Auteur :
WARME R. revu le 26 1104 d’un point à une droite
D’un point
à une droite. et d’un segment d’un angle. et |
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
15/26 |
Vu : 17 / 10 /2003 A terminer. |
Titre : DISTANCE et MEDIATRICE
d'un segment et BISSECTRICE d'un
angle
DOSSIER N°15 INTERACTIF DISTANCE et MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE d'un angle
. |
Information
« TRAVAUX d’auto - formation » |
OBJECTIFS : - Savoir construire
le projeté orthogonal d'un point sur une droite. - Savoir calculer
ou trouver graphiquement la mesure de la
distance (longueur comprise) entre deux points et d'un point à une droite. -
Savoir
construire à la règle et au compas la médiatrice d'un segment donné. -
Savoir
construire à la règle et au compas la bissectrice d'un angle donné . |
I ) Pré requis:
Lectures importantes : |
Cochez !! |
Conventions
d’ écriture
et de symbolisation utilisées en géométrie.. ( longueur ; distance ;….d’un segment) |
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II )
ENVIRONNEMENT du dossier :
Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
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III ) LECON
n° 15 :
DISTANCE et
MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE d'un angle .
Chapitres
:
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IVI )Médiatrice d'un segment . |
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IV) INFORMATIONS
« formation leçon » :
Travaux auto
- formation. |
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Corrigé des travaux
auto - formation. |
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TRAVAUX niveau VI et V |
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« Perpendiculaire » |
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« Distance » |
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« médiatrice » |
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« hauteur » « médiane » et « bissectrice » |
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V ) DEVOIRS ( écrits):
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remédiation : ces documents peuvent être réutilisés (
tout ou partie) pour conclure une formation .
Leçon |
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N°15 |
PERPENDICULAIRE - DISTANCE - HAUTEUR et MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE d'un angle - MEDIANE. |
CHAPITRES
Info plus!!! Les tracés de perpendiculaires |
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IVI )Médiatrice d'un segment . |
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COURS |
Pré requis 1: longueur d'un segment. On se contentera de la définition
suivante :On
appelle "longueur d’un segment " la dimension d'un morceau de
droite mesurée avec une règle
graduée ( la mesure se fait de l’ une à l' autre de ses extrémités).
(l'unité de longueur est le « mètre » ou un de ces
multiples ou sous multiples)
Pré requis 2 : Projection orthogonale d’un
point :
d Si ( D) est perpendiculaire à "d"
et si MM' est parallèle à "d"
alors M ' est
le projeté orthogonal de M sur la droite ( D) . |
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Pré
requis : i lire sur C d : la perpendiculaire.
Perpendiculaire : par
définition
Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle
« droit ». ( = 90° ou 100 gr.)
Exemple :
La droite passant
par les points M M'
est perpendiculaire à la droite
( D) . parce qu ’ : Les 90 ° sont à mesurer avec un rapporteur . |
Le petit « carré » symbolise l’angle droit |
On
demande : A l'aide d'une équerre ;
- Tracer une perpendiculaire à la droite (D)
et passant par le point "M" . Cette droite coupe (D) au point M' .
- Tracer
une droite passant par N appartenant à ( D)
Le point M ’ doit se trouver sur la droite D |
On dit que : M ' est le projeté
orthogonal de M sur ( D)
(info plus sur C d !!sur le projeté orthogonal d'une
point )
a) Définition
de la « distance entre deux points » : ( @ activité
primaire)
par définition
On dira que la distance entre deux
points est égale à la longueur d'un segment de droite ayant pour origine et
extrémité ces deux points .
b)
Définition de la « distance entre un point et une
droite » :
par définition : La distance entre un point et une
droite est celle que l'on mesure sur le segment de droite porté par la projection orthogonale.
Cela induit que cette distance est la longueur la plus courte qui existe entre le
point M et sa projeté M'. Dans
tous les cas : long [MN] > long [MM'] Ce
segment MM’ a pour bornes ,le
point extérieur à la droite et l'
"image" de ce point
située sur la droite . |
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iInfo : Ce « savoir » est à
réutiliser et réinvestir pour construire deux droites parallèles , et pour
tracer une tangente à un cercle.
i Comparaison de distances :
On
compare les distances avec le compas : on remarque que d( NN') < d ( MM') Remarque importante !
« On compare des distances » et « l'on mesure des
longueurs. »! |
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La longueur qui détermine la
distance sera mesurée avec une règle graduée .
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La hauteur est une droite
tracée perpendiculairement à une droite donnée , passant par un point donnée.
Dans un triangle ; la hauteur est un segment de droite qui joint un point perpendiculaire au côté
opposé à ce point..
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IV
)
MEDIATRICE D’UN SEGMENT . |
a)
Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire en son milieu .
Remarque :
Chaque point de la médiatrice est à
égale des extrémités du segment .
Exemple : sur la figure
ci dessous la droite (d) est
perpendiculaire au segment AB , cette droite coupe le segment en ( I ) milieu
du [AB] ; on en conclut que (d) est
médiatrice du segment AB.
b)
Construction d’un médiatrice :
Pour
construire la médiatrice ( M N) d'un
segment [AB] à la règle et au compas ,
il faut donner au compas une ouverture supérieure à la demi- longueur AB . |
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iInfo : Applications cliquer
ici : tracer les médiatrices d’un
triangle ;ou , recherche
du centre d’un cercle ou disque .
a)
définition :
Une bissectrice
est une 1/2 droite qui part du
sommet d'un angle et qui coupe cet angle en deux parties égales. Elle
partage l'angle en deux angles de même mesure . |
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b) Construction de la bissectrice d'un angle:
( Info C d
plus sur les constructions!!!)
