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DOC : formation individualisée soutien en
ligne. |
DOC : livre
Elève .Cours interactifs - et
travaux + corrigés. |
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DOSSIER
N°C.N. 21 INTERACTIF |
Information « TRAVAUX » |
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OBJECTIFS : Savoir
effectuer un division avec des nombres entiers ( avec ou sans
reste ) dit :Euclidienne .: Intérêt de connaître la division
euclidienne : 1.
définir le mot divisible. 2.
Vérifier si
un quotient est exacte. 3. Elle sera utilisée comme outil pour Rechercher si
un nombre est « premier ». |
I
)
Pré requis:
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Voir « Euclide » pour
« euclidienne » |
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Sciences : la division de segment |
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La soustraction dans N |
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IMPORTANT
: |
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Les divisions ( classes élémentaires) (IMPORTANT) |
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II
)
ENVIRONNEMENT du dossier :
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3°) rendre plus grand ou plus petit |
2°) la division
par 10 ; 100 ; 1000 ; …. |
2°) liste des cours avec concernant N 4°) les calculs avec les nombres entiers. |
III )
LECON : LA DIVISION EUCLIDIENNE
(le nom de « division
euclidienne » ne s’adresse uniquement aux divisions dont les nombres sont des entiers naturels.
(Ensemble des nombres entiers naturels N)
Chapitres :
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III )
DEFINITION de la division euclidienne et « quotient exact » |
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INFORMATIONS « formation leçon » :
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Travaux auto - formation. |
Interdisciplinarité 1°) série 1 2°)
autres situations problèmes |
Corrigé des
travaux auto - formation. |
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Contrôle |
évaluation |
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V )
DEVOIRS ( écrits):
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Devoir diagnostique L tests. |
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Devoir Formatif « Contrôle :
savoir » ; ( remédiation) |
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Devoir sommatif . |
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Devoir
certificatif : ( remédiation ) |
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*
remédiation : ces documents peuvent être réutilisés (
tout ou partie) pour conclure une formation .
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Leçon |
Titre |
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N°C.N.21 |
CHAPITRES
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III
)
DEFINITION de la division
euclidienne et « quotient exact » |
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A
partir du fait que 6
7 = 42 , on peut écrire 42 : 6 = 7 et 42 : 7 = 6 ;
La
division est l’opération inverse de la multiplication : en effet , multiplier
puis diviser par un même nombre différent de
« 0 » une quantité a un
effet neutre sur cette quantité :
Exemple : (13 
) : 2 = 13.
Il
est donc évident que savoir faire des
divisions passe par la connaissance parfaite
des tables de multiplication.
Quand à l’utilisation de la calculatrice pour diviser :
l’usage des calculatrices électroniques de poche ne doit pas dispenser de
posséder la maîtrise totale des quatre opérations élémentaires :
Addition ; soustraction ;
multiplication ; division.
La division est l’opération inverse de la multiplication :
La
division est une sorte de « partage »
« partager » c’est découper en parts
« égales » un objet , un tas ; un
ensemble d’objets en vu de les répartir en quantité
égale :
exemples :
pour
partager un gâteau. Il peut y avoir 2 façons ; en fonction du nombre de
personnes ( il y a 5 personnes on découpe le
gâteau en 5 parts égales ); ou en
fonction d’une quantité que l’on destine à chacun ( On découpe le gâteau en
8 parts est on en donne 5 parce qu’il y
en 5 personnes et que les quantités par
part sont suffisantes pour rassasier chacun)
( Voir les fractions )
Revoir : Les tables des divisions :
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Les
Symboles séparant deux nombres indique la même opération :
appelée la division ; ils sont au nombre de trois.
a) les deux points
superposés « __ : ___ »
b) le
"slache"
« __ /___ »
c) la barre de
fraction « 
»
Sur la touche de la
calculatrice on trouve le signe « ¸ »
Si
l’on fait de calcul , on obtient le même résultat si
l’on pose :
40: 8 (=
5 ) ; 40 / 8 (
= 5 )
; 
( = 5 )
Conclusion : deux nombres séparés
par le
signe : : ou
le signe ou le
signe /
indique que l’on peut faire une division pour
effectuer le partage .
