|
|
|
ENVIRONNEMENT du
dossier :
Objectif
précédent : |
Objectif suivant :
|
|
||
INFORMATIONS : Module : calcul algébrique
|
||||
LES
CALCULS FRACTIONNAIRES :
Suite : Les Formes algébriques
particulières .
|
|
|
|
1°)
Symbole : « » |
|
|
2°)
Symbole : « » |
|
|
|
|
|
3° ) forme : |
|
|
|
|
|
|
Travaux
auto formatifs. |
|
|
Corrigé |
||
TEST |
COURS
|
|
|||||
|
Il arrive quelque fois qu’une fraction , pour certaines valeurs particulières assignés
aux lettres qu’elle contient , voit s’annuler son numérateur ou son dénominateur
ou même l’un et l’autre , et prend une des formes : « » ; « » ; « » . Nous allons chercher le sens de ces
formes singulières , après s’être imprégné des
notions sur l’infini et sur ces limites. |
|
|
|
|
|
Symbole : « » |
|
|
Proposition -
Toute fraction « » dont le numérateur est nul sans que le
dénominateur soit nul ( ni infini) , est
nulle. En effet,
soit « x » la valeur de cette fraction. Une fraction étant l’expression
d’un quotient , les égalités « = x »
et « m x = 0 » sont
équivalentes. Or, pour que le produit de deux quantités déterminées soit nul ,
il faut et il suffit qu’un des facteurs le soit. Donc si « m » est une quantité
déterminée différente de zéro , « x » est
nul. Si
« m » était nul , la fraction « » serait
de valeur indéterminée. ( à
démontrer !!!!) |
|
|
|
|
|
|
|
Symbole : « » . |
|
|
|
Proposition -
Toute fraction de la forme « » .le numérateur « m » désignant une
quantité déterminée et différente de
zéro et le dénominateur
« 0 » désignant une quantité non pas rigoureusement nulle,
mais infiniment petite est le symbole de l’infini. |
|
|
|
|
|
En effet , un quotient dont le dividende est constant et dont
le diviseur décroît indéfiniment , croit lui-même indéfiniment en proportion
inverse ; Ainsi , les rapports : ont pour valeurs
respectives : « 30 ;
300 ; 3 000 ; 30 000 ; …. ». Par conséquent , une fraction dont le dénominateur est infiniment
petit est elle- même infiniment grande … |
|
|
|
|
|
Remarques : |
|
|
N°1 : Il importe de ne point perdre de vue que si
l’on considère comme symbole de
l’infini , le dénominateur
« 0 » ne désigne point le zéro habituel , mais une quantité
infiniment petite , une quantité variable décroissant indéfiniment et
s’approchant d’aussi prés qu’on veut de la valeur
limite de zéro. N°2 :
Si le dénominateur est actuellement « nul » ,
la fraction cesse d’exister. Il n’existe , en effet, aucune quantité « q » qui
satisfasse à la relation = q ; c'est-à-dire qui , multipliée par zéro , donne
un produit « m » différent de zéro. La division est d’une impossibilité absolue
. ( voir division algébrique : division possibles et
impossibles) ; ( voir
les cas particuliers de la division
des entiers ….à mettre en rappel ) Le
symbole à dénominateur nul , est donc le symbole d’une quantité impossible à
réaliser. |
|
|
N°3 : En considérant « 0 » comme
le symbole d’une quantité non pas nulle, mais s’approchant indéfiniment de
zéro , on peut donner à zéro « 0 » le signe . Par « + 0 », on désigne donc la limite
d’une quantité positive indéfiniment décroissante ,
et par « - 0 » la limite d’une quantité négative dont la valeur absolue décroît
indéfiniment ; en d’autres termes , « + 0 » représente une
quantité positive infiniment petite , et « - 0 » une quantité négative
infiniment petite. D’après cela , en désignant « + » l’infini
positif , c'est-à-dire une quantité infiniment croissante , et par « - » l’infini
négatif , c'est-à-dire une quantité infiniment croissante , en valeur absolue , et en
supposant « m » positif , on écrira : = + et = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
3° ) forme « indétermination » : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|