CFA	Dossier niveau V : N°1 :
CAP	DOSSIERN°2 : EQUATION du premier degré / Objectif cours 34

Pré requis:

Lecture d’énoncé .
1°) Vers la liste des cours sur CALCUL NUM
Cours : valeur numérique d’une expression algébrique
Algèbre 1 :Informations sur les conventions d’écritures
Les transformations d’équations  : les théorèmes
Calcul algébrique : …à voir …….

Environnement du dossier :

Index warmaths

1°)niveau V : le premier degré: exercices types et problèmes (intro .) 2°)calcul algébrique 3°) calcul algébrique(suite) 4°) comment traiter un problème du premier degré.

Objectif suivant: 1°)degré (exercices résolus) 2°) premier degré à deux inconnues 3°) Inéquations du premier degré. 4°) Transformation d’équations 5°)Premier degré Suite niveau +++.

1. 2. Présentation des cours et travaux du premier degré 3. Liste des cours d’algèbre. 4. Livret de révision en algèbre.

DOSSIER : Résolution d'une Équation du premier degré à une inconnue.

I) Définition : EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE.

II ) Méthodologie et Procédure de résolution .

III ) Exemples de résolutions .

TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité Problèmes du premier degré	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
			INFORMATIONS

I ) Définition : EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE. a) EQUATION ENTIERE : En faisant passer tous les termes dans un même membre , toute équation peut se mettre sous la forme P = O Si P est un polynôme , on dit que l’équation est « entière » et le degré est le degré de l’équation. Ainsi est une équation du second degré parce qu’elle est équivalente à : b) Résolution de l’EQUATION DU PREMIER DEGRE de la forme ; ( «  » est un produit ) D’après ce qui précède , une équation du premier degré est une équation de la forme P = 0 « P » étant un polynôme du premier degré. Si l’on fait passer tous les termes contenant l’inconnue « x » dans le premier membre et tous les autres dans le second, on obtient une équation de la forme : (1) « a » et « b » étant des données. 1°) si a ¹ 0 , on peut diviser les deux membres par « a ».On voit ainsi que l’équation (1) admet une seule solution : 2°)Si a = 0 l’équation (1) s ‘écrit : 0 × x = b Or quel que soit « x », le premier membre est nul . Donc si « b » est différent de zéro, l’équation n’admet aucune solution. On dit qu’elle est impossible. Si « b » est nul, quel que soit « x », l’équation est toujours satisfaite. On dit qu’elle est indéterminée. En résumé : si a ¹ 0 solution REMARQUE : Si l’équation renferme des données littérales ( paramètres),on sera en général amené à distinguer plusieurs cas car pour certaines valeurs des paramètres le coefficient de l’inconnue pourra être nul et on n’aura pas le droit de diviser les deux membres de l’équation par ce coefficient.

COURS

Les premières équations du premier degré de base sont:

Commentaire : Toutes les transformations d’équations doivent se ramener aux modèles « types »suivants  ( il est donc nécessaire de savoir reconnaître et résoudre les modèles proposés )

La résolution se ramène toujours aux types d’équations suivantes ;il faut donc savoir les transformer et mettre ses équations sous la forme : « x » =…………

Exemples « types » d’équations	SOS cours	Modèles types d’équations du premier degré à une inconnue.	Solution(s)
	Evidemment		donc
	SOS cours		donc
	SOS cours		donc
	SOS cours		donc
	SOS cours		donc
=	SOS cours	=	donc
=	SOS cours	=	donc
=	SOS cours	=	donc
=	SOS cours	=	donc
= 8	SOS cours	= b	donc
=2	SOS cours	=b	donc

A savoir :Une équation du premier degré peut contenir dans chaque membre 1 ou plusieurs termes :

Exemples : ; ; ;

ACTIVITES :

N°1 : Résoudre les équations d’inconnue « x ».

		Corrigé :
1.
2.
3.

Réponse : (x = 3) ;(x = - 10 / 3) ; (x = - 4)

N°2 : Trouver la solution sans poser l’opération (mentalement)

Equations
Solution :

Réponses : - 3 ; - 1,5 ; 4/3 ; 1,2

Fin de l’activité.

