Auteur : WARME R.

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Titre

N°16

L ' axe de symétrie  et   SYMETRIE CENTRALE ; « orthogonalité » , « centre de symétrie »  et SYMETRIE ORTHOGONALE

CHAPITRES :

I ) Axes de symétrie d'une figure

Info plus !!!!

II ) C entre de symétrie

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III ) Symétrie centrale

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IV ) Orthogonalité

Info plus !!!

V ) Symétrie orthogonale

Info plus !!!!

COURS

Préambule :

Ne pas confondre symétrie centrale et symétrie  orthogonale

Symétrie centrale :

Le point est centre de symétrie.

Symétrie  orthogonale :

La droite qui sépare les figures est axe de symétrie.

F

F’

Imaginer la figure F liée au centre ;

 F’ est la position de F après une rotation de 180° , ( penser au manège)

Reproduire avec une feuille de  calque et constater qu’après pliage ( suivre       l’axe  de symétrie ) et remarquer que  les deux figures se superposent .

i9  

I ) LES AXES DE SYMETRIE

Info plus sur les axes de  symétrie !!!!

Par définition :       la bissectrice   et  la médiatrice sont appelées aussi : « axe de symétrie » :

uLa bissectrice est l' axe de symétrie d'un angle

v   La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment .

w Lorsqu'une figure est conservée par une  symétrie orthogonale d ' axe (  D ) , elle admet cette droite ( D )  comme axe de symétrie .

² On dira  que :

Dans une symétrie orthogonale par rapport à une droite « delta » , la droite « delta » est appelée « axe de symétrie »

Activité : Joignez  les points pour obtenir le « symétrique : F’ »  de la figure « F » .

i9

II  ) LE CENTRE DE SYMETRIE

Info plus +++

u centre de symétrie entre deux points :

—Activité :    Avec une règle  tracer une droite passant par M et O .

a) Mesurer la distance [MO] avec un compas .

b) Reporter le point "N" tel que "O" soit le milieu du segment [MN].

Commentaire :

On dit que les deux points  M et N sont symétriques par rapport au point O lorsque le point O est le milieu du segment [MN].

        Résultat : Le point "O" est le centre de symétrie ; le point "N" est l ' image  du point     " M"  dans la symétrie de centre "O" .

vLe centre de symétrie  de figures géométriques :

Cercle :

le centre du cercle  est centre de symétrie

Le polygone régulier :

le centre du cercle est centre de symétrie du polygone.

Parallélogramme ( et losange –rectangle- carré) . Le point de rencontre des diagonales est centre de symétrie.

w le centre de symétrie d’une figure quelconque « F ».

« O » est le centre de symétrie ; observer la figure , et constater  qu‘il faut décomposer la ligne en une « infinité » de points qui font individuellement  l’objet  d’une symétrie centrale  .

i9

III ) TRACES des  éléments de   base en SYMETRIE CENTRALE.

:i

1°)  Savoir tracer le symétrique d’un point par rapport à un autre point .

Activité :    Construire  « P »,  le symétrique de M par rapport à "O"

Procédure :  tracer une droite passant par   M et 0  .  Avec un compas , prendre l’écartement   de  O à M   , conserver la  pointe  en 0  et tracer  un trait  coupant la droite , à l’opposé de M , pour obtenir le point P  ; tel que le point "O" soit le milieu du segment MP.

2°  ) Savoir construire le symétrique du segment AC , noté  [AC ] par rapport à "O".

Procédure  :

-               Construire le point  "A '  "  avec la règle et le compas  ; tel que le point "O" soit le milieu du segment A A '. 

-                   Construire le point  "C '  "  avec la règle et le compas  ; tel que le point "O" soit le milieu du segment CC '.

-                   Tracer le segment   A ' C ' . ( noté  [A’C ’]  )

On dira que : le segment [A ' C ' ]  est appelé le symétrique du segment [A  C ]

l

Remarque : si le point B appartient  au segment AC ; on remarquera que le point B’  appartient  au segment A’ C’  . L’alignement des points est conservée .

