Pré requis

Les triangles semblables ;….
Les grandeurs proportionnelles (résumé)
Droites milieux dans un triangle

ENVIRONNEMENT du dossier

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Liste des cours sur « Thales » Tableau Liste des cours de géométrie.

DOSSIER THALES : Pré requis N°2

	1°) Outils mathématiques utilisés:
	2°) Qui est « THALES » ?
	3°) THALES et le THEOREME de THALES . ( à quoi ça sert ?...)
	4°) Projection d’un point d’un plan sur une droite
	5°) OBTENTION D’UNE DIVISION IRREGULIERE ou REGULIERE D’UNE DROITE
TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	INTERdisciplinarité	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation

INFO :COURS :

1°) Outils mathématiques utilisés:

- La suite de rapports égaux ( savoir établir)

- Calcul : le rapport égal ( savoir choisir ,dans une suite de rapports égaux les deux rapports , dont on connaît trois valeurs sur quatre) :

modèle :

exemple : : ; de cette suite de rapports égaux nous pouvons en extraire 2 proportions : : et : ;

il nous suffit de trouver la « quatrième » proportionnelle ;

ce qui donnera pour « a » = 3 fois 12 divisé par 9 = 4 ; et pour « b » = 8 fois 9 sur 3 = 24

2°) Qui est « THALES » ?

Thales de Millet.

Il est né en Grèce au VIIième siècle avant J.C. . Mathématicien on lui attribua la première mesure « exacte » du temps, il aurait apporté d ’ Egypte en Grèce les fondements de la géométrie.

Travaillant sur les lignes (droites, cercles ,angles ) il donna son point de départ à la géométrie pure :il fut le premier à démontrer que le diamètre d’un cercle partage celui-ci en deux parties égales , que tout angles inscrit dans un demi cercle est droit , que deux angles opposés par le sommet sont égaux .

On suppose qu’il fut le premier à bâtir des démonstrations élémentaires à partir d ’ axiomes.

Quelques définitions :

« Axiomes » un axiome est un énoncé évident par lui même et donc non susceptible d’être démontré.

Exemples d’axiomes d ’ Euclide :

On peut ajouter ou soustraire la même quantité à deux quantités égales .Les quantités obtenues sont alors égales.

Deux quantités égales à la même quantité sont égales entre elles.

Postulat : Le postulat est un principe premier , indémontrable ou non démontré , dont l’admission est nécessaire pour établir une démonstration.

Exemples de postulats d’Euclide.

Par deux points passe une droite.

Un cercle est déterminé par la connaissance de son centre et de son rayon.

Tous les angles droits sont égaux .

Par un point extérieur à une droite , on peut mener une et une seule droite parallèle à cette droite.

Définition de « Théorème » : du latin theorema , du grec théôrêma ,  « ce qu ‘on peut contempler »

d’après le Littré :

 « théorème » : terme didactique, consiste en « toute proposition qui a besoin d’une démonstration pour devenir évidente »

3°) THALES et le THEOREME de THALES

A quoi sert le théorème de THALES. ?

Exemple : Calculer la hauteur d’un arbre :

Par soleil : On connaît la hauteur de l’Observateur (1,80 m)

On mesure la longueur de l’ombre de l ’ arbre au sol.

L’Observateur se place debout au point de rencontre (affleurement de la tête) avec l’ombre « portée », on mesure la distance qui sépare l’Observateur et le point de rencontre des ombres (point le plus éloigné de l’ombre de l’arbre ) :

On établit la relation de proportion :

si hauteur de l’observateur = 1,80 ; Ombre Observateur 3 m : ;longueur de l’ombre de l’arbre 42 m

nous remplaçons dans la relation de proportion :

 ;

Calcul de la quatrième proportionnelle : hauteur de l’arbre = 1,80 fois 42 divisé par 3

Conclusion : l’arbre à pour hauteur approximative : 25,20 m

PAGE RAPPELS : « Image » : on appelle « image » le représentant d’un élément (Algébrique , ou géométrique) de l’ensemble de départ « réfléchi » dans l’ensemble d’arrivée.

