Info ++

1°) Quotient entier exact.

2° )  Egalités ayant la même signification.

3°) Quotient entier approché.

Test

COURS  

Travaux  auto - formation.

Interdisciplinarité                      

 1°) série 1 (info sur les entiers naturels)

2°) autres situations problèmes

3°) et autres situations problèmes.

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle :

évaluation

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

Fiche activités sur le quotient exact.

4°) Liste des objectif de formation  en progression.

OPERATIONS :« TESTS »

Rappel : La table de division.

5°) fiche de travaux normatifs.

Ici  liste des cours sur ……la division……………..

COURS

Info ++

1°) Quotient entier exact.

Cherchons par quel nombre « entier » il faut multiplier « 7 » pour obtenir «  63 » :              63  =  7  …9.

L’entier « 9 » ainsi trouvé est appelé le « quotient exact » de « 63 »  par « 7 ». :      on écrit :   «  63 : 7  = …… » ( 9 )

On dit que l’on a divisé « 63 » par « 7 » . L’opération correspondante s’appelle « la division ».

« 63 » est le dividende ; « 7 » est le « diviseur ».

Application :

On achète plusieurs livres identiques qui valent   « 12 € »  chacun pour un total de « 60 € »

Cherchons le nombre de livres achetés .      On doit avoir :         60 = 12   …5.

Le nombre cherché est le quotient entier exact de « 60 » par « 12 » . On écrit :  «  60 : 12 =  5 »

Cherchons s’il existe un entier qui soit le quotient entier exacte de  « 37 » par « 10 »  . Si cet entier existe, appelons – le « x » .

On doit alors avoir   :   37 = 10 x

Or tu sais que si l’on multiplie un entier par « 10 », le nombre obtenu est un entier qui se termine par « 0. » Il ne peut donc pas être égal à « 37 ».

Donc le quotient exacte de  « 37 par 10 » n’existe pas…..

ON retiendra :

On appelle « quotient exact d’un entier « a » par un entier « b » ( noté :  «  a : b » )  l’entier (s’il existe  « x » ) par lequel il faut multiplier « b » pour obtenir « a ».

« a : b =  x »  signifie  « a = b  x »

Exercices : série 1 :

Pour calculer le quotient, on pose la division.

Effectuer les opérations  suivantes et faîtes la vérification . ( poser l’opération)

Voir fiche n°83

5

2

0

1

7

Vérification :

 7     743   =  5201

0

3

0

7  4  3

2

1

0

Voir fiche n°92

2

0

0

0

0

3

2

Vérification :

 32      625    =  20 000

0

8

0

6 2 5

1

6

0

0

0

Voir fiche n°94

3

8

3

3

5

1

8

7

Vérification :

187       205    =  38 335

0

0

4

3

  2  0   5

4

3

5

0

0

Exercice  série  N°2 : ( approche l’algèbre)

Sachant que  «  y  :  8  =  6 » ; détermine la valeur de « y » ……………………….  (faire appel aux tables de multiplications  ou de divisions  )

Cas  particuliers :

1°) Cherchons s’il est possible de trouver le quotient entier exact de « 17 » par « 0 ».

·        Si ce nombre existe , appelons-le « x » :  17 : 0     signifie  que : 17  = … ?….  …0…

·        Or tu sais que pour tout entier « x »   :     0.   x  =  « O »    Donc   0.   x     17    …

·        Donc le quotient entier exact de « 17 »  par « 0 »    n’existe pas .

·        Il en serait de même en  remplaçant « 17 » par n’importe quel entier non nul.

A retenir :

Le quotient entier exact d’un entier ( non nul ) par zéro n’existe pas.

Info + : la division par « zéro »

2°)

  17 :  17  =  «  1 » 

25   :  25    =  «  1 » 

 Pour tout entier « a »    ;  «  a : a =    1 »      ( a 0)

3° ) 

  53 : 1   =     « 5 3 »

74   : 1  =    «  74 »

Pour tout entier « a »    ;  «  a : 1 =    a » 

4° ) 

 0 : 13  = … ? …

0 : 69 = … ?…

Pour tout entier « a »   non nul   ;  « 0 :   a  = ?   » 

La fraction algébrique est les formes particulières.

2° )  Egalités ayant la même signification.

Dans chacune des lignes ci-dessous , les égalités ont même signification.

Compléter ces égalités en commençant par celle qui vous paraît  la plus facile.

   « 100 : 25   =    «  4  »   

Signifie que   « 100  =  25   4 » 

Signifie  « 100 :  4   =   25 » 

  « 80 : 8   =    « …10..  »   

Signifie que   «   80   =  8..   …10 »

Signifie  « …80…:  …10.   =   8. »

« …91 …. : …7.   =    « …13..  »   

Signifie que   « 91.  =  7   13  »

Signifie  « …91…:  13   =   …7. »

« …264. : …24.   =    « …11..  »   

Signifie que   « 264.  =  24.   …11.  »

Signifie  « 264:  11   =   24. »

Problèmes types

Pb 1 :

Pierre  et Paul ont 33 ans à eux deux .

Pierre à 3 ans de plus que Paul , quel est l’age de chacun ?

33 – 3 = 30 ;  30 : 2  = 15  age de Paul ; 18 age de Pierre.

Pb 2 :

Après avoir fait un voyage , quatre camarades font leurs comptes.

Olivier a dépensé 54  € ;  Francis 68 € ; Claire 37 € et Lucile 73 € .

Comment vont-ils s’y prendre pour répartir équitablement les dépenses ?

