P6 :
Classe de 6ème collège |
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II ) LECON : LA
DIVISION des nombres entiers
Chapitres :
1°) Quotient entier exact. |
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2° ) Egalités ayant la même signification. |
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3°) Quotient entier approché. |
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Travaux auto - formation. |
Interdisciplinarité 1°) série 1 (info sur les
entiers naturels) |
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Corrigé 2 des travaux auto - formation. |
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OPERATIONS :« TESTS » |
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Rappel : La table de division. |
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V
COURS |
1°) Quotient entier exact. |
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Cherchons par quel
nombre « entier »
il faut multiplier « 7 » pour obtenir « 63 » : 63 =
7 …………. L’entier
« 9 » ainsi trouvé est appelé le « quotient exact » de
« 63 » par
« 7 ». : on
écrit : « 63 : 7 = …… » On dit
que l’on a divisé « 63 » par « 7 » .
L’opération correspondante s’appelle « la division ». « 63 »
est le dividende ; « 7 » est le « diviseur ». |
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Application : On achète plusieurs
livres identiques qui valent
« 12 € » chacun pour un
total de « 60 € » Cherchons le nombre de
livres achetés .
On doit avoir : 60
= 12 ………. Le nombre cherché est
le quotient entier exact de « 60 » par « 12 » . On écrit : « 60 : 12 = ……. » |
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Cherchons s’il existe
un entier qui soit le quotient entier exacte de « 37 » par « 10 » . Si cet entier
existe, appelons – le « x » . On doit alors
avoir : 37 = 10 x Or tu sais que si l’on
multiplie un entier par « 10 », le nombre obtenu est un entier qui
se termine par « …. » Il ne peut donc pas être égal à
« 37 ». Donc le quotient exacte
de « 37 par 10 » …………………………… |
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ON retiendra : On appelle
« quotient exact d’un entier « a » par un entier
« b » ( noté : « a : b » ) l’entier (s’il existe « x » ) par lequel il faut
multiplier « b » pour obtenir « a ». |
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« a : b = x »
signifie « a = b x » |
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Exercices : série
1 : Pour calculer le
quotient, on pose la division. Effectuer les
opérations suivantes et faîtes la vérification . ( poser
l’opération) |
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5 |
2 |
0 |
1 |
7 |
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7 743
= 5201 |
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7 4 3 |
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2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
2 |
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Vérification : 32 625
= 20 000 |
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6 2 5 |
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3 |
8 |
3 |
3 |
5 |
1 |
8 |
7 |
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Vérification : 187 205
= 38 335 |
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2
0 5 |
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Exercice série
N°2 : ( approche l’algèbre) |
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Sachant que « y : 8
= 6 » ; détermine la
valeur de « y » ………………………. (faire appel aux tables de multiplications ou de divisions ) |
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1°) Cherchons s’il est possible de trouver le
quotient entier exact de « 17 » par « 0 ». ·
Si ce nombre existe , appelons-le « x » : 17 : 0 signifie
que : 17 = ……. ……… ·
Or tu sais que pour tout entier « x » :
0. x = «……. »
Donc 0. x 17 … ·
Donc le quotient entier exact de « 17 » par « 0 » ……………… ·
Il en serait de même en
remplaçant « 17 » par n’importe quel entier non nul. |
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A retenir : Le quotient entier exact d’un entier ( non
nul ) par zéro n’existe pas. |
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2°) |
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17 :
17 = ………. |
25 :
25 = …………. |
Pour tout entier « a » ;
« a : a = 1 » ( a 0) |
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3° ) |
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53 : 1 =
………….. |
74 : 1
= …………… |
Pour tout entier
« a » ; « a : 1 = a » |
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4° ) |
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0 : 13
= … ? … |
0 : 69 = … ?… |
Pour tout entier
« a » non nul ;
« 0 : a
= ? » |
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2° ) Egalités ayant la même signification. |
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Dans chacune des lignes
ci-dessous , les égalités ont même signification. Compléter ces égalités
en commençant par celle qui vous paraît
la plus facile. |
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« 100 : 25 =
« ……. »
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Signifie que « 100
= ……
……. » |
Signifie « 100 : …….. = 25 »
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« 80 : 8 =
« ……….. »
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Signifie que « 100
= …….. …… » |
Signifie « ………: ……. = ……. » |
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« ……. :
……. = « ……….. »
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Signifie que « …….
= ……. …………. » |
Signifie « ………: ………. = ……. » |
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« ……. : ……. =
« ……….. »
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Signifie que « …….
