (+16)	+ 4^3 = 16
64 Parce que 4 est un N	(+64) Parce que (+4) est un nombre relatif	- 64 Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction	(-16) Parce que (-4) est un nombre relatif	+ 64 Parce que 4 est un nombre N précédé par le signe de l ' addition

B ) GENERALITES: "PUISSANCES des nombres relatifs" :

Recherche du signe du résultat :

a) « x » est un nombre relatif positif :

calculs :

« x ^n»	« n »	Calcul :	Conclusion résultat
(+2)^2	Pair	(+4)	>0
(+2)^3	Impair	(+8)	>0
(+2)^4	Pair	(+16)	>0
(+2)^5	Impair	(+32)	>0

En conclusion : Si « x » est un nombre relatif positif , alors le résultat de xⁿ est positif

b) « x » est un nombre relatif "négatif "

calculs :

« x ^n»	« n »	Calcul :	Conclusion résultat
(-2)^2	pair	(+4)	>0
(-2)^3	impair	(-8)	<0
(-2)4	pair	(+16)	>0
(-2)^5	impair	(-32)	<0
(-2)^6	pair
(-2)^7	impair	(-128)	<0

Constat : si la puissance du nombre négatif est un nombre "paire" (2 ;4 ; 6; 8; …10;…. ) le signe du résultat est "+" et si la puissance du nombre négatif est un nombre "impaire" (1 ; 3 ; 5; 7; ….) le signe du résultat est "-"

En conclusion : Le signe du résultat de « xⁿ » du signe du nombre relatif mais aussi il dépend de la puissance « n »

a) si « n » est impair dans xⁿ ; le résultat donné par le calcul de xⁿ est négatif.

b) si « n » est pair dans xⁿ ; le résultat donné par le calcul de xⁿ est positif.

Cas courants (se souvenir) :

Le carré d'un nombre relatif ( positif ou négatif ) est toujours positif.

Le cube d'un nombre relatif positif est positif;

Le cube d'un nombre relatif négatif est négatif .

Calculs PARTICULIERS :

Attention : La puissance peut agir sur un nombre relatif ou un nombre non relatif :

sur un nombre relatif (-2)	ou un nombre non relatif  « 2 »
(-2)^4 est égal à +16	- 2^4 est égal à -16
Explication : (-2)^4= +16 la puissance agit sur (-2) Calcul de (-2)^4 = (-2) (-2) (-2)(-2) est bien égal à (+16)	Explication - 2^4 = -16 la puissance agit sur le nombre non relatif : 2 calcul  : - - 2^4 = -16 ;la puissance agit sur le nombre non relatif calcul  : - 2^4= - (2222) ce qui donne -162^4= - (2222) ce qui donne -16

Interdisciplinarité

- ALGEBRE : SIMPLIFICATION D'ECRITURE

Ou "Regroupement" de produit de facteurs :

aa = a^2	aaaaa = a^4	abb = ab^2	bbb = b^3
xxx = x^3	yyyy = y^4	xxyyy = x^2y^3	axxyy = ax^2y^2

APPLICATIONS des Puissances :

En géométrie:

Dans la relation établie à partir de "Pythagore" et du triangle rectangle donné :on remplace AB fois AB par AB ² ; (les lettres A et B désignant des points , nous ne sommes pas obligés de mettre le groupe de deux lettres entre parenthèses ; mais on peut remplacer l ' écriture AB² par ( AB )^2.

Ainsi AC fois AC s ' écrira AC² ; CB fois CB par CB² .

En sciences :

Dans le calcul des aires

A ) si l' unité de mesure est le mètre :

On multipliera des mètres par mètres s ' écrira : mm;

ce qui donnera en écriture simplifiée : m ²

B ) si l' unité de mesure est le décimètre :

On multipliera des décimètres mètres par des décimètres

On écrira : dmdm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : dm ²

C ) si l' unité de mesure est le centimètre :

On multipliera des centimètres par des centimètres On écrira : cmcm; ce qui donnera en écriture simplifiée : cm ²

D ) si l' unité de mesure est le millimètre :

On multipliera des millimètres par des millimètres

On écrira : mmmm; ce qui donnera en écriture simplifiée : mm ²

Dans le calcul des volumes :

si l' unité de mesure est le mètre :

On multiplie des mètres par mètres par mètres , on écrira :" mm m " ; ce qui donne en écriture simplifiée : m ³

si l' unité de mesure est le décimètre :

On multipliera des décimètres mètres par des décimètres par des décimètres

On écrira : dmdm dm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : dm ³

si l' unité de mesure est le centimètre :

On multipliera des centimètres par des centimètres par des centimètres

On écrira : cmcm cm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : cm ³

si l' unité de mesure est le millimètre :

On multipliera des millimètres par des millimètres par des millimètres

On écrira : mmmm mm ; ce qui donnera en écriture simplifiée : mm ³

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

En rappel :

1°) Que veut dire "puissance d ' un nombre "?…

2° ) Qu'est ce qu' un nombre "pair"?

3°) Qu'est ce qu' un nombre "impair"?

Fin du rappel :

4°)« x » est un nombre relatif positif , quel est le signe de xⁿ:

5°) « x » est un nombre relatif "négatif "

- Quel sera le signe du résultat de « xⁿ » du signe ?

6 ° ) Le carré d'un nombre relatif ( positif ou négatif ) est toujours ……..

7°) Le cube d'un nombre relatif positif est …………

8°) Le cube d'un nombre relatif négatif est ……….

9°)Traduire en langage littéral de trois façon : (-3)²

10°) Pourquoi (-5)(+5) n 'est pas égal à (+5)² ou (-5)² ?

11°) Traduire en langage littéral de trois façon : (-3)³

12°) Pourquoi (-5)(+5)(-5) n 'est pas égal à (-5)³ ?

EVALUATION

1°) Faire le calcul :

4^2 =

(+4)^2 =

- 4 ^2 =

(-4)^2 =

+ 4^2 =

2°) Faire le calcul :

4^3 =

(+4)^3 =

- 4 ^3 =

(-4)^3 =

+ 4^3 =

3°) Faire le calcul :

	Réponses		Réponses
(-2)(+ 3) =		(-2)^2(-3)^3=
2(-3)(- 3) 5 =		2 ^13 ^3 (-5)^2 =

4°) Faire tous les calculs possibles :

(+4)^2 =	(-5)^2 =
(+2)^0 =	(-3,2) ^0 =
(+ 2 ) ^1=	(-3,2) ^1 =
(+2 ) =	(-3,2) =
(+2)=	(-3,2) =
(-4)^3 =	(-5)^3 =

Soit x = (+3,75)

Donner le signe du résultat de

	x^2	x^3	x^8	x^11
Signe :

Soit x = (-3,734)

Donner le signe du résultat de

	x^2	x^3	x^8	x^11
Signe :

Dire si "n" est pair ou impair ; que est le signe du résultat ?

« x ^n»	« n »	Faire le calcul :éventuellement	Analyse du résultat signe du nombre ?
(+2)^2
(+2)^3
(+2)^4
(+2)^5

Dire si "n" est pair ou impair ; que est le signe du résultat ?

« x ^n»	« n »	Calcul :	Conclusion résultat
(-2)^2
(-2)^3
(-2)4
(-2)^5
(-2)^6
(-2)^7

Algèbre : Ecrire plus simplementLsous forme de puissances .

bb par ………..			xx = ……………
aa…=	aaaaa……=..	abb:……=	bbb:…=
xxx:…=	yyyy:…=… …….	xxyyy:……= ………	axxyy :…=