Ce qu ‘il faut savoir sur le théorème : ce théorème rend compte , en fait , de propriétés à peu prés évidente qu’ont des droites parallèles quand elles en coupent deux ou plusieurs autres.

La notion fondamentale qui est en jeu est celle de « rapport » , et le théorème énonce l ’ égalité de deux rapports , donc met en jeu une « proportion ».

(Stella BARUK , Dictionnaire des Mathématiques élémentaires ;ed. Seuil , page 1193)

THALES et le THEOREME de THALES

Qui est « THALES » ?

Thalès de Millet.

Il vécut environ 600 ans avant J.C.

Il est né en Grèce au VIIième siècle avant J.C. . Mathématicien et philosophe grec , on lui attribua la première mesure « exacte » du temps, il aurait apporté d ’ Egypte en Grèce les fondements de la géométrie.

Travaillant sur les lignes (droites, cercles ,angles ) il donna son point de départ à la géométrie pure :il fut le premier à démontrer que le diamètre d’un cercle partage celui-ci en deux parties égales , que tout angles inscrit dans un demi cercle est droit , que deux angles opposés par le sommet sont égaux .

On suppose qu’il fut le premier à bâtir des démonstrations élémentaires à partir d ’ axiomes.

Quelques définitions :

« Axiomes » un axiome est un énoncé évident par lui même et donc non susceptible d’être démontré.

Exemples d’axiomes d ’ Euclide :

On peut ajouter ou soustraire la même quantité à deux quantités égales .Les quantités obtenues sont alors égales.

Deux quantités égales à la même quantité sont égales entre elles.

Postulat : Le postulat est un principe premier , indémontrable ou non démontré , dont l’admission est nécessaire pour établir une démonstration.

Exemples de postulats d’Euclide.

Par deux points passe une droite.

Un cercle est déterminé par la connaissance de son centre et de son rayon.

Tous les angles droits sont égaux .

Par un point extérieur à une droite , on peut mener une et une seule droite parallèle à cette droite.

Définition de « Théorème » : du latin theorema , du grec théôrêma , « ce qu ‘on peut contempler »

d’après le Littré :

« théorème » : terme didactique, consiste en « toute proposition qui a besoin d’une démonstration pour devenir évidente »

A quoi sert le théorème de THALES.

Exemple : Calculer la hauteur d’un arbre :

Par soleil : On connaît la hauteur de l’Observateur (1,80 m)

On mesure la longueur de l’ombre de l ’ arbre au sol.

L’observateur se place debout au point de rencontre (affleurement de la tête) avec l’ombre « portée », on mesure la distance qui sépare l’Observateur et le point de rencontre des ombres (point le plus éloigné de l’ombre de l’arbre ) :

On établit la relation de proportion :

si hauteur de l’observateur = 1,80 ; Ombre Observateur 3 m : ;longueur de l’ombre de l’arbre 42 m

nous remplaçons dans la relation de proportion :

;

Calcul de la quatrième proportionnelle : hauteur de l’arbre = 1,80 fois 42 divisé par 3

Conclusion : l’arbre à pour hauteur approximative : 25,20 m

Théorème de Thalès : (énoncés équivalents).

Premier énoncé :

Si des parallèles découpent sur chacune des sécantes D1 et D2 , des segments respectivement de longueur l₁ ; l₂ ; l’₁ et l’₂ , les quatre longueurs (ainsi obtenues) sont en « proportion ».

D₁

l₁

l’₁

l₂

l’₂

D₂

Une fois les segments , sur chaque droite sécante, nommés il suffit d’établir l’égalité des rapports :

- à partir des projections ()

- à partir des proportions des longueurs des segments : ()

Deuxième énoncé :

info :

d : lire « delta »

AB : lire « longueur du segment d’origine A d’extrémité B »

BC : lire « longueur du segment d’origine B d’extrémité C »

AC : lire « longueur du segment d’origine A d’extrémité C »

A’B’ : lire « longueur du segment d’origine A’ d’extrémité B’ »

B’C’ : lire « longueur du segment d’origine B’ d’extrémité C’ »

A’C’ : lire « longueur du segment d’origine A’ d’extrémité C’ »

Si deux segments d ’ « une droite » d : ont leurs longueurs dans un certain « rapport » , des parallèles reproduisent ce rapport sur n’importe quelle autre droite qui les coupe

en particulier :

Si A,B,C, sont trois points d’une droite. d , A’ ; B’ et C’ les points correspondants par parallèles sur une droite d ‘ , on peut , pour chacun des six rapports de longueurs déterminés par la position des points A,B, C , écrire qu ‘il est égal au rapport déterminé par les longueurs correspondantes sur d ‘ , soit :

* ou

*si problème de compréhension voir « les triangles homothétiques »

Le théorème est un énoncé « vrai » dans une théorie mathématique donnée .Leur vérité a été établie , ils sont à redémontrer.(et non pas « à démontrer »)

RECIPROQUE DU THEOREME de THALES.

Rappel : Traduction de : lire « mesure algébrique du bipoint AB »

Deux formes :

Première forme :

Pour montrer qu’un point M’ est le projeté d’un point M sur une droite « D’ » suivant un droite de direction donnée « d ».

