Auteur :
WARME R. revu le 26 1104 Dossier : PROFESSEUR. d’un point à une droite
D’un point
à une droite. et d’un segment d’un angle. et |
||
NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
15/26 |
Vu : 17 / 10 /2003 A terminer. |
Titre : DISTANCE et MEDIATRICE
d'un segment et BISSECTRICE d'un
angle
DOSSIER N°15 INTERACTIF DISTANCE et MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE d'un angle . |
Information
« TRAVAUX d’auto - formation » |
OBJECTIFS : - Savoir construire
le projeté orthogonal d'un point sur une droite. - Savoir calculer
ou trouver graphiquement la mesure de la
distance (longueur comprise) entre deux points et d'un point à une droite. -
Savoir
construire à la règle et au compas la médiatrice d'un segment donné. -
Savoir
construire à la règle et au compas la bissectrice d'un angle donné . |
I ) Pré requis:
Lectures importantes : |
Cochez !! |
Conventions
d’ écriture et de symbolisation
utilisées en géométrie.. ( longueur ;
distance ;….d’un segment) |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
II )
ENVIRONNEMENT du dossier :
Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
|
III
) LECON
n° 15 :
DISTANCE et
MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE d'un angle .
Chapitres
:
|
|
IVI )Médiatrice d'un segment . |
|
|
|
IV) INFORMATIONS
« formation leçon » :
Travaux auto
- formation. |
|
Corrigé des travaux
auto - formation. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
TRAVAUX niveau VI et V |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
« Perpendiculaire » |
|
|
||||
« Distance » |
|
|
||||
« médiatrice » |
|
|
||||
« hauteur » et
« bissectrice » |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V )
DEVOIRS ( écrits):
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
|
Ÿ |
*
remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour
conclure une formation .
Leçon |
|
N°15 |
PERPENDICULAIRE - DISTANCE et
MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE
d'un angle . |
CHAPITRES
Info plus!!! Les tracés de perpendiculaires |
|
|
|
IVI
)Médiatrice d'un segment . |
|
|
|
COURS |
Pré requis 1: longueur d'un segment. On se contentera de la définition
suivante :On appelle "longueur d’un segment " la dimension
d'un morceau de droite mesurée avec une
règle graduée ( la mesure se fait
de l’ une à l' autre de ses extrémités).
(l'unité de
longueur est le « mètre » ou un de ces multiples ou sous multiples)
Pré requis 2 : Projection orthogonale d’un
point :
d Si ( D) est
perpendiculaire à "d"
et si MM' est parallèle à "d"
alors M ' est le projeté orthogonal de
M sur la droite ( D) . |
|
Pré
requis : i lire sur C d : la perpendiculaire.
Perpendiculaire : par définition
Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle
« droit ». ( = 90°
ou 100 gr.)
Exemple :
La droite passant
par les points M M' est
perpendiculaire à la droite ( D)
. parce qu ’ : Les 90 ° sont à mesurer avec un rapporteur . |
Le petit « carré » symbolise l’angle droit |
On
demande : A l'aide d'une équerre ;
- Tracer une perpendiculaire à la droite (D)
et passant par le point "M" . Cette
droite coupe (D) au point M' .
- Tracer
une droite passant par N appartenant à ( D)
Le point M ’ doit se trouver sur la droite D |
On dit que : M ' est le projeté orthogonal de M sur
( D)
(info
plus sur C d !!sur le projeté orthogonal d'une
point )
a) Définition
de la « distance entre deux points » : ( @ activité primaire)
par
définition
On dira que la distance entre deux
points est égale à la longueur d'un segment de droite ayant pour origine et
extrémité ces deux points .
b)
Définition de la « distance entre un point et une
droite » :
par
définition : La
distance entre un point et une droite est celle que l'on mesure sur le segment
de droite porté par la projection
orthogonale.