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Définition : La division
euclidienne est une opération qui associe à deux entiers naturels « a » et « b » les entiers
naturels « q » et
« r » tels que :
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a = b avec les
conditions suivantes :
b ¹ 0 et r < b |
|
Exemple: puisque 147
par 8 donne 18 , et le reste 3 ; alors 147 = 8
18 + 3
Ecriture
mathématique :
Ce qui se traduit , en langage
littéral ,par :
Le dividende
« a » est égal (=) au produit
(
) du diviseur
« b » par le quotient
« q »,plus ( +) le reste « r » .Avec les conditions que le
diviseur « b » soit différent (¹ )
de zéro « 0 »; et le reste « r » soit strictement inférieur
(< ) au diviseur ( b) .
Formule équivalente
Encadrement :
b q £
a < b ( q + 1 )
Application : 38 : 7
7 5 £ 38
< 7 ( 5 + 1 )
3 5 £ 38
< 7 36
Remarque : si le reste de la division euclidienne est égal à
zéro (le reste est nul ) , le quotient est appelé
« quotient exact ».
( si l’on obtient
un quotient exact ,on peut donc
répartir ou partager
« équitablement » une quantité donnée .)
12 : 4 = 3 + 0
A retenir : ( savoir nécessaire pour calculer dans une
proportion)
« dividende » divisé par le « diviseur » égal le
quotient. : « a » :
« b » = « q »
aussi :
le quotient multiplié par le diviseur est égal
au dividende ;
Et le quotient
divisé par le dividende est égal au
diviseur.
« QUOTIENT
NON- EXACT »
Lorsque le
reste n’est pas nul , le quotient est appelé
« quotient à 1 près par défaut » ou « approximation
entière par défaut » du quotient .
Vocabulaire :
le mot « approximation » vient du latin « proximus » : proche .
« par défaut » signifie
« ce qui manque »
Disposition pratique de la division euclidienne :
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Forme : |
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a |
|
b |
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q |
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|
|
r |
|
où on nomme
a étant le dividende
b étant le diviseur
q étant le quotient
r étant le reste
|
Pour
"b" voir |
|
A retenir : dividende : divisé par le diviseur égal le quotient. « a » :
« b » = « q »
|
|
IV) PRATIQUE DE LA
DIVISION EUCLIDIENNE
. |
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A)
Disposition :
Exemple : Faire la division
euclidienne de 27 : 6
= ?
1° ) Calcul :
Disposition pratique:
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Forme : |
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a |
|
b |
|
|
|
|
q |
|
|
|
r |
|
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Ce qui se traduit par : |
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2 |
7 |
6 |
|
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2° )
Résultat : 27
= 6 4 + 3 les conditions étant respectées : puisque b
= 6 et r < 6
B ) PRATIQUE DE LA DIVISION :
exemple :
on veut diviser 87
par 6
PROCEDURE :
a ) Identifier (nommer) : le dividende : 87 ;
le diviseur : 6
b) établir
mentalement (ou par écrit) la table de multiplication dont le nombre
« multiplicateur » est le
diviseur :
6 1 = 6
62 = 12
63 = 18
64 = 24
65 = 30
66 = 36
67 = 42
68 = 48
69 = 54
c) Poser la division :
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87 |
6 |
|
|
|
|
|
|
d ) Prendre le premier chiffre du
dividende : « 8 » ;
le comparer à « 6 » , se poser la question :
Dans :
« 8 » combien peut - il t avoir de fois « 6 » ?
réponse à voir dans la table de
multiplication :
6 1 = 6
62 = 12
« 8 »
est compris entre
« 6 » et « 12 » ; en conclure
que « 8 » contient
une fois « 6 » ; on
écrit « 1 » au quotient
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8 |
7 |
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ou plus généralement :
Combien « de fois » contient le premier chiffre du dividende le
nombre « diviseur » ?
e ) Dans la division
pratique il faut poser la
soustraction 8 - 6
reste :
2
|
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|
|
|
|
|
8 |
7 |
6 |
|
6 |
6 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
f ) reste « 2 » , j ‘abaisse le
« 7 ».
