Pré
requis:
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La division
décimale |
ENVIRONNEMENT du
dossier:
INFO : |
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2°) Encadrement d’un résultat : (classe 6ème )
3°) Encadrement du résultat de
la division euclidienne et le quotient non
exact :
4°) encadrement et « irrationnel » ( exemple :
racine
carré )
5°) Encadrement
d’un rationnel et division
d’un rationnel
Voir encadrement :
d’une puissance (hors cours)
6°) Encadrement d’opérations simples
7°) Encadrement : application à un problème
simple.
Interdisciplinarité |
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Les encadrements sont des doubles inégalités ; Ils ont les mêmes
propriétés que les inégalités simples : addition membre à membre
des encadrements de même sens…….
Mais , comme pour les inégalités simples , on
n’ a pas le droit de les soustraire ni de les diviser . Lorsque l’on veut
encadrer une différence « a - b » , on
commence par encadrer (-b) puis la
somme « a + (-b) , c’est à dire
« a - b »
De même, pour encadrer un
quotient , on encadre puis le produit , c’est à dire
D’un encadrement, on peut déduire un autre encadrement en agrandissant
celui de départ, jamais en le diminuant.
Encadrer un nombre c’est le placer
entre un nombre plus petit que lui
et un autre plus grand que lui .
Exemple : 7 < 7,6 < 8
On dit que 7
est la valeur entière approchée par défaut ; 8 est la valeur entière approchée par excès.
On peut encadrer par deux nombres entiers , ou
deux nombres entiers successifs .
Exemples:
-par deux entiers 73 < 89
< 134
73 est
plus petit que 89 ; 134 est plus
grand que 89
- par deux entiers successifs :
88< 89 <90
88 est
immédiatement plus petit que 89 ; 90
est immédiatement plus grand que 90
On peut encadrer par deux nombres décimaux ; par deux nombres
décimaux successifs qui n’ont qu’un chiffre après la virgule
.
6,7 < 6,78 < 6,8
On dit que 6,7
est la valeur entière approchée à un dixième par défaut ; 6,8 est la valeur entière approchée à un dixième par
excès.
On peut encadrer par deux nombres décimaux successifs qui n’ont deux chiffres après la virgule.
Exemple : donner la valeur
approchée de 3, 872 9 au centième près .
Pour le centième près , on prend deux chiffres
après la virgule .
3 , 87 < 3, 872
9 < 3,88
3,87 est la valeur approchée au
centième près par défaut ; 3,88 est
la valeur approchée au centième près par excès.
2°) Encadrement d’un résultat : (classe 6ème )
Un résultat décimal est toujours
compris entre deux nombres entiers ou deux nombres décimaux .
Nous pouvons donner des encadrements de résultats :
0,6 < 0,63 <
0,7
0,62 < 0,63
< 0,64
3°)
Encadrement du résultat de
la division
euclidienne et le quotient non exact :
Utilité de l’encadrement du dividende sous la forme :
b q <
a < b ( q
+ 1)
(utiliser pour approcher un nombre dans les tables de multiplication ) ; en
vue de trouver la valeur du
diviseur en se posant la
question :« combien de fois y
a t - il.... « tel
nombre »......dans....« tel nombre ».... ? »
exemple :
combien y a t il de fois « 6 » dans
« 27 » ?
D ‘après la table des
multiplications ( fois
6 ) 6 fois 5 = 30 ; 6 fois 4 = 24»
donc
dans la table des
« 6 » ; 27 est compris entre
24 et 30
ce qui se traduit :
24 < 27
< 30
soit
64.
< 27 < 6
5
on
retrouve la forme
Nous obtenons avec cette
relation d’encadrement
4°) encadrement et « irrationnel » ( exemple :
racine carré )et ( Info
plus sur les encadrements de racines)
a) Valeur approchée et
encadrement d’une racine carrée
Pré requis : arrondir et troncature
Sur la calculatrice , on lit =
2,236 067 978 ….
En général il est inutile de donner toutes les décimales.
Mais on peut affirmer par exemple que : 2,236 < < 2,237
On dit que l’on a un encadrement de d’amplitude 0,001 .