Cela induit que cette distance est la longueur la plus courte qui existe entre le
point M et sa projeté M'. Dans
tous les cas : long [MN] > long [MM'] Ce
segment MM’ a pour bornes ,le point extérieur à la
droite et l' "image" de ce point située sur la droite . |
|
iInfo : Ce « savoir » est à
réutiliser et réinvestir pour construire deux droites parallèles , et pour
tracer une tangente à un cercle.
i Comparaison de distances :
On
compare les distances avec le compas : on remarque que d(
NN') < d ( MM') Remarque importante ! « On compare des
distances » et « l'on mesure des longueurs. »! |
|
La longueur qui détermine la
distance sera mesurée avec une règle graduée .
|
La hauteur est une droite
tracée perpendiculairement à une droite
donnée , passant par un point donnée.
Dans un triangle ; la hauteur est un segment de droite qui joint un point perpendiculaire au côté
opposé à ce point..
|
IV
) MEDIATRICE D’UN SEGMENT . |
a)
Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire en son milieu .
Remarque :
Chaque point de la médiatrice est à
égale des extrémités du segment .
Exemple : sur la figure ci dessous la droite (d) est perpendiculaire au segment
AB , cette droite coupe le segment en ( I ) milieu du [AB] ; on en conclut que (d) est médiatrice du
segment AB.
b)
Construction d’un médiatrice :
Pour
construire la médiatrice ( M N) d'un segment [AB] à la règle et au compas , il faut donner au compas une
ouverture supérieure à la demi- longueur AB . |
|
iInfo : Applications cliquer ici : tracer les
médiatrices d’un triangle ;ou
, recherche
du centre d’un cercle ou disque .
a)
définition :
Une bissectrice
est une 1/2 droite qui part du
sommet d'un angle et qui coupe cet angle en deux parties égales. Elle
partage l'angle en deux angles de même mesure . |
|
b) Construction de la bissectrice d'un angle:
( Info C d
plus sur les constructions!!!)
Soit un angle formé par les deux
demi-droites : [O y) et [O x) . 1°) Tracer un arc de cercle de centre "O" coupant [O y) en B et [O x) en A. 2°) tracer un arc de cercle (2) de
centre "B" . 3°) tracer un arc de cercle (3) de
centre "A" . les deux arcs se coupant en C. 4°) tracer une droite d'origine
"O" et passant par "C" . |
|
|
|
||
Définition
: Une médiane est une droite issue d’un point (sommet d’un angle) et qui joint le
milieu d’un segment. Le point
"G" se trouve toujours au 2/3
de la longueur de la médiane en partant de chaque sommet. (ce qu'il faut
démontrer !!!) (ATTENTION : sur la
figure ci-contre A', B' et C' ne sont pas exactement au milieu des segments). |
|
||
Leçon |
TRAVAUX d ’ AUTO -
FORMATION sur |
N°15 |
DISTANCE et MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE d'un angle . |
°) Quand
dit-on que deux droites sont perpendiculaires ?
2°) A
quoi est égale la distance entre deux points ?
3°) Par définition
: qu' appelle - t- on « distance
d'un point à une droite » ? ; Qu'est ce que cela implique ?
4°);
Donner la définition d'une "médiatrice" .
5°)
Donner la définition d’une "
bissectrice" ?
6°)
Donnez la définition de la « hauteur » .
7°)
Donnez la définition de la
« médiane » .
Appliqué
au triangle.
8°) Qu '
est ce qu'une "médiatrice" ? ( précisez le trait
est une droite , demi droite , segment
, en prenant comme figure géométrique le triangle )
9°)
Qu'est ce qu'une " bissectrice" ? ( précisez le trait
est une droite , demi droite , segment
, en prenant comme figure géométrique le triangle )
10°)
Qu'est ce qu'une " hauteur " ? ( précisez le trait
est une droite , demi droite , segment
, en prenant comme figure géométrique le triangle )
11°)
Qu'est ce qu'une " médiane
" ? ( précisez le
trait est une droite , demi droite ,
segment , en prenant comme figure
géométrique le triangle )
A) Projetée orthogonale
1°) Sur la
droite "d" , les deux points A
et B sont distants de 5 cm .