Activité : tracer le symétrique  de [ AB ]  par rapport au point O .

? Vérification :   On peut vérifier  qu’il y a parallélisme entre les segments et qu’ils sont de même longueur  :

Il faut vérifier que [A ' C' ] est parallèle à [A  C ] .

Rappel de 2 méthodes  qui permettent  de vérifier si deux côté sont parallèles  :

i 1 :   si  C , A  , C’, A’  forment un parallélogramme  , le point « O » est le point  d’intersection des diagonales , elles se coupent en leur milieu . On vérifie si  A O  =  OA’ et si CO = O’ C’

i 2 :  Méthode : Un bord de  l'équerre coïncide  avec la droite " d ₁"; On fait glisser l'équerre sur la règle (qui conserve une direction fixe ) en passant de (1)  à la position ( 2).

Les droites "d₁" et " d₂" matérialisées par le bord de l' équerre sont parallèles si  la droite " d ₂" coïncide avec  le bord de l'équerre .

et l’on vérifie avec le compas que les longueurs  A'C' et AC sont égales.

Puisque  dans un parallélogramme  les côtés doivent être  parallèles et égaux deux à deux  , on  vérifiera que  les côté A C’ et  C A’  sont // et de même longueur .

·  Pour faire  la symétrie centrale d’une droite  on fait la symétrie d’un de ses segments :   

A  _   :    la symétrie de la droite ( A C ) , droite portant le segment AC , est la droite ( A ' C ' )  , droite portant le segment A' C' .

3 ° )  Savoir construire le symétrique de  l'angle    par rapport à un point :  ( voir CD )

·     Le point A ’ et les demi - droites   y’ A’ et  x’ A’  forment   le symétrique  de  l’angle de sommet A  par rapport au point q   .

Procédure  : On nomme 3 points :  le sommet "B" et l'on place un point  " A" et "C" sur chaque demi - droite . (pour former  l'angle  ) . Le point « O » étant le centre de la symétrie.

- Construire le point  "A '  "  avec la règle et le compas  ; tel que le point "O" soit le milieu du segment A A '. 

-          Construire le point  "B '  "  avec la règle et le compas  ; tel que le point "O" soit le milieu du segment B B '.

-          Tracer le segment A'B' .

-          Construire le point  "C '  "  avec la règle et le compas  ; tel que le point "O" soit le milieu du segment C C '.

- tracer le segment B'C'

·  On dira que : le segment [B' A'  ]  est appelé le symétrique du segment [A  B ] , On dira que : le segment [B' C'  ]  est appelé le symétrique du segment [BC ] .

Les deux segments  [B' A' ]    et [B' C' ]   ont un point commun B' , ils forment l'angle   .

·Vérification :    Il faut vérifier , à l'aide du compas , que les angles  et  sont égaux.

Vérification de l' égalité des deux angles  trois solutions immédiates sont possibles :

j soit par mesure à l’aide du  rapporteur .

k soit par comparaison  à l’aide d’un transparent ou calque :

lsoit par comparaison  avec un compas.

—    Rappel  de la méthode du compas :

On trace les arcs de cercle ( 1) et ( 2) de centre B et B' respectivement de même rayon .

On règle l'ouverture du compas AC ; en conservant  la même ouverture , on déplace le compas sur A'C' . Si  AC = A'C' , les deux angles ont la même mesure.

4° )  Savoir construire le symétrique du polygone à trois côtés ( triangle)    par rapport à  un point   "O".( voir Cd)

la  procédure utilisée pour construire la symétrie de l’angle est la même que celle qu’il faut mettre en œuvre pour le triangle : Il faut faire la symétrie de chaque point (sommet) et joindre à la règle ces points .

          Application :  On construit les points A' ; B' et C' symétriques de A ; B et C  par rapport à "O" et l ’ on trace  le triangle A' B'C'

—On dit aussi que l’on fait le symétrique de chaque  segment  , qui compose la figure .

