Pré requis:

Les fonctions et applications (généralités)
Les ensembles de nombres.	.
L’ensemble des nombres « réels » : noté par la lettre « R »

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

Objectif précédent : 1°) Cours niveau V 2°) Les tracés en niveau V 3°) Les fonctions numériques ( vu en seconde et première)

Objectif suivant 1°) Etude des fonctions usuelles. 2°) Tracés niveau IV 3°) Le nombre dérivé 4°) complément : L’étude de fonction (niveau 4 ) Bac…

Présentation Sommaire : les fonctions.

Niveau IV : DOSSIER : ETUDES N°2 sur LES FONCTIONS NUMERIQUES

Chapitres :

I) VOCABULAIRE.

II) Ensemble de définition d’une fonction numérique ;

III) Ensemble d’étude d’une fonction Numérique

IV) PARTICULARITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE.

· PARITE d’une fonction

• PERIODICITE 
• SENS de variation d’une fonction numérique 
• Extremum d’une fonction sur un intervalle .
• Applications de la recherche de l’extremum.

V ) Taux d’accroissement « symbole : q ( lire Téta)» d’une fonction numérique sur un intervalle :

TEST

COURS

Devoir Contrôle Etudes n°1

Devoir évaluation Etudes n°1

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

I) VOCABULAIRE.

Définition d’une fonction numérique

« E » et « F » étant des ensembles numériques , toute correspondance f de « E vers F » , qui a tout élément « x » de E associe « au plus » un élément de F est appelée « fonction numérique » de « E vers F ».

L’image de « x » par f se note f(x) où « x » appartient à E et f(x) appartient à F.

Exemples de f : R R	Nom de fonction : (modèles types)
xa x	Fonction linéaire
xa x + b	Fonction affine
xx^2	Fonction monôme du second degré
xx^3	Fonction monôme du troisième degré
x	Fonction racine carrée
x	Fonction homographique

II) Ensemble de définition d’une fonction numérique : ( Application )

L’ensemble de définition, noté D_f d’une fonction numérique « f » de «  E vers F » est l’ensemble des éléments de « E » qui ont une image dans « F ».

Exemples  à retenir : soit des f : R R

Pour « f »	Le D f est	Commentaire L On retiendra ces exemples.)
xx^2	D f = R	Toutes valeurs de « x » peut avoir son carrée :Dans ce cas le domaine de définition est l’ensemble des réels .
x	D f = R ^+	La racine carrée ne s’effectue que sur des nombres positifs.(sont donc exclues les valeurs négatives) Dans ce cas le domaine de définition est l’ensemble des réels positifs ou nuls .
x	D f = R ^* Lire : « R étoile plus »	« * » signifie que le nombre « 0 » est exclu.En effet on ne peut diviser par 0 Dans ce cas le domaine de définition est l’ensemble des réels non nuls ;on noter aussi : Df = R \ .

III ) Ensemble d’étude d’une fonction Numérique

L’ensemble d’étude ( noté I_f ) d’une fonction numérique f de «  E vers F » est l’ensemble des éléments de D_f sur lequel on étudie la fonction.

Condition : ( I_f est inclus dans D_f )

Commentaire : I_f est un intervalle qui limite l’étude de la fonction .

Les valeurs de I sont des valeurs numériques appartenant à « x ». la valeur « 0 » est toujours citée soit comme « bornes » soit comme « milieu ou symétrique» .

IV ) PARTICULARITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE.

A) PARITE d’une fonction

On doit répondre à la question : est ce que la fonction est « paire » ou « impaire » ?

1°) Fonction paire : (puissance « paire »)

Une fonction f de E vers F est dite « paire » si pour tout « x » pour lequel f(x) existe, f (-x) existe également et on écrit : f(-x) = f(x)

Dans un repère orthonormal la représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (axe des « y »).

Exemple : la fonction f de R vers R telle que f(x) = a x² est paire.

