Pré requis:
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Notions : plan –ligne – point |
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Le
nombre "pi" |
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La
ligne courbe |
ENVIRONNEMENT du dossier:
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1° )Le
cercle . |
Objectif suivant : 1°)Les disques 3°)positions
relatives de deux cercles
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DOSSIER : Positions
relatives d’un cercle et d’une droite
TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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1 ° )Position relative d’un
point / au cercle |
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2° ) Position relative
d’une droite / cercle : |
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TRACE d’un cercle : |
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L’outil utilisé pour tracer un cercle est
appelé : COMPAS |
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A) Positions
relatives d’un point et d’un cercle
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Un cercle partage le plan en deux régions . L’intérieur du cercle . L’extérieur du cercle qui ne contient pas le
centre. On voit sur la figure qu’un point est à l’intérieur ou à l’extérieur
du cercle suivant que sa distance au centre est inférieur
ou supérieur au rayon. Par contre tous les points du cercle ont la
propriété commun d’être à la distance R du point O et ils sont les seule points du plan qui
possèdent cette propriété. Pour cette raison on dit que le cercle de centre
O et de rayon R est le lieu géométrique
des points situés à la distance R du point O . |
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B ) Positions relatives
d’une droite et d’un cercle
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Pour chaque cas étudié : O étant un point extérieur à une droite D , menons la perpendiculaire OH à la droite D ; elle
mesure la distance d du point O à cette droite. Décrivons un cercle de centre
O et de rayon R . Suivant les grandeurs relatives de R et de
« d » , nous obtenons trois figures
différentes. |
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« d » > R le point H est extérieur au cercle O ; or
c’est le point de la droite D le plus proche de O. Il en
résulte que tous les points de D sont extérieurs au cercle. On dit que la
droite D est extérieur au cercle . |
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Droite tangente |
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« d » = R le point H est sur le cercle O , or c’est le point de la droite D le
plus rapproché de O .Il en résulte que tous les autres points de D sont
extérieurs au cercle. La droite D et le cercle O ont un seul point commun. On dit que la
droite D est tangente au cercle O. remarque : on peut dire indifféremment que la tangente à un
cercle rencontre celui-ci en un seul point ou qu’elle rencontre en deux
points confondus. |
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Si une droite est tangente à un cercle tous ses points , à l’exception du point de contact est donc le
plus petit segment joignant le centre O à un point quelconque de la
tangente ; il est donc perpendiculaire à celle-ci . : En géométrie encore ,
on pose cette définition : - La
tangente à une courbe en un point donné de la courbe est la limite des
positions d’une sécante, qui coupe la courbe en ce point et qui tourne autour
de ce point de façon qu’un second point de section tende à se confondre avec
le premier. |
Remarque : Le rayon qui aboutit au point de
contact est perpendiculaire à la tangente .
Construction de la tangente à un cercle en un point A de ce cercle. |
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Théorème :la
tangente est perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact. On ne peut mener qu’une perpendiculaire à
l’extrémité d’un rayon ; il en résulte que : Théorème : par un point d’un cercle on ne
peut mener qu’une tangente à ce cercle. Tracer : à OA
mener le rayon OA sur son prolongement ;tracer
la perpendiculaire à ce rayon au point A .
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Un point quelconque I de la bissectrice
intérieure d’un angle xOy est équidistant des cotés de cet angle. IA = IB Il en résulte que le cercle de centre I etde rayon IA = IB sera tangent aux cotés de l’angle xOy .il y a donc une infinité de cercles
tangents aux cotés d’un angle ; on peut
choisir le centre n’importe où sur la bissectrice de l’angle. |
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Voir cercle inscrit dans un triangle |
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« d » < R le point H est intérieur au cercle O ; par conséquent
lorsqu’un point M se déplace sur D de
part et d’autre de H , l’oblique OM augmente depuis la valeur d(<R) jusqu’à une valeur aussi grande
qu’on le veut .Il existe donc , de part et d’autre de H , deux positions M1
et M2 du point M pour lesquelles .
OM1 = OM2 =
R la droite D et le centre O ont deux points commun et ne peuvent en avoir
davantage. On dit que la droite D est sécante au cercle O. |
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Conclusion : une droite et un
cercle ont 0 ; 1 ou 2
points communs.
TRAVAUX AUTO
FORMATIFS :
I ) Quelle est la position relative d’une tangente
d’un cercle et du rayon de ce cercle ?
1°) dessiner
une tangente à un cercle.
°) D’un point situé à