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue (possédant dans un membre plusieurs termes ) ; on cherchera à ramener l’équation sous la forme «  a x = b  »

Exemple 1 : Résoudre l’équation :

On transpose (@) :	4 ( 2 x -3) + 7 - 6x - 5 + 3 ( 6 - 4x) = 0
On développe @:	8 x - 12 + 7 - 6 x - 5 + 18 - 12x = 0
On réduit @:	- 10 x + 8 = 0 (forme a x + b = 0 ; « a » = -10 et « b » = +8 )
Conclusion : Solution	x = 0,8

Cas où il y a des dénominateurs :

Exemple 2 :  Résoudre  l’équation  :

Procédure :

1° ) On effectue toutes les simplifications visibles à priori :

Réduction de termes semblables @

Suppression de termes identiques dans les deux membres : ( voir les égalités « ajouter l’opposé » @ )

Suppression d' un facteur commun à tous les termes (voir les égalités multiplier ou diviser par l’inverse) @ )

Calculs indiqués par des parenthèses (voir développer@ )

Etc : et voir « neutraliser un terme ou un facteur @ »

2°) chasser les dénominateurs, et les parenthèses s'il y en a , en effectuant les calculs indiqués par ces parenthèses.

3° ) On fait ensuite passer dans un des membres de l'équation tous les termes refermant l'inconnue et dans l'autre tous les termes connus et l'on opère la réduction des termes semblables . si l'équation est littérale on met l'inconnue en facteur commun. (modèle obtenu après toutes ces transformations : ax = b )

4°) Enfin on divise les deux membres de l'équation par le coefficient de l'inconnue.

on dit aussi : on divise le second membre par le coefficient de "x" , le résultat est la solution cherchée (sous réserve de la vérifier au cas où le dénominateur renfermait l'inconnue.

Procédure permettant de chasser les dénominateurs:

On a à transformer l'égalité

On veut une égalité équivalente: + =

On veut faire disparaître le dénominateur:

Il suffit de multiplier tous les termes par le nombre 7

+ =	Après calcul : on obtient l'égalité suivante: 3x + 10,5 = 14x

Exemples de résolutions :
	Résoudre :	Résolution
		Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».
		Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».
		Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».
		Faire la vérification : dans l’équation de départ il faut remplacer « x » par la valeur proposée , et vérifier si l’égalité est « vraie ».

CAS GENERAL:
Exemple A :
Résoudre : - + 8 = - +	Il faut faire disparaître les dénominateurs !
1°) réduire au même dénominateur: calcul du PPDC de 2;3;5;4;20 = 60	Calcul du PPDC appelé aussi PPCM	Réduire chaque terme au même dénominateur
2°) Transformer tous les termes : l’égalité de départ-+8 = -+ devient l’égalité équivalente : -+ = -+	Il faut Transformer l’égalité proposée par une égalité équivalente dont tous les termes ont le même dénominateur !.
3°) multiplier tous les termes par "60" ce qui revient à chasser le dénominateur "60" : l’égalité : -+ = -+ devient l’égalité équivalente :	Voir : les égalités « théorèmes »
4° )Réduire dans chaque membre: 1^er membre 2^ième membre donc l’égalité : devient l’égalité équivalente	Factoriser
On fait passer les "x" dans le premier membre et les termes connus (nombres) dans le deuxième membre. *un terme change de membre change de signe : "voir égalité" devient l'égalité :	Les égalités : « théorèmes »
On réduit : devient :	Factoriser « produit en croix »
Divisons les deux membres par "53":
Conclusion Vérification : On remplace dans le premier membre «  x » par la valeur « 3 » : Et l’on calcule : - + 8 = ; - ? ; On remplace dans le deuxième membre «   » par la valeur «  » : Et l’on calcule : -+= -+= ? Si les deux nombres sont égaux alors « x = 3 » est la solution !. ainsi :  ; on peut confirmer que «  »est la solution !