Sa représentation graphique est une parabole
Cas a < 0	Cas : a >0

2°) Fonction impaire : (puissance « impaire »)

Une fonction f de E vers F est dite « impaire » si pour tout « x » pour lequel f(x) existe , f(-x) existe également et on écrit : f(-x) = - f(x)

Dans un repère orthonormal la représentation graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine des axes .

Exemple : la fonction f de R vers R telle que f(x) = x³ est impaire.

A) PERIODICITE :

Fonction périodique : (exemple : sinusoïde)

Une fonction numérique f de E vers F est dite « périodique » et de période T si pour tout « x » pour lequel f(x) existe , f(x +T ) existe également et f(x +T )= f(x)

( tout multiple d’une période est une période , on réserve souvent le nom de période de la fonction à la plus petite période positive )

Dans un repère orthonormal ( orthonormé) la représentation graphique complète d’une fonction périodique se déduit de sa représentation graphique sur une période par translation de vecteur T.

exemple : de sinusoïde

C) SENS de variation d’une fonction numérique :

1° ) Fonction croissante sur un intervalle

Si quels que soient les réels x₁ et x₂ distincts de I ,

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) ³ f( x₁ )

2°) Fonction décroissante sur un intervalle

Si quels que soient les réels x₁ et x₂ distincts de I ,

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) £ f( x₁ )

3° ) Fonction constante sur un intervalle

Si quels que soient les réels x₁ et x₂ distincts de I ,

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) = f( x₁ )

Remarques :

Si quels que soient les réels x₁ et x₂ distincts de I ,

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) > f( x₁ ) , f est strictement croissante sur I .

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) < f( x₁ ) , f est strictement décroissante sur I .

« Monotone »  :

Si une fonction est (strictement ) croissante ou décroissante sur un intervalle , elle est dite (strictement) « monotone » sur cet intervalle.

Exemple :

Soit fonction f(x) dont on donne la représentation graphique dans un repère cartésien est :
la fonction f(x) est croissante sur [ab]:
la fonction f(x) est constante sur [b c]:
L a fonction f(x) est décroissante sur [cd]:

D) Extremum d’une fonction sur un intervalle .

L’extremum d’une fonction sur un intervalle est soit un maximum , soit un minimum

. « Maximum » :

Le point S est le « maximum »

(sommet de la courbe)

Soit le point S _{( Sx ; Sy)}

S_y = f(S_x) est une valeur maximale ou un maximum de f sur l’intervalle I si pour tout x de I les f(x) < f(S_x)

Ou les f(x) < S_y

« Minimum » :

Le point S est le minimum

(le point le + bas de la courbe)

Soit le point S ( S_x ; S_y)

S_y = f(S_x) est une valeur minimale ou un minimum de f sut l’intervalle I si pour tout x de I les f(x) ³ f(S_x)

Ou f(x) ³ S_y

Ici : S (1 ; -4 )

Extremum d’une fonction sur un intervalle : Applications

Exemple 1: avec les fonctions de la forme ax^2 avec « a » négatif. Pour la fonction f : x -x^2 Elle admet sur R un maximum égal à 0 pour x0 = 0 Ce qui est vraie pour les autres représentations graphiques ! !
Exemple 2: avec les fonction de la forme ax^2 avec « a » négatif. Pour la fonction f : x x^2 Elle admet sur R un minimum égal à 0 pour x0 = 0 Ce qui est vraie pour les autres représentations graphiques ! !

Commentaire : pour savoir si une droite (ou autre ) est « croissante »  ou « décroissante » il faut calculer son  : taux d’accroissement.

@ taux de variation

Taux d’accroissement « symbole : q ( lire Téta)» d’une fonction numérique sur un intervalle :

Info : nombre dérivé

Soit une fonction numérique f de R vers R dont l’ensemble de définition D_f et soit x₁ et x₂ deux réels distincts de D_f

On appelle « taux d’accroissement » (ou taux de variation) de f entre x₁ et x₂ le rapport

A propos d ‘écritures :se note aussi = = q ;

sachant que Dy lire « delta i grec » et Dx est « delta ix » ; Dx représente une infime partie de « x » soit (x₂ - x₁ ); Dy représente une infime partie delta « y ».soit ( y₂- y₁ )

=

Calcul de Dy = y₂- y₁ ;

y₂ est obtenu en f (x₂) et puis y₁  est obtenu en f (x₁) ;

on peut aussi écrire : Dy = f (x₂) - f (x₁) 

où Dy peut être remplacé par f (x₂ - x₁)  et Dx peut être remplacer par x₂-x₁

nous pouvons utiliser indifféremment : =

Exemple :

Soit la fonction f : x 0,5 x² ; Calculer le taux d’accroissement.