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|
8 |
7 |
6 |
|
|
-
6 |
¯ |
1 |
|
|
2 |
7 |
|
g) le
nouveau dividende vaut : 27
On
se pose la question : dans
« 27 » combien de fois y a t - il de
fois « 6 » ?
|
|
8 |
7 |
6 |
|
|
6 |
1 4 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
6 « 27 » est compris entre 6 |
- 2 |
4 |
|
|
0 |
3 |
|
|
On
« met » « 4 » au quotient
On
pose la soustraction 27 - 24
= 3
« 3 » est le reste de la division ( parce que le « reste » est inférieur au
« diviseur »)
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|
|
Utilité de l’encadrement du dividende sous
la forme :
b q < a
< b ( q + 1)
( rechercher pour approcher un
nombre dans les tables de multiplication ) ; en
vue de trouver la valeur du
diviseur en se posant la
question :« combien de fois y
a t - il.... « tel
nombre »......dans....« tel nombre ».... ? »
exemple : combien y a t il de fois « 6 » dans « 27 » ?
D ‘après la table
des multiplications (
fois 6 ) 6 fois 5 = 30 ; 6
fois 4 = 24»
donc dans la table
des « 6 » ; 27 est compris entre 24 et 30
ce qui se
traduit :
24 < 27
< 30
soit 64. < 27 < 6 5
on retrouve la forme
Nous obtenons avec cette relation d’encadrement
|
|
b |
|
EXERCICE d ' application de l’encadrement :
Travail : On veut effectuer la division euclidienne 27 : 6
On passera par l ’ encadrement pour la recherche d'un nombre pouvant se trouver dans la table de multiplication:
Ainsi , on
s’interroge : est ce que 27 est dans
la table des 6 ?
Réponse : non parce que 27 est compris entre 6 fois 4 et 6 fois 5.
Réalisation :
Effectuer la division
euclidienne 27 : 6
1°) Donner le résultat sous la forme « a = b q + r)
2°) Donner la valeur de « a » par encadrement , sous la
forme « b q < a
< b q + 1 »
(on lira que « a » est compris en b fois q et b
fois q plus r ).
Résolution :
1°)
résultat sous la forme « a = b q + r »
a ) On pose 27 = a
et 6 = b
b) On veut le résultat sous la forme : « a = b q + r) après avoir posé
l’opération on relève que :
27 = 6 
4 + 3
2°) Encadrement , sous la forme « b q < a
< b q + 1»
c ) Nous
savons que dans la table des
« 6 » 27 > 6
4 et
27 < 6 5
d )
nous pouvons écrire 6 4 < 27
< 6 ( 4 +1)
6 4 <
27 < 6 5
donc 24 <
27 < 30
Commentaire : dans la table des
« 6 » ,
27 est compris entre 6 fois 4 et 6 fois 5 .
pour diviser 27 par 6 ;nous nous réciterons la table des « 6 »
nous
chercherons dans 27 combien de fois il y a 6:
ainsi : 6 fois 4
= 24 ; 6 fois 5 = 30
on remarque que 27 se trouvant entre « 24 » et
« 30 »
4
est donc le diviseur choisi : 6
fois 4 = 24
ensuite
je calcule 27 - 24 ;il me reste donc 3
.
Pour
que 27 soit divisible par 6 , dans la division
euclidienne le quotient devrait être (dans une des divisions)un quotient
exacte.
je peux
rendre compte :
le résultat de la
division euclidienne 27 par 6
est : 27 = 6 4 + 3
Autre division:
POUR
DIVISER : 4592 par 31
Réponse :
Il faut établir la table des multiplications des "31"
|
Voir
exemple de la table des "31" |
|
Il
faut ensuite effectuer la division vue précédemment .
|
Leçon |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATIFS sur |
|
N°C.N. 21 |
LA DIVISION EUCLIDIENNE. |
1. Que veut dire diviser ?
2 . Donner la définition
de la division euclidienne.