Activité : tracer le triangle A ‘ B ‘ C ‘  en symétrie  centrale par rapport au point O .

N !   On vérifiera  à l'aide du compas  que les longueurs et les  mesures des angles sont conservées dans la symétrie .

5°  ) Construire le symétrique du cercle   par rapport à "O"  ( voir CD )

Procédure :

 Construire les points A' , B' C' et N' , symétriques de A,B,C et N respectivement par rapport à "O" . Tracer le cercle ( C ) de centre N' et de rayon N'A' .

On peut constater que ce cercle passe aussi par les points  B' et C' .

On peut ajouter d’autres points !

Pour construire le symétrique d'un cercle il suffit de construire le symétrique du centre et celui d'un point quelconque du cercle  par rapport à zéro . Alors avec un compas on trace le cercle symétrique de rayon   R  =  R ’ =  OA = OB ; ……

Après avoir observé les tracés  précédents   :

On retiendra  :

Par une symétrie centrale de centre  "O" :

-         l'image d'un segment est un segment parallèle  et de même longueur .

-         l'image d'un angle est un angle  de même mesure .

-         l'image d'un polygone est un polygone de mêmes dimensions.

-         L'image d'un cercle est une cercle de même rayon .

La  symétrie centrale conserve les longueurs et les angles .

i9   

IV) ORTHOGONALITE :  (symbole : ^ )

Info plus !sur   l ’ orthogonalité!!

Définition :

Quels que soient la droite D et le point  A  ,non situé sur « D » , il existe dans le plan défini par « A » et « D » une droite D et une seule contenant le point « A » et elle est  dite « orthogonale » à la droite « D » .

Remarque : Deux droites orthogonales coplanaires  ( dans un même plan ) sont dites perpendiculaires.

Par M , on trace une perpendiculaire  à D avec une équerre .

Si M ’ est  la projection  orthogonale de M  alors la droite passant par MM’ est perpendiculaire à la droite D

 i9 distance d’un point à une droite .

IV ) ) TRACES des  éléments de   base en    SYMETRIE ORTHOGONALE

:i Info plus !sur la symétrie orthogonale!!!

1 ° ) Savoir  construire la symétrie orthogonale d’un point :

activité : Placer un point  "A"   à une distance de  3,5 cm de la droite ( D) et Construire le symétrique orthogonal  "A'  "  par rapport à ( D ) .

Procédure :

-          Tracer  une  demi droite perpendiculaire à  D  , placer le point A.

-          Prolonger la demi droite et placer au compas le points A’ , symétrique de A , tel que O soit le milieu du segment   [ A  A’ ].

	O

 

De ce côté de  « D » placer  sur la demi droite  le point A  à  3,5 cm de D

De ce côté placer le point A’

deux points  A et A' sont symétriques par rapport à la droite ( D ) lorsque la droite ( D ) est médiatrice du segment  [ A A ']

La droite ( D) est l'axe de symétrie , le point A' est l'image de  A  dans la symétrie orthogonale d ' axe  ( D ) .

2° ) Savoir construire le symétrique du segment AB par rapport  à la droite  ( D ) .

2 - 1 le segment n’est pas sécant à l’axe :

-          Construire A'  , symétrique  de A  par rapport  à ( D ) :

 Tracer une droite (d )  perpendiculaire à ( D ) passant par A , relever  la distance de A à la droite (D) avec un compas , reporter cette distance sur la droite (D) ( de l'autre côté de D ) le point A' obtenu est le symétrique orthogonale  de A  par rapport à ( D) .

-          Construire  B'  , symétrique de B par rapport  à ( D ) :

Tracer une droite (d )  perpendiculaire à ( D ) passant par B , relever  la distance de B à la droite (D) avec un compas , reporter cette distance sur la droite (D) ( de l'autre côté de D ) le point B ' obtenu est le symétrique orthogonale  de B  par rapport à ( D) .

-          Joindre les deux points A'B'  :  Le segment A'B' est le symétrique du segment AB par rapport à ( D ) .