Déterminer
la longueur de [ A' ; B '] , projeté orthogonale sur (D ) de [A B] |
|
Même
question avec des angles de 30° ; 60 °
et 90°
( ce
travail sera exploité par "Thalès" et en
trigonométrie "tangente")
2°)
Projection orthogonale d'un segment sur une droite :
a) Reproduire la figure . Construire A' et
B' , projetés orthogonaux de A et B respectivement sur ( D) ,
et tracer [ A ' B' ] : le segment [ A '
B' ] est le projeté orthogonal du segment [A B] .
b) Placer
le point M , milieu de [A B] et
construire M' son projeté orthogonal
sur ( D ) . Quelle est la position de M' sur [ A ' B' ]
|
|
Idem :
|
|
Idem :
|
|
B
) Distance :
1°) tracer
une droite ( D ) et placer un point distant de 5 cm de ( D)
.
2°) sur une
carte au 1 / 100 000 on trouve quatre
villes A ; B ; C et D .
A
l'aide du compas seulement , classer les
distances AB ; BC ; BD ; AC ; AD et CD dans l'ordre décroisant .
Médiatrice :
2°)
Construire à la règle et au compas la
médiatrice d'un segment de droite de
7,5 cm de longueur .
3°)Placer 3
points non alignés A , B et C tels que :
AB = 3 cm ; BC = 4 cm et = 120° .
Construire
la médiatrice du segment AB puis celle du segment BC ; elles se coupent en un
point " I " .
Tracer le
cercle de centre "I" et de rayon " I A " .
Que
constate - t- on ? Justifier la réponse .
4°) On
donne un point "B" Construire
une droite (d) dont la distance de "B" est de 2,5 cm.
Bissectrice .
Tracer la
bissectrice de l'angle .
1°)
Distance de deux droites
parallèles :
On donne
deux droites parallèles distinctes ( D )
et ( D') . Placer un point "M" sur
( D) et tracer la perpendiculaire à ( D ' ) passant par M ;elle coupe ( D ' ) en M'
; M' étant le projeté orthogonal de M sur ( D') . La distance de ( D) à ( D') est égale
à la distance de M à M' ( longueur du
segment [ M M '] ; mesurer cette distance
et vérifier que :
-
le projeté orthogonal de M'
sur ( D) est le point M ;
-
la distance trouvée ne dépend pas du point M choisi .
2°) Construire deux droites
parallèles situées à 5 cm l'une de
l'autre .
pour cela :
-
Tracer une droite ( D).
-
Tracer une droite (d) perpendiculaire à ( D) qui coupe ( D)
en "H" . ( utiliser l'équerre)
-
Placer sur (d) le point "M" situé à 5 cm de "H" . (
il y a deux solutions )
-
Tracer la droite ( D') perpendiculaire à ( d ) et passant
par M .
3°) Construire à la règle et au compas
la médiatrice ( D) d'un segment AB de 6
cm de longueur . Soit "F" le point d'intersection de ( D) et de [ A B ] .
Placer sur la médiatrice deux points C et D situés de part et d'autre de F tels que F
soit le milieu de [ C D ] . Que
représente la droite ( AB) pour le segment [ CD] . Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ?
4°) Placer trois points A , B et C tels que
AB = 5 cm , BC = 6 cm , AC = 7 cm. Construire la médiatrice
du segment [ AC] puis celle du segment
BC . Elles se coupent en O .
Tracer le cercle de centre
"O" et de rayon OA . Les points B et C appartiennent - ils au
cercle ? Justifier la réponse .
Vérifier
que la médiatrice du segment AB passe
par le point I .