Soit la description de la représentation graphique suivante :

Une droite graduée « D » et deux points A et B (A et B étant différents).

Une droite graduée « D’ » sur laquelle sont tracées les projetés respectives A’ et B’ selon une droite de direction donnée « d »

Soit un point « M » de la droite « D » et « M’ » le point de la droite « D’ »,

Si « M » est le point de « D » et « M’ » le point de « D’ » , si l’ on vérifie « l’égalité vraie » de la proportion suivante :

alors on conclut que le point « M » de la droite «D » est le projeté du point « M » sur la droite « D’ » selon la direction « d ».

et donc que : = =

PROPRIETES de THALES :

INFO CD +++

PROJECTION DU MILIEU D’UN SEGMENT

Si B est milieu du segment [AM] , alors = -1

Comme = on obtient = -1 et B’ est le milieu du segment [A’C’]

Deuxième forme :

Pour montrer qu ‘ une droite ( MM’) est parallèle à deux autres droites AA’ et BB’.

Soit la description de la représentation graphique suivante :

Une droite graduée « D » et une droite graduée « D’ » sécantes .

Deux droites «d » et «d ‘ » strictement parallèles ,coupant respectivement la droite « D » au x points A et B et « D’ » en A’ et B’ .

Soit un point « M » de la droite « D » et « M’ » le point de la droite « D’ »,

d’

Si « M » est le point de « D » et « M’ » le point de « D’ » , si l’on établit la proportion tels que : et que l’on vérifie que « l’égalité est vraie » (avec les nombres données), alors la droite ( MM’) est parallèle aux droites passant respectivement par les points AA’ et les points BB’.

I ) EXERCICES RESOLUS

A

D

B

C

F

E

D₁

D₂

D₃

D₁ ; D₂ ; D₃sont //

AB = 18 mm ; BC = 14 mm ; DE = 13,5 mm

Calculer la longueur DF

Relation mathématique:

== ;

On remplace dans les relations les lettres par les valeurs données:

= =

On établit deux proportions , dans les quelles on connaît 3 valeurs sur quatre

1°) =

On calcule la quatrième proportionnelle: EF = (14 fois 13,5) divisé 18

EF = 10,5

2°) =

On calcule la quatrième proportionnelle DF = (32 fois 13,5)divisé par 18

DF = 24

II ) Dans la figure ci - dessous , comparer les triangles :

ABC et A B’C’ ; (BC ) // ( B’C’ )

BC = 2,8 cm ; B’C’ = 4 cm ; AC = 2 cm ; rectangle en A

SOLUTION :

Calculer AB ; AB’ ; AC’

Transformer le dessin : (rotation)

SOS voir les triangles homothétiques ) cours

Faire une rotation du triangle ACB dans le sens des aiguilles d'une montre autour du point A ( point A est centre de rotation);

Après la rotation on doit obtenir BC // B'C'

( le point B doit se trouver sur le segment B'A )

Constat : les triangles ABC et AB'C' sont homothétiques ; il existe donc un rapport d' homothétie :

On prend deux rapports donc on connaît 3 valeurs sur 4

= ;

= , voir le produit en croix

Les rapports homothétie sont (ils n'y a pas d'ordre ) ==

On remplace dans les rapports les valeurs que l'on nous donne.

AC' = (4 fois 2 ) divisé par 2,8

AC' »2,8571429 (voir "arrondir" )

Nous connaissons :

AC' = 2,86 ; et B'C'= 4 , le triangle est rectangle en A

Nous pouvons chercher AB' par Pythagore:

(B'C')² = (B'A)²+ (AC')²

4² = (B'A)²+ (2,86)²

après transformation:

4² - (2,86)² = (B'A)²

ou (B'A)² = 4² - (2,86)²

(B'A)² = 16 -8,1796

(B'A)² =7,8204

B'A » 2,7964978

B'A » 2,80 à 0,001 prés

On peut maintenant calculer la valeur de AB : à partir des rapports précédemment établis :

On remplace dans les rapports les valeurs que l'on nous donne.

ainsi:

AB = (2,8 fois 2,8)divisé par 4

AB = 1,96

Autres applications : Thalès et le triangle
Cas général:			INFO plus +++++
Si dans un triangle A BC , une parallèle à un segment [ BC] coupe un segment [ AB] en M et un segment [ AC ]en un point N alors on a :
	Cas particulier	Info Pus ++++
	Les milieux : Dans un triangle , la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un autre côté coupe le troisième en son milieu .
	Propriété des milieux des côtés : Si M est milieu du segment AB , la parallèle à la droite ( BC) menée par M coupe la droite (AC) en N milieu de [AC] ( voir projection du milieu d’un segment ) . Réciproquement : si N et milieu de [AC], = = et ( MN ) // ( BC) On énonce : Si M est le milieu du côté [AB] d’un triangle ABC. Le point N du segment [AC ] est milieu de [AC] si et seulement si la droite ( MN ) esr parallèle à la droite ( BC ) Si M , N , P sont les milieux des côtés [AB] [BC ] [CA] du triangle ABC , que peut-on dire des directions des côtés du triangle MNP ? ( voir info plus ++++)