Activité :   Construire le symétrique  A’ B’  du segment  A B .

A  _ :  la symétrie de la droite ( A B ) par , droite portant le segment AB , est la droite ( A ' B ' )  , droite portant le segment A' B ' .

2 - 2 ) le segment  coupe  l’axe :

Construire A' symétrique de A par rapport à  ( D ) puis B' , symétrique de "B" par rapport  à ( D ) . Le segment A'B'  est le symétrique du segment AB par rapport à ( D).

—  On remarque que le symétrique  de C  ; C' sont superposés .

N !  On vérifiera   que les longueurs A'B' et AB sont égales et que les segments   A'B' et A B se correspondent par pliage suivant la droite ( D ) .

	D
			D ’

 

2 - 3 )  le segment  ( D )  est perpendiculaire  à   l’axe  delta ( D ) :

Procédure : on détermine des bornes ( 2  points nommés ) et l’on trace la symétrie orthogonale de chaque point ; on trace ,pour conclure, une droite passant ces bornes symétriques.

.

 —  On remarque que le symétrique  de C  ; C' sont superposés .

N !  On vérifiera que  la perpendicularité est conservée .

3° )Savoir Construire le symétrique de deux droites sécantes  (angle ) par rapport  à la droite  ( D )  ( Info :voir / O)

—  exemple : l’angle   et l’angle   sont en symétrie orthogonale par rapport à la droite.

— Activité :   tracer l’angle   en symétrie orthogonale de l ‘ angle par rapport à la droite D.

Cela revient  à construire [ A' B'] et [ B' C'] , symétriques de [AB]  et [BC] par rapport à ( D)

On comparera, à l'aide d'un compas, les angles.

N ! Il faut vérifier , à l'aide du compas , que les angles  et  sont égaux.

Vérification de l' égalité des deux angles  trois solutions immédiates sont possibles :

j soit par mesure à l’aide du  rapporteur .

k soit par comparaison  à l’aide d’un transparent ou calque :

lsoit par comparaison  avec un compas.

—    Rappel  de la méthode du compas :

On trace les arcs de cercle ( 1) et ( 2) de centre B et B' respectivement de même rayon .

On règle l'ouverture du compas AC ; en

conservant  la même ouverture , on déplace le compas sur A'C' . Si  AC = A'C' , les deux angles ont la même mesure.

—       Si le tracé  est effectué sur un transparent ( ou calque)  , on peut aussi faire la vérification par pliage suivant  la droite ( D ) , les figures se superposent .

4°)Savoir construire le symétrique de  deux  droites  parallèles par rapport  à la droite  ( D )

nous avons vu que A  _   :    « la symétrie d ’ une  droite ( D ) , droite portant un segment [   ], est la droite ( D ' )  , droite portant un segment [ ’ ’ ]’ .

Ce qui est vrai pour une droite  est vrai pour une deuxième droite , quelque soit la position entre ces deux droites .

Procédure : On  tracera deux points appartenant à chaque droite , pour obtenir  deux segments . On fera ensuite , la symétrie orthogonale des bornes de  chaque segment .

Il n’y aura plus qu’a tracer les deux  droites passant par ces bornes 

.(on vérifiera que  le parallélisme est conservé)

« SYMETRIQUES ORTHOGONALES DE FIGURES. »

5° ) Savoir construire le symétrique du cercle  par rapport  à la droite  ( D )

— exemple :

On construit le symétrique du centre et celui du point du cercle par rapport à la droite  ( D ).

Construire les points  A’ , B’ , C’ et N’ , respectivement symétriques  de A , B , C et N par rapport à la droite ( D).

Construire le cercle de centre N’ et de rayon  N’ A ‘ .

On constatera que  le cercle  passe aussi par les points  B’ et C’ .