4°) Projection d’un point d’un plan sur une droite 

	A

d : est la droite de direction imposée

d : est la droite recevant l’image de A

	d

Pour obtenir l’image de A ( A’) sur la droite « d » , on trace une droite parallèle à la direction (d ) donnée passant par A et coupant la droite « d », le point d’intersection est A’ ,

Commentaire : la droite passant par AA’ , parallèle à « d » est appelée : projetante 

On dit que le point « A’ » est la projection (ou projeté) du point « A » sur la droite « d » par rapport à « d ».

On dit aussi que : A’ est l’image de A sur « d » par rapport à « d ».

Suite : Voir « projection » d ‘ un segment.

Aperçu du problème « THALES »

On sait comment diviser un segment en deux parties égales pour cela on trace la médiatrice.

Mais comment partager un segment AB ,en plusieurs ( 3) parties « égales » ?

Attention : on demande de diviser un segment de droite ;( « morceau » de droite « bornée » )

Autre rappel : sur la graduation régulière ou irrégulière

Vocabulaire : un segment est une droite bornée.

SUR la « division régulière ou irrégulière » d ’ une droite « non » bornée

(travail simple et accessible à tous)

ou comment diviser une droite en parties non égales ou en parties égales  :

a) Construction d’une « Division irrégulière » sur une droite non bornée :

Procédure :

on trace une droite :

On choisit l’emplacement d ’ un point sur cette droite et l’on « coupe » cette droite en autant de points que l’on veut ;à l’aide d’un « crayon ».

Nous pouvons nommer ces points (A ;B ;C ;...)

b) Construction de divisions régulières sur une droite non bornée. (ou « comment diviser régulièrement une droite »)

Procédure :

On trace une droite :

On prend un compas dont on règle l’ouverture .

On choisi un premier point où l’on place la pointe du compas

On reporte autant de fois que cela est possible ,

On appelle « division régulière » d’une droite « d »  un ensemble de points de la droite régulièrement espacés.

						d
				D	E
	A	B	C

On peut considérer que A,B ,C, D, E est une division régulière de la droite d

5°) OBTENTION D’UNE DIVISION IRREGULIERE ou REGULIERE D’UNE DROITE « BORNEE » à partir d’une droite divisée régulièrement (ou irrégulièrement ):

remarque : pour diviser une droite « D » « bornée » régulièrement ,nous devons ,au préalable , construire un segment de droite régulièrement divisé.

CAS d’une division irrégulière :

Données de départ :

la droite « D1 » irrégulièrement graduée en A ;B ;

la droite « D2 » (droite sur laquelle on va tracer les divisions)

La droite d

La longueur du segment AB est différent de la longueur du segment BC

Tracer :

« La projection d’une division irrégulière est une division irrégulière »

On trace des parallèles à « d » passant par A ; B ; C et coupant D2 en A’ ; B’ ; C’ ;

CAS d’une division régulière d’un segment :

La longueur du segment AB est égale à la longueur du segment BC est égale à la longueur de CE

Données : la droite D1 est graduée régulièrement ,la droite « d » est la direction , D2 est la droite à diviser « régulièrement » en trois parties égales.

La longueur du segment A’B’ est égale à la longueur du segment B’C’ est égale à la longueur de C’E’ :

Par projection nous obtenons les points A’ , B’ ; C’ ; E’

Nous pouvons remarquer que la longueur du segment A’B’ est égale à la longueur du segment B’C’ est égale à la longueur de C’E’ :

en conclusion : « La projection d’une division régulière est une division régulière »

Pour diviser régulièrement une droite bornée à partir d ’une droite régulièrement divisée nous appliquerons le théorème suivant : 

L’image , dans une projection régulière est une division régulière.

Autre cas : les deux droites D1 et D2 sont sécantes (elles se coupent ,elles ont donc un point commun)

Les points A et A’ sont confondus.

d’où le théorème de THALES :

Plusieurs parallèles déterminent sur 2 sécantes quelconques des segments correspondants proportionnels.