Objectif précédent 2°) Puissances d’opérations simples. 3°)Racines d’opérations simples. 4°) Formation niveau V.

Objectif suivant : 1°) préparation de concours 2°) calcul algébrique : Produits ( niveau 4)

Tableau 1°) Liste des cours sur les puissances et racines. 2°) Formation niveau IV.

Pré requis:

1°) Puissance (niveau 1)
2°) puissance d' un nombre

ENVIRONNEMENT

Index	Objectif précédent : 1°) Puissances les carrés d’opérations simples 2°) Vue : les Identités remarquables ( carrés d’un somme ; carrée d’une différence)	Objectif suivant : 1°) puissances et encadrement : 2°) Puissances de dix et les opérations de base. 3°) Puissances et racines niveau IV. 4°) calcul algébrique : Produits ( niveau 4)	Tableau 75 1°) Liste des cours sur les puissances et racines. 2°) Formation niveau IV.
		Sciences : les égalités en sciences

DOSSIER niveau V : « PUISSANCE »

Partie 5/5 : Les puissances d ' opérations simples.

Produits et quotients de puissances

(exclues les sommes et différences : voir les identités remarquables)

I )Transformation d’une Multiplication d’un même nombre élevé à des puissances différentes:

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Info plus !!

COURS

Les formules suivantes doivent être apprises par cœur ;ceci pour aller plus vite dans le calcul: Pour tout « x » ;( cette expression signifie que l’on peut donner à « x » toutes les valeurs numériques ) :
I )Transformation d’une Multiplication d’un même nombre élevé à des puissances différentes:		Info +++fiche 2 @
	^n ^p = ^n+p
Lire : «  »à la puissance «  » fois « » à la puissance «  » est égal à «  » à la puissance « » plus «  ». Application numérique: 2^3 2^7= 2 ^3+7 si 2 ^3 = 21 22 2 3 et 2 ^7 = 242526272829210 alors 2^3 2^7= 21 222 3 242526272829210 = 2^10 donc 2^32 ^7 = 2^10 10 ^5 ´ 10 ^5 = 10 ^5+5 = 10^10 ainsi : On veut calculer 9 00 000 par 130 000 900 000 ´ 130 000 = (9 ´ 10 ^5 ) ´ (1,3´ 10 ^5 ) = 9 ´ 10 ^5 ´ 1,3´ 10 ^5 = 9 ´ 1,3 ´ 10 ^5 ´ 10 ^5 = 11,7 ´ 10 ^10 = 117 000 000 000 Application algébrique: x^3 x^7=x ^3+7 si x ^3 = x1 x2 x 3 et x ^7 = x4 x5 x6x7x8x9x10 alors x^3 x^7= x1 x2x 3 x4x5x6x7x8x9x10 = x^10 donc x^3x ^7 = x^10 Application en science physique : Les unités se comportent comme les nombres : (voir cours sur les surfaces volumes ....... Pour les longueurs: les mètres sont des mètres « puissance 1 » : m^1 pour les surfaces: pour les surfaces on multiplie des mètres par des mètres ,nous avons donc des mètres « puissance 2 » ,que l’on appelle aussi « mètre carré » des « mètre par mètre » donne m m = m^1 m^1= m ^1+1 = m^2 pour les volumes: pour calculer des volumes on multiplie une surface par une longueur, ce qui donne des mètres « puissance 3 » , que l’on appelle aussi « mètre cube » des « mètre par mètre par mètre » se traduit par : mmm = m^1m^1m^1 = m ^1+1+1 = m^2+1 =m^3 Cela est vrai pour les multiples ou sous multiples de l’unité ( m ; l ; A; kg ;...) choisie
II ) Transformation d’une Puissance d’un nombre élevé à une autre puissances.
	( X^n )^p = X ^np
Lire : « x » à la puissance « n » le tout à la puissance « p » est égal à « x » à la puissance « n » fois « p ». ( 2^2 )^3 = 2 ^23 = 2^6 a) Application numérique: ( 2^2 )^3 = 2 ^23 ( 2^2 )^3 = ( 2 2 )^3 =( 2122 ) (23 24) (2526)=212223242526 = 2^6 ( 2^2 )^3 = 2^6 b )Application algébrique: ( x^2 )^3 = x ^23 ( x^2 )^3 = ( x x )^3 =( x1x2 ) (x3 x4) (x5x6) = x1 x2 x3 x4x5 x6 = x^6 ( x^2 )^3 = x^6 autres : a ) ( 8 10^-3 ) ^2 = ( 8^2 10^-6 ) = 64 10^-6 b ) ( 2^3 10^-2 ) ^2 = ( 2^6 10^-4 ) = 64 10^-4
III) Transformation d’un Produit d’un nombre élevé à une puissance:
	( X Y )^n = X ^n Y^n
Lire : « x » fois « y » le tout entre parenthèses élevé à la puissance « n » est égal au produit de « x » à la puissance « n » « y » puissance « n ». a) Application numérique: ( 2 5 )^3 = 2 ^3 5^3 ( 2 5 )^3 = ( 21 51 )( 22 52 ) ( 23 53 ) =( 2^3 5^3 ) b ) Application algébrique ( x y )^3 = x ^3 y^3 ( x y )^3 = ( x1 y1 )( x2 y2 ) ( x3 y3 ) =( x^3 y^3 ) autres exercices : a ) ( 8 10^-3 ) ^2 = ( 8^2 10^-6 ) = 64 10^-6 b ) ( 2^3 10^-2 ) ^2 = ( 2^6 10^-4 ) = 64 10^-4

IV ) Transformation d’ une Puissance d’une fraction:

=

Lire : une fraction « x » sur « y » élevée à une puissance « n » est égal à une fraction dont le numérateur « x » est élevé à la puissance « n « et le numérateur « y » élevé à la puissance « n ».

a)Applications numériques:

==

b) Application algébrique:

==

V ) Transformation d’une fraction dont la numérateur et le dénominateur sont de même valeur mais de puissance.