6° ) Savoir construire le symétrique  orthogonal  d ’ une ligne courbe

—  pour faire la symétrie d’une ligne courbe , il faudra rechercher le centre de chaque arc de cercle s’il existe  , autrement il faudra faire la symétrie d’un très grand nombre de points  rapprochés et choisis sur cette courbe .

exemple : vu au début du cours 

7 °) Savoir construire le symétrique du « polygone »  par rapport  à la droite  ( D ) .

Rappel de la définition d’un polygone : Un polygone est une portion de plan limitée par une ligne brisée fermée.

—Les polygones usuels sont le triangle , le rectangle , le carré , le trapèze , le losange .

—  Procédure  à utiliser   pour effectuer la symétrie orthogonale d’un polygone :

-          Nommer chaque extrémité de segment ( toutes)  ou ( tous les sommets d’angle) , et centre d’arc de cercle (s’il existe) par une lettre  différente .(pour ce marquage il est conseillé de tourner toujours dans le même sens , par exemple le sens des aiguilles d ‘ une montre )

-          Construire  le symétrique de tous les points .

-          Joindre chaque point par une ligne  droite ou courbe , suivant le cas.

Attention de bien  suivre l’ordre des points ! ! ! !

En  procédant ainsi on a  construit le symétrique de chaque côté de la figure  par rapport à la droite ( D ).

7 - 1   le polygone est un triangle .

Activité :  construire le symétrique orthogonal  du triangle ABC par rapport à la droite D .

Procédure : Construire les points  A’ , B’  et C ‘   , respectivement symétriques de A ; B et C  par rapport  à la droite ( D).

Joindre les points A ‘ , B’ et C’ .

N !On vérifiera  , à l’aide d’un compas , que les longueurs  des côtés  et les mesures des angles sont conservées dans la symétrie .

7 - 2   le polygone est un carré :

Procédure : On construit les points  A ' B' C' et D' , respectivement symétriques de A , B , C  et D .et l'on joint  les points .

· L’ordre des tracés des points  n’est pas important , mais il faut prendre garde  de ne pas joindre  B’ et D ’  ainsi que  C’ et A’

Activité : construire le symétrique du polygone  par rapport  à une droite  ou axe .( d )

7 - 3   le polygone est un rectangle :

Procédure : On construit les points  A ' B'  C' et D' , respectivement symétriques de A , B , C  et D .et l'on joint  les points .

L’ordre des tracés des points  n’est pas important , mais il faut prendre garde  de ne pas joindre  B’ et D’  ainsi que  C’ et A’

8 °)Savoir construire ( tracer ) une figure quelconque :

Exemple : ci dessous   F’  est  la symétrie orthogonale de la figure F  par rapport à une droite « delta » .

Remarquez  que le choix des points sur F  doit être réfléchi  .

·   L’image de « F » dans la symétrie orthogonale par rapport a « delta » est une figure « F’ » constituée par l’ensemble des points qui sont les symétriques des points de « F ».

·  Sur le dessin ci-dessus , on a choisi quelques points de « F » et on a déterminé leurs images .En  imaginant que l’on fait la même chose pour tous les points de « F » ,on peut compléter la figure « F’ » .

REMARQUES :

·  Dans une symétrie orthogonale  chaque point « une  Figure » et  « son  image » sont  superposables  ( par pliage) .

Ce qui signifie que dans une symétrie orthogonale la figure et son image ont donc même forme et mêmes dimensions.

i Ce constat étant fait ,  la leçon suivante portera sur les propriétés de la   symétrie centrale et  sur les propriétés de la symétrie orthogonale .

Leçon

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

N°16

LES SYMETRIES

·«  AXE de symétrie »  et   SYMETRIE CENTRALE ;

· « ORTHOGONALITE  » ,

· « CENTRE de symétrie »  et SYMETRIE ORTHOGONALE .

1°) Nommer 2 droites qui sont "axe  de symétrie" .précisez ?

2°)Compléter les phrases suivantes :

Par une symétrie centrale de ………….  "O" :

-          l'image d'un segment est ………………………………………. .

-          l'image d'un angle est …………………………….. .

-          l'image d'un polygone est ……………………………………...

-          L'image d'un cercle est ……………………………………….. .