Exemple B
+ 8 = -
1°) réduire au même dénominateur: calcul du PPDC
2°) Transformer tous les termes + = -	SOS transformation en fractions équivalentes
+ = -
On multiplie tous les termes par "15": Ce qui revient à supprimer les dénominateurs.	SOS EGALTE
Suppression de parenthèses:	SOS développer
Faisons passer tous les termes en "x" dans le deuxième membre et les termes connus dans le premier membre.	SOS Factoriser
Conclusion : x = ;

Activités : Exercices : (@ en relation avec les pourcentages)
Trouver x = ? ( on dit « résoudre »)
3500
35
x
Calcul nécessitant une ou des transformations :
245 = 35000
168 = 2100

Soit l’égalité de la forme :	y = ( ) x
Calculez :
x = ( ) 2300
694,4 = ( ) 560
1126,7 = ( ) x

Soit l’égalité de la forme :	y = ( ) x
Calculez :
x = ( )2300		x =
486,75 = ( ) 590		x =
626,5= ( ) x		x =

EN RESUME , on retiendra la procédure suivante ; pour : Résoudre une équation du premier degré il faut :
CAS général (sans exemple)
	Il faut faire disparaître les dénominateurs !
1°) réduire au même dénominateur:	Calcul du PPDC appelé aussi PPCM	Réduire chaque terme au même dénominateur
2°) Transformer tous les termes :de l’égalité de départ en égalité équivalente dont tous les termes ont le m^me dénominateur :	Il faut Transformer l’égalité proposée par une égalité équivalente dont tous les termes ont le même dénominateur !.
3°) multiplier tous les termes par le PPDC ce qui revient à chasser le dénominateur	Voir : les égalités « théorèmes » Multiplier tous les termes par le PPDC,pour neutraliser les dénominateurs
4° ) Réduire dans chaque membre:	Factoriser
On fait passer les "x" dans le premier membre et les termes connus (nombres) dans le deuxième membre. *un terme change de membre change de signe : "voir égalité"	Les égalités : « théorèmes »
On réduit :	Factoriser « produit en croix »
On résout la forme « ax = b »
Conclusion x = b /a	Vérification : On remplace dans le premier membre «  x » par la valeur « b / a  » : On remplace dans le deuxième membre «  x » par la valeur « b /a » : Et l’on calcule : si les deux nombres sont égaux alors « x = b /a  » est la solution

ACTIVITES 2 :

1°) Résoudre l’équation d’inconnue « x » :

Solution :

- on calcule le plus petit dénominateur commun : résultat « 12 »

- on multiplie tous les termes de l’équation par « 12 »:

Après simplification, on obtient l’équation : 3 (3x +5) + 4 (2x -1) = 6 × 7 - (5x - 2)

- On développe ; on met sous la forme «  …..= 0 » : 9x + 15 + 8x - 4 = 42 -5 x+ 2

et on réduit  : 22x = 33

Solution : x = 1,5

2°) Résoudre l’équation :

Solution :

- on calcule le plus petit dénominateur commun : résultat « 10 »

- on multiplie tous les termes de l’équation par « 10 »:

Après simplification, on obtient l’équation : 4 (3y +4) + 10 (y -2) = 5(4y-3) - (7y - 8)

- On développe ; on met sous la forme «  …..= 0 » :

12y + 16 + 10y - 20 - 20y+15 + 7y- 8 = 0

et on réduit  : 9y +3 = 0

Solution : x = - (1/3)

. INTERDISCIPLINARITE:

Pour chaque cas « cliquer sur « » 

Equation type: ax = b ; 9 x = 45	Savoir résoudre
Electricité
Physique :
Mécanique (poids et masse)
Mouvement uniforme
Travail d'une force
Mouvement uniformément varié
Equation type ;	Savoir résoudre
Surface d'un triangle
Calcul d'intérêt simple
Densité d'un corps
Equation type ;	Savoir résoudre
Equilibre d'un levier
Roues et engrenages
Equilibre d'un treuil
Chimie :

Chimie :

L’atome : On donne l’écriture suivante : ₁₁²³ Na (qui symbolise l’atome de Sodium (natrium)), combien compte t- on de neutrons ?

TRAVAUX AUTO – FORMATIFS

CONTROLE :

Donner la procédure pour résoudre une équation du premier degré , comportant des parenthèses et des dénominateurs.

