DOSSIER :  PUISSANCE   et ENCADREMENT d'un nombre  décimal  élevé  au  x²  et  x³

LES  PUISSANCES encadrement d ' un résultat  de la forme :  

A ) Encadrement de  x.   tel que :              n¹    <   x ¹   <  (n+1)¹ 

B) Encadrement de x²: par deux carrés parfaits consécutifs, tel que :           n²    <   x ²  <  (n+1)²

C) Encadrement de x³: par deux cubes parfaits consécutifs : tel que :          n³    <   x ³  <  (n+1)³

COURS

ENCADREMENT D’UN RESULTAT:

                           On utilise souvent la calculatrice pour obtenir le carré ou le cube d’un nombre « à virgule).

                        Il est souvent conseillé   et  nécessaire et préférable d’estimer le résultat voir d’encadrer le résultat que l’on devrait trouver ,afin d’éviter de donner des erreurs.

I) Convention  de symbolisation et d ’écriture:

A ) Encadrement de   «  ».

a)  Si  «  » est un nombre décimal  « D »  ( à virgule) , on appellera  «  » la partie entière de «  »:

 exemple:  si  = 76,25 ,  alors 76 est la partie entière de  ,on l’appelle  ;       =  76

 b )  Si  = 76 , alors on dira que  = 76+1   ; donc  = 77

c) on remarque que si =76 ; =76,25 ;  = 77 ,on peut écrire que  l’encadrement de   est :

que l’ on peut écrire aussi sous cette forme :   n¹    <   x ¹   <  (n+1)¹ 

Traduction :   le nombre  est compris entre   (sa partie entière) et    (sa partie entière plus un)

B) Encadrement de x²:   par deux carrés parfaits consécutifs.

Exemple:

  si x = 7.26  ; alors   n = 7   et  n+1  = 8

par conséquence:

   si x² = (7.26)²  ;  alors   n² = 7²  ( n ² est appelé « carré parfait »)  ; et   (n+1)²  = 8²

((n+1) est aussi un carré parfait)  

     conclusion :    n²    <   x ²  <  (n+1)²

                               7 ² <   7,26 ²  < 8 ²

                                49 <    x²      < 64

analyse du résultat: on peut dire que  le carré de 7,26 est compris entre 49 et 64

C) Encadrement de x³: par deux cubes parfaits consécutifs.

  si    = 7,26  ;   = 7    ;    = 8

si   x³ = (7, 26) ³  ; n³ = 7³  ( n ³ est appelé « cube  parfait »)  ;  (n+1)³  = 8³

     Conclusion :    n³    <   x ³  <  (n+1)³

                                  7 ³ <   7,26 ³  < 8 ³

                              343   <    x³      <  512

analyse du résultat: on peut dire que  le cube de 7,26 est compris entre 343 et 512

FORME GENERALE:   sur l’encadrement :       nⁿ    <   x ⁿ   <  (n+1)ⁿ 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

1°) que désigne "n" dans un nombre décimal ?

I) Donner la signification des relations mathématiques suivantes:

n    <   x    <  n+1  :..............................................................................................................

n²    <   x ²  <  (n+1)² :

……………………  ............................................................................:

n³    <   x ³  <  (n+1)³  :.......................................................................................................

II) Donner la signification de la relation mathématique:

                          nⁿ    <   x ⁿ   <  (n+1)ⁿ

EVALUATION:

 I)   Encadrement de  Xⁿ par  deux nombres entiers consécutifs.

a ) Pour  les valeurs de x suivants :  (compléter le tableau )

II) donner l’encadrement de  X² par  deux nombres par  deux carrés consécutifs

 (compléter le tableau )

III) donner l’encadrement de  X³ par    deux cubes consécutifs; (compléter le tableau )