( 54 + 68 + 37 + 73 ) =  232       ; puis  232 / 4   =  58

Pb 3 :

Combien de temps faut-il pour remplir un bassin de 2160 L avec un robinet dont le débit est 60 L en 5 minutes. Donner le résultat en heure.

2160 / 60 =   36   ; 36 fois  5  =   180 minutes

Pb 4 :

On achète 3 livres pour un prix total de 104 € . Le premier  vaut 13 € de moins que le deuxième et le premier vaut 7 € de moins que le troisième.

Quel est le prix de chaque livre ( on vous donne le début du raisonnement : Si les 3 livres avaient le même prix que le premier, le prix total ( en € ) serait ……………)

Pb 5 :

Une vis avance de 3 mm en 5 tours. Combien fait-elle de tours  pour qu’elle avance de 21 mm.

3°) Quotient entier approché.

Tu vas partager équitablement 31 euros ( en pièces de 1 euros) entre 7 personnes ( chaque personne reçoit le même nombre  de pièces).

Comme nous ne sommes pas très fort en calcul, on commence par distribuer une pièce à chacun, puis on recommence et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste pas assez pour en donner une à tout le monde.

(mettre l’image)

Combien de distribution a-t-on fait à chaque personne ? ……

Combien reste-il de pièces non distribuées ? …………….

Vérification : 

Quel est le nombre de pièces distribuées au total :     7  ………=………..  et il en reste ……………………..

On obtient l’égalité suivante :    31 =   ( 7  … )  + …… 

Vous n’avez pas pu faire une cinquième distribution parce que le nombres de pièces est strictement inférieur à  …………( 7 )

Ce que nous écrirons  en langage mathématique :

4    <    7

L’entier «  4 »   que vous avez trouvé s’appelle  « quotient entier approché  de  « 31 » par « 7 »  et  « 3 » s’appelle « le reste »

Ici ….Dividende

3

1

7

Diviseur

Reste :

3

4

Quotient  entier ( « approché » ou « exact » suivant ..le cas)

Ces quatre nombres  vérifient   l’ égalité «  31 =  (  …..……)  + ……  et  l’inégalité  «  ……< ……. »

Cas particulier :

Au lieu de 31 pièces de monnaie il y en a maintenant  « 42 » ;

Faire le partage. Pour cela , vous proposez la division :  ( voir ci contre)

Le quotient est alors un quotient « exact »   , d’où  «  42  =   ( 7 6 )  + 0 » et on écrira : «  42  =   ( 7 6 )   »

4

2

7

- 4

2

6

=

0

Attention : dans le cas de « 131 » , on ne peut pas écrire  «  31 : 7 = 4 »

·        Cela voudrait dire que :  31 =  (  7.…4  ) ; égalité qui est fausse …

·        La seule égalité que l’on puisse écrire est :  «  31 =  ( 7 4 )  + 3 »

Exercice :   chercher le quotient entier ( exact ou approché) de « 962 par 27 »

Le reste est l’entier « 17 »

Le quotient entier  « approché » est l’entier «  35 »

Vérification : «  962 = ( 27  35  )  + 17     et     « 17 < 27 »

9

6

2

2

7

- 8

1

3

5

1

5

2

- 1

3

5

1

7

A retenir :

« a » et « b »  représentant des entiers naturels ( « b »  non nul ) pour chercher  le quotient  entier de « a »  par « b » , on pose la division.

a

b

·        Si « r = 0 » alors « q » est le quotient exact.

·        Si  «  r  0 »  alors « q » est le quotient approché.

·        Et on a  «  a = ( b  q) + r »    avec « r < b »

·        Ce qui permet de faire la vérification de la division.

q

r

EXERCICE  ET PROBLEMES.

Exercice :

Dividende (a)

Diviseur  ( b )

Quotient  ( q )

Reste ( r )

Egalité

a =  b q + r

Et

Inégalité

333

13

25

8

333 = ( 13 25) + 8.

8. <  13

445

14

31

11

445 = ( 14 31) + 11

11 < 14

123

7

17

4

350

22

15

20

5

7

0

Impossible  a < b

Et +++

Problèmes : 

N°1 :

On veut transporter le contenu d’un réservoir de 132 L avec un seau de 9 L .

Combien de voyages devra-t-on faire pour vider le réservoir.

N°2 :

On veut faire voyager de nuit 267 personnes par le train, en couchette.

Sachant qu’un wagon comporte 12 compartiments de « 6 » couchettes chacun.

Combien faudra-t-il de wagons ?

N°3

Une montre indique « 7 » heures. Quelle heure indiquera - -t –elle  dans 100 heures.

N°4

Pour fabriquer  1 kg de fromage de comté , il faut 12 L de lait .

Un agriculteur possède 9 vaches qui donne chacune 25 L de lait par jour .
Avec ce lait , on fabrique des meules de Comté qui pèsent chacune 60 kg .
Combien de meules peut-on fabriquer en une année ( 365 jours) avec la production de lait de cet agriculteur. ?

N°5

A  la rentrée scolaire , 205 élèves de 6^ème sont inscrit au collège.
Sachant que le nombre d’élèves par classe doit être le plus proche possible  « 24 » (sans être inférieur à 24) , Combien de classes y aura-t-il dans cet établissement. ?

Sachant que la répartition des élèves a été faite de telle sorte que le nombre d’élèves par classe ne diffère pas de plus de « 1 » d’une classe à l’autre , donne le nombre d’élèves pour chaque classe.