= …….. …….. » |
Signifie « 264: ……….. = ……. » |
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Problèmes types |
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Pb 1 : Pierre et Paul ont 33 ans à eux deux
. Pierre à 3 ans de plus
que Paul , quel est l’age de chacun ? |
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Pb 2 : Après avoir fait un voyage , quatre camarades font leurs comptes. Olivier a dépensé
54 € ; Francis 68 € ; Claire 37 € et Lucile
73 € . Comment vont-ils s’y
prendre pour répartir équitablement les dépenses ? |
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Pb 3 : Combien de temps
faut-il pour remplir un bassin de 2160 L avec un robinet dont le débit est 60
L en 5 minutes. Donner le résultat en heure. |
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Pb 4 : On achète 3 livres pour
un prix total de 104 € . Le premier vaut 13 € de moins que le deuxième et le
premier vaut 7 € de moins que le troisième. Quel est le prix de
chaque livre ( on vous donne le début du
raisonnement : Si les 3 livres avaient le même prix que le premier, le
prix total ( en € ) serait ……………) |
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Pb 5 : Une vis avance de 3 mm
en 5 tours. Combien fait-elle de tours
pour qu’elle avance de 21 mm. |
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3°) Quotient entier approché. |
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Tu vas partager
équitablement 31 euros ( en pièces de 1 euros) entre
7 personnes ( chaque personne reçoit le même nombre de pièces). Comme nous ne sommes
pas très fort en calcul, on commence par distribuer une pièce à chacun, puis
on recommence et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste pas assez pour en
donner une à tout le monde. |
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Combien de distribution
a-t-on fait à chaque personne ? …… Combien reste-il de
pièces non distribuées ? ……………. |
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Vérification : Quel est le nombre de
pièces distribuées au total :
7 ………=……….. et il en
reste …………………….. On obtient l’égalité
suivante : 31 =
( 7 … ) + …… |
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Vous n’avez pas pu
faire une cinquième distribution parce que le nombres de pièces est strictement
inférieur à …………( 7 ) |
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Ce que nous écrirons en langage mathématique : |
4 < 7 |
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L’entier «
4 » que vous avez trouvé s’appelle « quotient entier approché de
« 31 » par « 7 » et « 3 » s’appelle « le
reste » |
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Ici ….Dividende |
3 |
1 |
7 |
Diviseur |
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Reste : |
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3 |
4 |
Quotient entier ( « approché » ou « exact »
suivant ..le cas) |
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Ces quatre nombres vérifient
l’ égalité « 31 = (
…..……) + …… et
l’inégalité « ……<
……. » |
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Cas particulier : |
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Au lieu de 31 pièces de
monnaie il y en a maintenant
« 42 » ; Faire le partage. Pour cela , vous proposez la division : ( voir ci contre) Le quotient est alors
un quotient « exact » ,
d’où « 42 = ……………… » et on écrira : « 42 = ………. » |
4 |
2 |
7 |
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Attention : dans le cas de « 131 » , on ne peut pas écrire
« 31 : 7 = 4 » ·
Cela voudrait dire que : 31 =
( 7.…4
) ; égalité qui est………….… ·
La seule égalité que l’on puisse écrire est : « 31 = ………………… » |
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Exercice : chercher le
quotient entier ( exact ou approché) de « 962
par 27 » |
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Le reste est l’entier
« ……… » Le quotient entier « ………… » est l’entier « …….. » Vérification : « 962 = ( 27 ……….. + ……..
et « ……. <
…….. » |
9 |
6 |
2 |
2 |
7 |
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A retenir : |
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« a » et « b » représentant des entiers naturels ( « b »
non nul ) pour chercher le
quotient entier de « a » par « b » , on pose la division. |
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a |
b |
·
Si « r = 0 » alors « q » est le quotient …………... ·
Si « r 0 » alors « q » est le quotient ……………….. ·
Et on a « a = ( b q) + r » avec « r < b » ·
Ce qui permet de faire la vérification de la division. |
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q |
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r |
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EXERCICE ET PROBLEMES. |
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Exercice : |
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Dividende |
Diviseur |
Quotient |
Reste |
Egalité |
Et |
Inégalité |
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333 |
13 |
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333 = ( 13 …) + …. |
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…. <
13 |
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14 |
31 |
11 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
123 |
|
17 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
350 |
|
15 |
20 |
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5 |
7 |
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Problèmes : |
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N°1 : On veut transporter le
contenu d’un réservoir de 132 L avec un seau de 9 L . Combien de voyages
devra-t-on faire pour vider le réservoir. |
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N°2 : On veut faire voyager
de nuit 267 personnes par le train, en couchette. Sachant qu’un wagon
comporte 12 compartiments de « 6 » couchettes chacun. Combien faudra-t-il de
wagons ? |
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N°3 Une montre indique
« 7 » heures. Quelle heure indiquera - -t –elle dans 100 heures. |
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N°4 Pour fabriquer 1 kg de fromage de comté
, il faut 12 L de lait . Un agriculteur possède
9 vaches qui donne chacune 25 L de lait par jour . |
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N°5 A la rentrée scolaire ,
205 élèves de 6ème sont inscrit au collège. Sachant que la
répartition des élèves a été faite de telle sorte que le nombre d’élèves par
classe ne diffère pas de plus de « 1 » d’une classe à l’autre , donne le nombre d’élèves pour chaque classe. |
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Leçon |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATIFS sur |
N°C.N. 21 |
LA DIVISION des
nombres entiers . |
TRAVAUX N°C.N. 21
d ’ AUTO - FORMATION :
CONTROLE
1. Que veut dire diviser ?
2 . Donner la définition de la division euclidienne.
3. Traduire avec des symboles :
« Le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient ,plus le reste .Avec les conditions que le diviseur
soit différent de zéro ; et le reste
soit strictement inférieur au diviseur. »
4 . Si le reste de la division
euclidienne est égal à zéro ,comment appelle - ton le
quotient ?
5. Donner la disposition pratique de la division
euclidienne ;nommer les symboles .
6.
Quel point
commun ont entre eux les symboles suivants :
:
; _ ;
/ ; ?
7. Traduire en langage littéral : a
= b q
+ r
avec les
conditions suivantes :
b ¹ 0 et r < b
8 . A quoi sert - il de connaître la division
euclidienne ?
TRAVAUX N°CN 21 d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION
1 .Soit : 40 : 8;
40 / 8; ; trouver le point commun ;
conclusion.
2°) Donner sous forme euclidienne le résultat des divisons
suivantes :
Exercices |
Votre résultat |
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31 : 3 |
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165 : 5 |
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587 : 11 |
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237 : 33 |
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166 : 9 |
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349 : 15 |
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180 : 4 |
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51 : 7 |
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