Soit un angle formé par les deux
demi-droites : [O y) et [O x) . 1°) Tracer un arc de cercle de centre "O" coupant [O y) en B et [O x) en A. 2°) tracer un arc de cercle (2) de
centre "B" . 3°) tracer un arc de cercle (3) de
centre "A" . les deux arcs se coupant en
C. 4°) tracer une droite d'origine
"O" et passant par "C" . |
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V I ) MEDIANE . |
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Définition
: Une médiane est une droite issue d’un point (sommet d’un angle) et qui joint le
milieu d’un segment. Le point
"G" se trouve toujours au 2/3
de la longueur de la médiane en partant de chaque sommet. (ce qu'il faut
démontrer !!!) (ATTENTION : sur la
figure ci-contre A', B' et C' ne sont pas exactement au milieu des segments). |
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Leçon |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION
sur |
N°15 |
PERPENDICULAIRE - DISTANCE - HAUTEUR
et MEDIATRICE d'un segment et BISSECTRICE d'un angle - MEDIANE. |
°) Quand
dit-on que deux droites sont perpendiculaires ?
2°) A
quoi est égale la distance entre deux points ?
3°) Par définition
: qu' appelle - t- on
« distance d'un point à une
droite » ? ; Qu'est ce que cela
implique ?
4°);
Donner la définition d'une "médiatrice" .
5°)
Donner la définition d’une "
bissectrice" ?
6°)
Donnez la définition de la « hauteur » .
7°)
Donnez la définition de la
« médiane » .
Appliqué
au triangle.
8°) Qu ' est ce qu'une "médiatrice" ? ( précisez le
trait est une droite , demi droite ,
segment , en prenant comme figure
géométrique le triangle )
9°)
Qu'est ce qu'une " bissectrice" ? ( précisez le trait
est une droite , demi droite , segment
, en prenant comme figure géométrique le triangle )
10°)
Qu'est ce qu'une " hauteur " ? ( précisez le trait
est une droite , demi droite , segment
, en prenant comme figure géométrique le triangle )
11°)
Qu'est ce qu'une " médiane
" ? ( précisez le trait
est une droite , demi droite , segment
, en prenant comme figure géométrique le triangle )
A) Projetée orthogonale
1°) Sur la
droite "d" , les deux points A et B sont distants de 5 cm .
Déterminer
la longueur de [ A' ; B '] , projeté orthogonale sur (D ) de [A B] |
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Même
question avec des angles de 30° ; 60 °
et 90°
( ce
travail sera exploité par "Thalès" et en
trigonométrie "tangente")
2°)
Projection orthogonale d'un segment sur une droite :
a) Reproduire la figure .
Construire A' et B' , projetés
orthogonaux de A et B respectivement
sur ( D)
, et tracer [ A ' B' ] : le
segment [ A ' B' ] est le projeté orthogonal du segment [A B] .
b) Placer
le point M , milieu de [A B] et construire M' son projeté orthogonal sur ( D )
. Quelle est la position de M' sur [ A ' B' ]
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Idem :
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Idem :
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B
)
Distance :
1°) tracer
une droite ( D
) et placer un point distant de 5 cm de ( D)
.
2°) sur une
carte au 1 / 100 000 on trouve quatre
villes A ; B ; C et D
.
A
l'aide du compas seulement
, classer les distances AB ; BC ; BD ; AC ; AD et CD dans l'ordre
décroisant .
Médiatrice :
2°)
Construire à la règle et au compas la
médiatrice d'un segment de droite de
7,5 cm de longueur .
3°)Placer 3 points non alignés A , B et C tels que : AB = 3 cm ; BC = 4 cm et = 120° .
Construire
la médiatrice du segment AB puis celle du segment BC ; elles se coupent en un
point " I "
.
Tracer le
cercle de centre "I" et de rayon " I A "
.
Que constate - t- on ? Justifier la réponse .
4°) On
donne un point "B" Construire
une droite (d) dont la distance de "B" est de 2,5 cm.
Bissectrice .
Tracer la
bissectrice de l'angle .
1°)
Distance de deux droites
parallèles :
On donne
deux droites parallèles distinctes ( D ) et ( D') . Placer un point "M" sur ( D)
et tracer la perpendiculaire
à ( D ' ) passant par M ;elle coupe ( D ' ) en M'
; M' étant le projeté orthogonal de M sur ( D') . La distance de ( D)
à ( D') est égale à la distance de M à
M' ( longueur du segment [ M M '] ; mesurer cette
distance et vérifier que :
-
le projeté orthogonal de M'
sur ( D) est le point M ;
-
la distance trouvée ne dépend pas du point M choisi .
2°) Construire deux droites
parallèles situées à 5 cm l'une de l'autre .
pour cela
:
-
Tracer une droite ( D).
-
Tracer une droite (d) perpendiculaire à (
D) qui coupe ( D) en
"H" . ( utiliser l'équerre)
-
Placer sur (d) le point "M" situé à 5 cm de "H" .
( il y a deux solutions )
-
Tracer la droite ( D')
perpendiculaire à ( d ) et passant par M .
3°) Construire à la règle et au compas
la médiatrice ( D)
d'un segment AB de 6 cm de longueur .
Soit "F" le point d'intersection de (
D) et de [ A B ] .
Placer sur la médiatrice deux points C et D situés de part et d'autre de F tels que F
soit le milieu de [ C D ] . Que représente la droite (
AB) pour le segment [ CD] . Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ?
4°) Placer trois points A , B et C tels
que AB = 5 cm , BC =
6 cm , AC = 7 cm. Construire la médiatrice du segment [ AC]
puis celle du segment BC . Elles se
coupent en O .
Tracer le cercle de centre
"O" et de rayon OA . Les points B et C appartiennent - ils au cercle ? Justifier la réponse .
Vérifier
que la médiatrice du segment AB passe
par le point I .