EVALUATION:

Devoir L le corrigé est dans le cours) Série 1 :

	Résoudre :	Résolution
1-a
1-b
1-c
1-d

Série 2 :	Résoudre :	Résolution
1-a
1-b
1-c
1-d

RESOUDRE LES EQUATIONS SUIVANTES:

Série N° 1

=

=

=

=

= 8

=2

Série N° 2

Série N° 3

Série N° 4

x = 12

5x =

x - 3 = 13

Série N° 5 Faire les calculs suivants : (en relation avec les pourcentages)
x = 3500		x =
x = 35		x =
2,45 = x		x =
Calcul nécessitant une ou des transformations :
245 = 35000	x =
168 = 2100	x =

Soit l’égalité de la forme :	y = ( ) x
Calculez :
x = ( ) 2300		x =
694,4 = ( ) 560		x =
1126,7 = ( ) x		x =

Soit l’égalité de la forme :	y = ( ) x
Calculez :
x = ( )2300		x =
486,75 = ( ) 590		x =
626,5= ( ) x		x =

Série N° 6

Série N° 7

- =

Série N°8 (corrigé dans le cours)

1°) Résoudre l’équation d’inconnue « x » :

2°) Résoudre l’équation :

Série 9 : Résoudre les équations suivantes

		Résultat			Résultat
5.			6.
7.			8.
9.			10.
11.			12.
13.			14.
15.			16.
17.			18.
19.			20.
21.			22.
23.			24.
25.			26.
27.			28.
29.			30.
31.			32.
33.			34.
35.			36.
37.			38.

Série 10 : Résoudre.

		Résultat			Résultat
39.			40.
41.			42.
43.			44.
45.			46.
47.			48.
49.			50.
51.			52.

Niveau BEP - BAC PROF :

1°) Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre « m » représentant un nombre connu, l’équation :

(corrigé dans le cours)

2°) Résoudre

a) Exercice n°1 : Résoudre l’équation

b) Exercice n°2 : Résoudre l’équation

ACTIVITE Niveau 3^e : (discipline «  géométrie » : @ les inégalités triangulaires)

Données :

ABC est un triangle dont les côtés ont pour mesure ( en cm).*

Dans lequel « x » représente un nombre strictement positif.

1°) faire la figure dans le cas où

Placer [ BC ] ; puis AB = « ……… » ; CA = « …….. ».

2°) Pouvez- vous dessiner le triangle quand «» ?

Commencer par calculer les côtés : AB = …….. ; CA = ……..

2°) Déterminer les valeurs de « x » pour lesquelles le triangle existe ( sans être aplati). Le triangle existe à condition que la longueur de chaque côté soit strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

 - AB < BC + CA se traduit par  ; en transposant on obtient

; c’est à dire «  ….»

- BC <CA + AB se traduit par 6 < ……………..  ; en transposant on obtient

 ; c’est à dire «  …. »

et en divisant les deux membres par « 5 » on obtient :

- AC < AB + BC se traduit par 2x +1 < …………….  ; en transposant on obtient

; c’est à dire

Ce qui est toujours vérifié puisque « x » est positif par hypothèse.

- En définitive le triangle existe quand et c’est à dire …

4°) Pour quelle valeur de « x »le périmètre du triangle est-il égal à 32 cm ?

5°) Pour quelle valeur de « x », le triangle est -il isocèle ?

- de base [ BC] ; AB = CA

- de base [ BC]

6°)

- Pour quelle valeur de « x » ; CA = 2 AB ?

- Pour quelle valeur de « x », CA = 2 BC ?

- Pour quelle valeur de « x » ; CA = AB ?

7°) Se peut -il que le double de AB soit égal au triple de AC diminué de la moitié de BC ?

CORRIGE Série 2 :

Série 2 :

	Résoudre :	Résolution
1-a	9x = 4,2	X = 7/15
1-b	7 x + 3,2 = 7,7	X= 9 / 14
1-c	3 ( 2x - 1) = 5 ( 6x + 4,2)	X = -1
1-d		X = 0,4

Corrige :On donne l’écriture suivante : ₁₁²³ Na (qui symbolise l’atome de Sodium (natrium)), combien compte t- on de neutrons ?

. «  23 » : représente la somme de protons ( p ) et de neutrons  ( n ) ; ainsi 23 = p + n ; puisque « p = 11 » ; 23 = p + n devient 23 = 11 + n ; on en déduit par calcul que n = 23 –11 soit n = 12 .

Conclusion, l’atome de sodium a 11 électrons en périphérie ; son noyau possède 11 protons et 12 neutrons.