3. Traduire avec des symboles :
« Le
dividende est égal au produit du diviseur par le quotient
,plus le reste .Avec les conditions que le diviseur soit différent de
zéro ; et le reste soit strictement
inférieur au diviseur. »
4 . Si le reste de la division euclidienne est
égal à zéro ,comment appelle - ton le quotient ?
5. Donner la disposition pratique de la division
euclidienne ;nommer les symboles .
6. Quel point commun ont entre eux les symboles
suivants :
: ; _
; / ; ?
7. Traduire en langage littéral : a
= b q + r
avec les conditions
suivantes : b
¹ 0 et r
< b
8 . A quoi sert - il de connaître la division euclidienne ?
1 .Soit : 40 :
8; 40 / 8; ; trouver le
point commun ; conclusion.
2°) Donner sous forme
euclidienne le résultat des divisons suivantes :
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Exercices |
Votre résultat |
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31 :
3 |
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165 :
5 |
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587 :
11 |
|
|
|
237 :
33 |
|
|
|
166 :
9 |
|
|
|
349 : 15 |
|
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|
180 : 4 |
|
|
|
51 : 7 |
|
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3°) Reprendre les
divisions précédentes et présenter le
dividende encadré par les divisions
euclidienne les plus proches.
Rappeler la
forme
|
b |
< a
< |
b |
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31 |
|
|
|
165 |
|
|
|
587 |
|
|
|
237 |
|
|
|
166
|
|
|
|
1 349
|
|
|
|
180 |
|
|
|
51 |
|
A
)Problème :peut - on partager équitablement 123 feuilles de papier en 6 paquets .INTERDISCIPLINARITE :
|
Soit 45872’’ , convertir en
degrés, minutes , secondes |
PARTAGE :
Claude partage entre ses équipiers une boites
de 72 dragées. Chaque équipier a reçu 12 dragées .Combien sont-ils dans
l’équipe de Claude ?
|
Classe
« école » |
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Exemple : les 24 élèves d’une classe sont répartis en 4 équipes. Combien y a-t-il d’élèves par
équipe ? |
Réponse : 24 = 4 |
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1- Pour le goûter on
partage équitablement un paquet de 24 galettes entre 4 enfants
. Quelle sera la part de chaque enfant ? |
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2 - Cinq personnes , qui ont joué
ensemble , ont gagné 4625 € au loto. Quelle somme revient à chacune
d’elles ? |
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3- Dans un ascenseur , un
panonceau indique « charge maximale autorisée : 1300 kg . Combien
de personnes de 65 kg peuvent prendre place dans cet ascenseur ? |
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4- Un moustique bat des ailes 132 000 fois par
minute ! Combien cela représente-t-il de battements par seconde ? |
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5- Un fût contient 300 l .Combien de bouteilles de 75 cl peut-on
remplir avec le contenu de ce fût ? |
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6- Sur une camionnette , on doit
charger des colis pesant chacun 42 kg . La
camionnette ne peut transporter plus de 800 kg. Combien de colis pourra-t-il
emporter ? |
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7- Pour acheter un réfrigérateur d’une valeur de 4276 € , il est possible
de ne payer que 1000 € à la commande et le solde en 12 mensualités . Quel
sera alors le montant de chaque mensualité ? |
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8 - Un ouvrier perçoit un salaire de 7783F pour un mois de 172 heures de
travail. Quel est son salaire horaire ? |
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9 - Une course cycliste se déroule sur un parcours
comprenant un tronçon de 24 km , un autre de 38 km
et , à l’arrivée , 4 tours d’un circuit en ville. La longueur totale de la
course est de 83 km . Quelle est la longueur , en km , d’un tour de circuit ? |
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10- Dans une lettre publicitaire ,
un mensuel propose , au choix, un abonnement : -
de 6 mois pour 105 € -
d’un an pour 195 € ; -
de 2 ans pour 390 €. Quel est , dans chaque cas, le
prix de revient au numéro ? |
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11- D’une citerne contenant 1500 litres d’eau
, un jardinier a déjà retiré 34 sceaux d’une capacité de 10 l .
Combien d’arrosoirs d’une capacité de 8 litres pourrait-il encore tirer ? |
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