FL 7 généralités

DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES / Objectif cours 44

Pré requis

Relation trigonométrique : la tangente
Fonction "généralités"
Repère cartésien

ENVIRONNEMENT du dossier

INDEX warmaths	Objectif précédent 1°) la représentation graphique d’une fonction 2°) exemple	Objectif suivant 1°)Des représentations graphiques 2° )fonction affine	Tableau 2°) la fonction linéaire (info)
		Les abaques

DOSSIER Construire LA REPRESENTATION GRAPHIQUE  d’une FONCTION LINEAIRE

1°) représentation graphique à partir d’une équation.

2°) représentation graphique à partir d’un graphe.

3°) représentation graphique à partir d’un tableau

4°) Fonctions linéaires « croissantes » ou « décroissantes » :

5°) RELATION entre « a » et la « pente » et « la tangente » et « taux d’accroissement ou de variation »

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

Les transformations possibles :

	Equation	Graphe	Tableau	Représentation graphique
Equation
Graphe
Tableau
Représentation graphique

Niveau sup. :

INFO plus ++++

Représentation graphique d’une fonction linéaire :

On peut obtenir une représentation graphique à partir d’une équation , d’ un tableau de proportionnalité  ou à partir d’ un graphe.

A ) Obtention d’ une représentation graphique à partir d’une équation

Soit l’équation : y = 3 x

La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme coordonnées .

Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )

L’ensemble des points A, B ,C ,D, .... ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; 3 x )

On peut construire un tableau et le remplir :

	O	A	B
x	0	1	2
y	0	3	6

Placer le point « O »

Puis les points :

 B : ( 2 ; 6)

Tracer le droite passant par OB et placer le point « A » , vérifier ainsi que « A » est sur la droite.

B ) Représentation graphique d’une fonction linéaire à partir d’un graphe :

Soit le graphe G = { ( 0 ; 0 ) ; (1 ; 3 ) ; (2  ;6 )  }

Procédure :

A chaque couple on attribue une lettre majuscule :

Le premier couple représente les coordonnées du point « O » : O _{( 0 ; 0)}

Le deuxième couple représente les coordonnées du point « A » : A _{(1 ; 3 )}

Le troisième couple servira de « vérificateur » si x = 2 ; y = 6

Représentation graphique : voir la représentation graphique précédente.

C ) Représentation graphique d’une fonction linéaire à partir d’un tableau :

( 2/3 ) > 0 ; la droite est « croissante » 

On donne le tableau suivant  :

	O	D	E
x	0	+1	+3
y	0	+2/3	+2

Pour faire la représentation graphique il n’y a pas de problème particulier , il suffit de placer 2 points et vérifier si le troisième se trouve sur la droite tracée et passant par les 2 point s précédemment tracés.

Il suffit de placer les points O ;D ; E dans le repère cartésien.

Commentaire :

Dans l’équation :y =( 2/3 )x ; Le coefficient directeur « 2/3 » est un nombre relatif .

Le nombre « 2/ 3 » placer devant « x » peut s’appeler :

n Coefficient de proportionnalité (dans le tableau)

n Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n Coefficient directeur de la droit d’équation y = x ; dans la représentation graphique

Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation graphique de l’équation y = x ; «» est appelé « pente de la droite » ou « taux d’ accroissement » , la « pente » étant appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de « y » sur « x ».

Voir les relations trigonométriques dans un triangle rectangle

Plus généralement :

Les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction linéaire sont :

n c’est une droite (D)

n cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0) , noté (0 ;0)

n elle possède un point caractéristique ; à d’abscisse valeur « 1 » correspond la valeur de « a » ; noté P :(1 ; a)

« a» s’appelle coefficient directeur de la droite , c’est un nombre relatif :

4°) Fonctions linéaires « croissantes » ou « décroissantes » :

Par conventions :

si « a » est « positif » , dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».

si « a » est « négatif » ,dans la représentation graphique la droite descend du haut gauche du repère vers le bas droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».

Exemples : Soit l ‘équation « y = 2x » « a = + 2 » , donc « a » est positif , on conclut que la droite « y = 2x » est la représentante de la fonction f(x) = 2x ; c’est une fonction croissante Soit l ‘équation « y = -3 x » « a = -3  » , donc « a » est négatif , on conclut que la droite « y = -3 x » est la représentante de la fonction f(x) = -3 x ; c’est une fonction décroissante

5°) RELATION entre « a » et la « pente » et « la tangente » et « taux d’accroissement ou de variation »

le coefficient « a » est aussi appelé « PENTE » et « TANGENTE »

CAS traité : droite croissante :

«2/3 » est aussi appelé « pente » ou « tangente » ou « taux d’accroissement » de la droite. (voir relations trigonométriques dans le triangle rectangle )

Problème abordé en trigo .

La pente est égale au rapport de la longueur « y_A » sur la longueur « _A » (uniquement vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;

Autrement : on dit aussi « la pente est égale au rapport de la mesure algébrique du segment AA’ sur la mesure algébrique du segment OA’ »

On dit aussi « la pente est au rapport du coté opposé a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) » 

On dit aussi « la pente est égale à l’abscisse du point A sur l’ordonnée du point A ».

la pente est égale à la relation : «  » = ; si _A alors _A

Il est possible de donner la pente des droites D1 ; D2 ;D3 ;D4 ; On trace une droite parallèle à l’axe « y » en « x » = 1 Pour D1 : « a » = +2 Pour D2 : « a » = - 2 Pour D3 : « a » = - 0,5 Pour D4 : « a » = +0,5

PENTE : On pensera à la pente de la route !!!!

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1° ) Définissez « la représentation graphique » ; précisez ,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère cartésien.

2° ) quand dit-on qu’une fonction linéaire est croissante ?

3° ) quand dit-on qu’une fonction linéaire est décroissante ?

4°) quel calcul doit-on faire pour obtenir la pente d’une droite ?

faire un dessin :

EVALUATION :

Soit les fonctions :

1 =

2

3 = -

1°) Dans un repère cartésien orthonormé ; Faire la représentation graphique de chaque fonction .

A l' équation 1 =	On associe la droite D1 (lire :droite indice 1)
A l' équation 2 =	On associe la droite D2 (lire :droite indice 2)
A l' équation 3 = -	On associe la droite D3 (lire :droite indice 3)

2°) En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D₁ et D₂;

3°) tracer D₃

Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite entre les droites D₁ et D₃ .

Angle = 90°

Quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?

4° ) Faite le calcul du produit a₁ par a₃ .

5°) tracer la droite d'équation y₄ =

a) mesurer l’angle fait par D₂ et D₄

b) faire le produit a₂ a₄

6°)Comparer les résultats de la question 4° et 5° ; quelle conclusion peut - on en tirer ?

Dire quelle représentation est dans le sens croissant ou décroissant ? ?justifier