2,236 est une valeur approchée par défaut à 10-3 prés (par excès)de
2,237 est une valeur approchée par excès à 10-3 prés (par défaut)de
Plus
généralement :
Si a - 10-n £ x £ a + 10-n
On dit que « a » est une valeur approchée de « x » à
la précision : 10-n
Autres exemples :
Encadrement
d’amplitude 10-4 de |
Calculatrice : = 44,69899328 donc 44,6989£ £ 44,6990 |
Encadrement
d’amplitude 10-4 de |
Calculatrice : = 0,234520788 donc :
0,2345£ £ 0,2346 |
5°)
Encadrement et division d’un rationnel
Exemple :
x =
17 , 000000 44 3
80 280
0,38 63 63 63 … 0,386363 < x < 0,386364
160 280 période « 63 » 160 …. 0,386363 est la valeur approchée à 10-6 prés par défaut de « x » 0,386364 est la valeur
approchée à 10-6 prés par excès de « x » d’où l ‘encadrement du résultat de la
division :
0,386363 < < 0,386364 |
6°)
encadrement d’opérations : de nombres
« encadrés » ( niveau seconde)
Application : Deux nombres « x » et « y »
vérifient 2 £ x £ 3
et 5 £ y £ 6
On veut en déduire un encadrement
des nombres suivants par des nombres décimaux ayant au plus un chiffre après la
virgule :
x² |
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- x |
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x +
y |
; x y |
y -
x |
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2 £ x £ 3
et 5 £ y £ 6
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Réponses : |
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x² |
2 ; x et 3 sont positif |
4£ x² £ 9
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£ £ or 1,4 < et < 1,8 |
donc 1,4 £ £ 1,8 |
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-x |
- 2 ³ -
x ³ - 3
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Donc - 3 £ - x
£ - 2 |
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2 ; x et 3 sont non nuls et de même signe |
or 1/2 = 0,5 et 1/ 3 = 0,3 |
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x+ y |
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Donc : (2+5) £ x + y £
(3+6) 7 £ x + y £ 9 |
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x y |
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2 ;x ; 3 ; 5 ; y ; 6
étant positifs. 10 £ x y
£ 18 |
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y -
x |
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Donc 2 £ y -
x £ 4 |
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Les six membres étant positifs or 5 / 3 > 1 , 6 et 6/2 = 3 donc : |
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7°) Problème
d’application :
Une unité de longueur étant fixée , soit P le périmètre d’un rectangle de côtés l et L.
1°) Exprimer « P » en
fonction de « l » et
« L » ; en déduire l =
P/ 2 - L
2°) On sait que L vaut 3,2 à 0,1 près et que P vaut 8,4 à 0,1 prés.
a)
Ecrire un encadrement de L et un
encadrement de P
b)
Déterminer alors un encadrement de « l » par des nombres
décimaux n’ayant qu’un seul chiffre
après la virgule.
Solution :
1°) On a P =
si P = 2 ( l +L) alors P/ 2 = L + l soit
P/2 - L = l
donc l = P/2 -
L
2°) a) la phrase « L vaut
3,2 à 0,1 prés » signifie :
3,2 - 0,1 £
L £ 3,2 + 0,1
c’est à dire : 3,1 £ L £ 3,3
de même on a :
8,4 - 0,1 £
P £ 8,4 + 0,1
soit 8, 3 £ P £ 8,5
c)
comme l = P/2 - L , encadrons
successivement P/2 ; - L ; P/2
+ (-L)
On a 8, 3 £ P £ 8,5
donc 4,15 £ P £ 4,25
( 1)
3,1 £ L £ 3,3
donc - 3,1 ³ -
L ³
- 3,3
c’est à dire : - 3,3 £ - L £ - 3,1 (2)
On additionne membre à
membre les encadrements ( 1) et (2)
4,15 + ( -3,3) £ P/2 + ( -L) £ 4,25 +
( -3,1)
0, 85
£ l £ 1,15
Cet encadrement de « l » ne répond pas à la question
, les nombres 0,85 et 1,15 ayant deux chiffres après la virgule.
Mais on a : 0,8 <
0,85 et
1,15 < 1,2 d’où
0,8 < 0,85 £ l £ 1,15 < 1,2
et par suite 0,8 < l < 1,2 , encadrement de
« l » qui répond à la question.
Travaux auto
formatifs.
1 )Que veut dire
« encadrement » ?
Voir dictionnaire
2°) Deux nombres « x »
et « y » vérifient 2 £ x £ 3
et 5 £ y £ 6
On veut en déduire un encadrement
des nombres suivants par des nombres décimaux ayant au plus un chiffre après la
virgule :
x² |
|
- x |
|
x +
y |
; x y |
y -
x |
|
Problème d’application :
Une unité de longueur étant fixée , soit P le périmètre d’un rectangle de côtés l et L.
1°) Exprimer « P » en
fonction de « l » et « L » ;
en déduire l = P/ 2 - L
2°) On sait que L vaut 3,2 à 0,1 près et que P vaut 8,4 à 0,1 prés.
d)
Ecrire un encadrement de L et un
encadrement de P
e)
Déterminer alors un encadrement de « l » par des nombres
décimaux n’ayant qu’un seul chiffre
après la virgule.