(Voir les conditions pour « x »)

= x ^n-p

a) Application numérique:

Rappel

*x ^-1 = ; x ^-1 s’appelle l’inverse de « x » ;donc x ^-p =

=

Procédure de transformation: = ?

a) on transforme la fraction en multiplication : 3² =

b) On transforme l’écriture : en 3 ^-3

c)On récrit la transformation sous forme d’égalité: = 3⁽⁺²⁾ 3 ^(-3)

d)On applique la transformation :x ⁿ x ^p = x ^n+p avec n = (+2) et p = (-3) ce qui donne :

3⁽⁺²⁾ 3 ^(-3) = 3^{(+2) +(-3)}

e) On applique les règles de l’addition de deux nombres relatifs (+2) +(-3) = (-1),pour ce qui concerne les exposants.

pour ca

d) on rend compte: = 3⁽⁺²⁾ 3 ^(-3) = 3^(-1)

Conclusion: = 3^{(+2) -(+3)} =3^{(+2) +(-3)} =3^(-1)

*si résultat de la transformation : 3²

b) Application algébrique:

*x ^-1 = ; x ^-1 s’appelle l’inverse de « x » ;donc x ^-p = et inversement x ^p =

Voir les deux cas :

Premier cas: « n » est > à « p »:

= x⁵ =x ⁵ x ^-2= x ³

Deuxième cas « n » est < « p »:

= x² =x ² x ^-5= x^-3

APPLICATION AUX PUISSANCES DE DIX :

= 10 ^3-2 (=10)

= 10^2-3 ( = 10^-1)

Applications : (Déjà traité : voir Objectif : QI 1b )
A )
B)

IMPORTANT POUR EXPRIMER DES GRANDEURS EN SCIENCES / PHYSIQUE.

Cette application est utilisée en science pour rendre compte des unités ;d’un calcul:

exemple : l ¹ / m ³ :lire des litres par mètre cube s’écrit aussi : l m ^-3

autre exemple: si l’on divise un volume par une distance (exprimés par exemple en mètre)

nous faisons m³ / m¹ ce qui donne des m^3-1 soit des m², le nombre obtenu par calcul représente le résultat d’une surface.

Voir leçon en sciences sur les calculs de longueur, surface, volumes ;et autres ........

RESUME à savoir "par cœur"

x ⁿ x ^p = x ^n+p

x ⁿ y ⁿ = ( x y ) ⁿ

( X ⁿ )^p = X ^np

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

:

Transformer les expressions suivantes	résultat	Val.
=
x ^n x^p =
X ^n Y^n=
= x^p
( X^n )^p =
X ^np =
x ^n+p =
( X Y )^n =
=
=
x^-p =
X ^n-p=
=

EVALUATION :

Calculer

a) ( 8 10^-3 ) ² =

b) ( 2³ 10^-2 ) ² =

Pour chaque cas remplacer

x = 3 ; y =2 ; n =3 ; p=2 .et faire les transformations des expressions suivantes:

résultat	remplacement	Calcul éventuel
= = x^-p
x ^n x^p = x ^n+p
x ^n y^n= ( x y )^n
= x^p
( x^n )^p = x ^np
x ^np = ( x^n )^p
x ^n+p = x ^n x^p
( x y )^n = x ^n y^n
=
= x ^n-p
x^-p =
X ^n-p=
=

*

== 3⁽⁺²⁾ 3 ^(-3) = 3^(-1) ; = 3^{(+2) -(+3)} =3^{(+2) +(-3)} =3^(-1)

I ) CALCULER SOS cours

10 ^3 =	(+1)^10 =	(-1)^7=	(-3)^3 =
10^-5=	(-1)^12=	(+2)^-2=	()^-1=
()^3=	()^2=	()^-2=	()^0=

II) Ecrire plus simplement: (niveau « seconde » )

(5a)^2 (2a^2)^3=	a^5 :a^7 =	3a^45a^-2=	a^-3:a^-5
14 a ^2b^3 : 49 a^3 b^2 =	=	=	(2ab)^3 (3b)^2=

III ) Ecrire sous la forme aⁿ avec n Î Z : SOS Cours : cliquez ici

C = ; D = ; E = ( 2³ )² 2

IV) Ecrire sous forme décimale : SOS cours

375 10^-5=	2110^2=	3.410^-3=	0.0410^4=
2100010^-2=

=

=

IV) Calculer A à partir de l’expression suivante:

A = 2x³ +3x² -x +7

pour a) x = +1

pour b) x = 0

pour c) x = +0,1

pour d) x = -1

pour e) x= 3

pour f) x= -2,8

INTERDISCIPLINARITE

VOIR FICHE UTILISATION DE LA CALCULATRICE

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