LES TRIANGLES homothétiques

Et le rapport d’homothétie

· TRIANGLES SEMBLABLES ET HOMOTHETIQUES

· COTE HOMOLOGUE : (définition)

· TRIANGLES HOMOTHETIQUES

· LE RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE

· EXERCICES RESOLUS

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

· TRIANGLES SEMBLABLES ET HOMOTHETIQUES

Soit un triangle ABC . Une parallèle au côté BC coupe AB en M et AC en N .

Menons par N la parallèle à AB qui coupe BC en P .

Comparons les triangles ABC et AMN .

Appliquons le théorème de Thalès au triangle ABC : MN et parallèle à BC .

( 1)

mais MN //PB et NP // MB ; nous avons donc un parallélogramme BNMP ainsi BP = MN

( à terminer )

· COTE HOMOLOGUE : (définition)

(la condition de départ : les triangles sont semblables)

On appelle « cotés homologues » de deux triangles , les cotés opposés aux angles égaux.

(voir figure ci dessous ; AB et A’’B’’ sont des cotés homologues

Traçons deux triangles semblables ( ABC et A’’B’’C’’)en prenant la précaution de tracer les cotés opposés aux angles égaux , parallèles

B’’

Les cotés homologues sont :

AB et A’’B’’ (coté opposé à l’angle « C » et « C’’ ») ;

BC et B’’C’’ , (coté opposé à l’angle « A » et «A’’ »)

CA et C’’A’’ (coté opposé à l’angle « B » et « B’’ »);

Ces cotés sont proportionnels .(faire l’égalité des rapports)

Les angles sont égaux deux à deux .

Les deux triangles sont homothétiques .

· TRIANGLES HOMOTHETIQUES

On dit que deux triangles sont « homothétiques » si les cotés de l’un sont respectivement parallèles aux cotés de l’autre .

Les angles sont égaux deux à deux ; les côtés homologues sont proportionnels.

· « RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE »

TRIANGLES HOMOTHETIQUES ET « RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE ».

Soit un triangle ACB ; on trace une droite( MN ) parallèle à BC ,passant par MN.

Nous obtenons un « autre » triangle ANM.

Les triangles ACB et ANM sont semblables et homothétiques (d’après ce qui à été déclaré précédemment )

semblables :leurs angles sont égaux et leurs cotés sont proportionnels ;et homothétiques : les cotés opposés aux angles sont tracés parallèles .

C

B

Rapport d ’ homothétie

Nous savons que deux triangles sont homothétiques si leurs cotés homologues sont proportionnels.

Ainsi AM et AB sont homologues ; AN et AC sont homologues ; MN et BC sont homologues ; ces cotés homologues sont proportionnels ; nous pouvons donc écrire l’égalité :

= k

k est appelé « rapport d’homothétie ».

Ces rapports ont été établis à partir d’un tracé d’une droite parallèle à un coté d’un triangle ; nous pouvons écrire :

(théorème)

Toute parallèle à un coté d’un triangle détermine un deuxième triangle homothétique du premier.

(autre façon de traiter le problème sur le triangle « coupé » par « une parallèle » à un des cotés : voir : les projections et Thalès )

· EXERCICES RESOLUS :

Enoncé :

les triangles ADB et AEC sont semblables

AD = 27 ; DE = 13

BC = 26 ; AB = ?

AC = x ; AE = ?

BD = 30 ; CE = y

Questions :

1. Tracer les deux triangles homothétiques.

2. Identifier les cotés homologues ( les nommer deux à deux)

3. Etablir les rapports d ’ homothétie

4. Calculer « x » et « y »

Enoncé :

A partir des triangles semblables et homothétiques AC et FE sont parallèles.

On donne :

AB = 25 ; AF = ?

BC = ? ; CE = ?

BF = 40 ; BE =36

AC = « x » ; FE = 40

Questions et réponses:

1 ) Tracer les deux triangles homothétiques. ABC et FBE

2 ) Identifier les cotés homologues ( les nommer deux à deux) :

Attention :pour nommer un coté et son homologue il faut choisir le « triangle de départ ou référent » et conserver ce choix pour nommer les cotés et leur homologue;

je choisis de prendre le premier triangle ABC comme « référent » alors pour les trois cas je nomme en premier le coté appartenant au triangle « référent » :

les coté AB et BF sont homologues

les cotés AC et FE sont homologues

les cotés BC et BE sont homologues

3 ) Etablir le rapport d ’ homothétie Lsi l’ordre à été suivi les rapports s’établissent sans risque d’erreur : ==

4 ) Remplacer les lettres par les valeurs données :

Calculer « x »

CALCUL : ==

Construction particulière se ramenant à deux triangles homothétiques

Rappel : deux droites sécantes forment quatre angles ; égaux deux à deux.

Thalès de Milet : « Travaillant sur les lignes ,fut le premier à démontrer que deux angles opposés par leur sommet sont égaux.

Exemple :

Les angles A et A’ sont égaux.

Les angles B et B’ sont égaux.

A partir de la construction précédente (deux droites sécantes) ,nous traçons deux parallèles (MN) et (BC) aux deux droites sécantes en « A » :

Nous obtenons deux triangles :

AMN et ACB

Nous pouvons transformer la figure ( I ) ,par rotation autour du point « A » ,pour montrer que nous avons deux triangles semblables.(voir transformation par rotation autour de A) )

Les triangles ANM et ACB sont semblables donc homothétiques ; Les cotés homologues sont proportionnels, Il suffit d’établir l’égalité des rapports , pour obtenir le rapport d’homothétie.

APPLICATION

Soit la figure I

On donne : AN = 12 cm ;NM = 6cm ;MA = 9 cm ; AC =15 cm .

On nomme AB = « x » ;

BC = « y »

Calculer : « x » et « y »

Résolution :

les triangles AMN et ACB sont des triangles semblables :

(l’angle B et N sont égaux ; l’angle C et M sont égaux ainsi que l’angle A,)

Nous pouvons appliquer le théorème lié au rapport d ’ homothétie :

Nous pouvons transformer la figure ( I ) pour montrer que nous avons deux triangles semblables.

Les triangles ANM et ACB sont semblables donc homothétiques ; Les cotés homologues sont proportionnels, Il suffit d’établir l’égalité des rapports , pour obtenir le rapport d ’ homothétie.

qui donne : = k