Pré requis: 

Les encadrements

 

Les racines carrées des  carrés parfaits

Les racines cubiques des  cubes parfaits

Encadrement d’un résultat :division euclidienne

 

Index        

Voir pré requis  

1°) racine carrée

2°) racine cubique

Lecture complémentaire : les inégalités (définition et théorème)

Devoir  TC   

Tableau        200

DOSSIER :  RACINE  et ENCADREMENT      d’une    et

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS :

 

 

ENCADREMENT D’UN RESULTAT:

                           On utilise souvent la calculatrice pour obtenir la racine carrée ou la  racine cubique d’un nombre « à virgule ».

                        Il est souvent conseillé   ;  nécessaire et préférable d ‘ avoir une estimation du résultat ; ou  d’encadrer le résultat que l’on devrait trouver ,afin d’éviter de donner des erreurs de manipulation .

 

I) Convention  de symbolisation et d ’écriture:

 

Rappel : Encadrement d’ un nombre décimal «  x ».par deux nombres entiers consécutifs :

 

a)  Si  « x » est un nombre à virgule, on appellera  « n » la partie entière de « »:

 exemple:  si x = 76,25 ,  alors 76 est la partie entière de x ,on l’appelle  n; n=76

 b )  Si n = 76 , alors on dira que n+1 = 76+1 ; donc n+1 =77

c) on remarque que si n=76 ; x=76,25 ; n+1 = 77 ,on peut écrire que  l’encadrement de x  est::

 

         n    <   x    <  n+1      on peut écrire aussi sous cette forme     n1    <   x 1   <  (n+1)1 

Le «n » représente la partie entière  du nombre décimal « x »

 

traduction :   le nombre x est compris entre n  (sa partie entière) et  n+1  (sa partie entière plus un)

A) Encadrement de  par deux nombres entiers consécutifs :   n    <   <  (n+1)

 

Le «n » représente la partie entière  de la valeur de la racine carrée du nombre « x »

Exemples:

 

si x =

n =

n+1

7,26

2,6944387

2

2+1=3

15,65

3,9560081

3

3+1 = 4

842,5

29,25851

29

30

19684,54

140,3016

140

141

 

 

par conséquence:

 

     en  conclusion :

                

n

<            <

(n+1)

2

3

3

4

29

30

140

141

 

analyse du résultat: on peut dire que  la racine carrée  7,26 est compris entre 2  et 3

 

 

B ) Encadrement de par deux nombres entiers consécutifs:

 

 

si x =

n =

n+1

7,26

=1,9363278

1

2

15,65

 = 2,5013326

2

3

842,5

=9,4447392

9

10

19684,54

=27,000704

17

28

 

 

     conclusion :    n    <   <  (n+1)

 

 

 Le «n » représente la partie entière  de la valeur de la racine cubique du nombre « x »

                      

 

n =

<

<

n+1

1

 

=1,9363278

 

2

2

 

 = 2,5013326

 

3

9

 

=9,4447392

 

10

17

 

=27,000704

 

28

 

 

 

 

 

 

 

analyse du résultat: on peut dire que  la racine cubique  de 7,26 est compris entre 1 et 2

 

 

 

C )   FORME GENERALE:

 

Encadrement de la racine nième par deux nombres entiers consécutifs 

                                               n    <   <  (n+1)

Avec : Le « n » représente la partie entière  de la valeur de la racine nième  du nombre « x »

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs :

 

CONTROLE :

 

 

I) Donner la signification des relations mathématiques suivantes:

 

1°) n    <   x    <  n+1 ; que représente « n » ?

2° )  n    <   <  (n+1) ; que représente « n » ?:

3°)   n    <   <  (n+1):. ; que représente « n » 

 

II) Donner la signification de la relation mathématique:          n    <   <  (n+1)

 

 

EVALUATION:

 

I)   Encadrement de  « x »  par  l’utilisation des nombres entiers consécutifs .

 

:  (compléter le tableau )

 

N

x

(n+1)

 

3,2

 

 

8,57

 

 

19,3

 

 

76,25

 

 

85,63

 

 

 

 

II)   Encadrement de  «  »  par  deux  nombres entiers consécutifs .

 

 (compléter le tableau )

 

n

 pour « x » =

n+1

 

4,84

 

 

174,24

 

 

1024,6401

 

 

3588,01

 

 

15200,424

 

 

 

 

III ) faire l’ encadrement de par deux nombres entiers consécutifs (compléter le tableau )

 

N

Calculez  avec »x » =

n+1

 

753,571

 

 

3652,264

 

 

59364,642

 

 

194104,54

 

 

711882,75

 

 

IV  ) Encadrement de par deux nombres entiers consécutifs:

 

Donner le résultat sous la forme:            n <         < n +1

ou n est un entier naturel et X un nombre (entier ou décimal )

:            n

<

<

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l'>