La  symétrie centrale conserve ………………………………….. .

3°)Compléter les phrases suivantes :

Par une symétrie orthogonale ……………. ( D ) :

-          l'image d'un segment est ……………………………………… .

-          l'image d'un angle est un ……………………………………… .

-          l'image d'un polygone est ……………………………………….

-          L'image d'un cercle est ………………………………………… .

La  symétrie orthogonale  conserve ……………………………….. .

A)         Symétrie centrale :

1°) construire le symétrique de M par rapport à "O"

2°) construire le symétrique du segment AB  par rapport à "O"

3°) Construire le symétrique de  l'angle    par rapport à "O"

4°) construire le symétrique du polygone ( triangle)    par rapport à "O"

5°) construire le symétrique du cercle   par rapport à "O"

6°) tracer un segment [ A B ]  de  7 cm de longueur et placer un point O à une distance de 4 cm de la droite ( AB ) . Construire le symétrique  [ A' B' ] du segment AB par rapport à O . vérifier que le symétrique du milieu "N"  du segment AB  est le milieu N'  de  [ A' B '] . On dit que la symétrie  centrale conserve le milieu .

7°)

Tracé : dessiner cette figure sur une feuille  ( prendre une feuille de calque)

Dessiner avec la règle et le compas la symétrie de la figure ci-contre  de centre S .

Suite sur le CD :  pour en faire plus !!!!!

Symétrie centrale  ( cours 1)

Evaluation 2

Symétrie centrale   (cours 2 )

Evaluation 3

B ) Symétrie orthogonale :

1°)   Construire le symétrique orthogonal du point M , N et P .

2°)  Construire le  symétrique orthogonale du  segment AB  , par rapport à la droite ( D ) .

3°)    Construire le  symétrique orthogonale du  segment AB  , par rapport à la droite ( D ) .

3° )   Construire le  symétrique orthogonale du  segment AB  , par rapport à la droite ( D ) .

4°)Construire  les symétriques des droites ( d ₁ ) et ( d₂ ) parallèles par rapport  à la droite  ( D) .

Dessiner la figure ci-dessous  dans la symétrie orthogonale d’axe  « delta » . Pour cela il faut déterminer l’image de certains points .

Laisser  les droites perpendiculaires à « delta » apparentes

Synthèse  COMPOSITION de deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires.

  xx’  et yy’ sont deux droites perpendiculaires sécantes en « O ».Dessiner l’image F’ de la figure  « F » dans la symétrie orthogonale d’axe x’x  puis l’image « F’’ » de la figure « F’ » dans la symétrie orthogonale d’axe yy’ .

INTERDISCIPLINARITE   Les symétries et applications .

1°) Tracer , s'ils existent , les axes de symétrie  de la  carte , ci - dessous : ( il ne faut pas tenir compte des chiffres )

2°) Tracer , s'ils existent , les axes de symétrie  de la  carte , ci - dessous : ( il ne faut pas tenir compte des chiffres )

3°) Laquelle des droites  ( d₁) , d₂) et (d₃) n'est pas axe de symétrie de la pièce ci - dessous ?

4°)Le dessin du boulon ci- dessous admet-il un  ( ou plusieurs ) axe (s) de symétrie ? et l'écrou seul ?

Expliquer pourquoi certains véhicules portent à l'avant  l'inscription :

6°) Le triangle ABC est isocèle . Peut - on dire que la médiatrice du côté  AB est axe de symétrie  du triangle ?

Faire une figure . Prendre AB = AC = 5cm et  BC = 7 cm .

7°)    Laquelle des droites  ( d₁) , d₂) , (d₃) et ( d₄) n'est pas axe de symétrie du rectangle  ci - contre  ?

Si vous voulez plus d’exercices : CD 

Cliquer ici .

Regardez :

Tracer la symétrie orthogonale

Regarder :

 Tracer la symétrie centrale de chaque figure , par rapport à « O »  :                                      

Info :  identifier   les axes de symétrie