Résolution :

Domaine de définition : D_f = R et quels que soient x₁ et x₂ distincts de D_f

Calcul de q:

= 0,5 (x₂+ x₁ )

SOS calcul q :

0,5 x₂² - 0,5 x₁² = 0,5 (x₂² - x₁²)

(x₂² - x₁²) est de la forme

@Les identités b. Remarquables a ² - b² = (a+b) (a-b)

avec « a » = x₂ et b = x₁

donc on peut écrire que :

(x₂² - x₁²)= (x₂+ x₁ )( x₂ - x₁ )

on remplace :

on simplifie :

Exemple : calcul du taux d’accroissement dans l’intervalle [1 ; 3 ] :

Pour x₁ = 1 et x₂ = 3

On sait que q = 0,5 (x₂+ x₁ )

q = 0,5 (3+1 )

q = 0,5 (4 )

q = 2 ( la taux est positif , dans cet intervalle la fonction est croissante)

Faire le même calcul avec des valeurs négatives : exemple [ -3 ; -1 ] 

(le taux est normalement négatif)

Représentation de q dans la représentation graphique de la courbe :

Soit (C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal , q représente le coefficient directeur de la sécante ( MN) à la courbe ( C )

q : Application au sens de variation d’une fonction :

Si quels que soient x₁ et x₂ distincts de I :

q ³ 0 , f est croissante sur I

q = 0 , f est constante sur I

q £ 0 , f est décroissante sur I

Application :
Soit fonction f(x) dont on donne la représentation graphique dans un repère cartésien est :
la fonction f(x) est croissante sur [ab]: le q ³ 0 , f est croissante sur [ab]:
la fonction f(x) est constante sur [b c]: le q = 0 , f est constante sur [b c]:
L a fonction f(x) est décroissante sur [cd]: Le q £ 0 , f est croissante sur [cd]:

Remarques :

q > 0 , f est strictement croissante sur I

q < 0 , f est strictement décroissante sur I

exemple :

Soit la fonction f définie de R vers R par : f (x) =0,5 x² est strictement décroissante sur R ^- (lire R moins) car quels que soient x₂ et x₁ distincts de R ^- _; q = 0,5 (x₂+ x₁ ) est strictement négatif.

Représentation graphique.

Etant donné une fonction numérique f de variable réelle « x » , on appelle «  courbe représentative de f dans un repère cartésien » , l’ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x))

Exemples

Travaux auto formatifs

CONTROLE:

Quand dit on qu’ une fonction est « paire » ?

Compléter la phrase :

Donner un exemple de fonction paire :

Quand dit on qu’ une fonction est « impaire » ?

Compléter la phrase : Dans un repère orthonormal la représentation graphique d’une fonction paire est ……………………

Donner un exemple de fonction impaire :

Compléter les phrases suivantes :

Sur sens de variation d’une fonction numérique :

A ) Si quels que soient les réels x₁ et x₂ distincts de I ,

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) ³ f( x₁ )

la fonction est ………………………………

B) Si quels que soient les réels x₁ et x₂ distincts de I ,

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) £ f( x₁ )

la fonction est ………………………….

C ) Si quels que soient les réels x₁ et x₂ distincts de I ,

x₂ > x₁ entraîne f( x₂ ) = f( x₁ )

la fonction est ………………………….

f est strictement croissante sur I si …………………………………………

f est strictement décroissante sur I ………………………………………..

Quand dit-on qu’une fonction est strictement « Monotone »sur un intervalle I ?:

EVALUATION:

Reprendre les exercices vus dans le cours.