Définitions :

Info plus.

« Rapport » : On appelle « rapport géométrique » de « a » à « b » ; ou simplement « rapport » de « a » à « b » ; l’expression «  a : b » ou «  » de la division de « a » par « b » .

« Rapports » ; « fractions » et « quotients » sont choses identiques en algèbre.

Il en résulte qu’on doit appliquer aux rapports le principe fondamental des fractions algébriques , avec toutes ses conséquences.

On peut , sans altérer la valeur d’un rapport , multiplier ou diviser les deux termes par une même quantité.

Deux rapports :   et  dont chacun a pour dividende le diviseur de l’autre, sont dits « inverses »  ou « réciproques » .  Le produit de deux rapports inverses est l’unité ; car on a  x =   = 1 . Cette propriété caractéristique peut servir à définir les rapports inverses et justifie leur nom : à proprement parler , c’est une conséquence de leur définition naturelle.

Proportions :  On appelle « proportion géométrique » , ou simplement « proportion » , une égalité entre deux rapports. Ex :

Les dividendes ou numérateurs « a » et « c » s’appellent les « antécédents » ; les diviseurs ou dénominateurs « b » et « d » , les « conséquents » ; « a » et « d » sont les « extrêmes » et « b » et « d » sont les « moyens ».

On énonce souvent une proportion, surtout en géométrie , en disant : « a » est à « b » comme « c » est à « d ».

Chacun des quatre termes d’une proportion est une « quatrième proportionnelle » par rapport aux trois autres termes.,

Une proportion dont les moyens sont égaux est dite « continue » et le terme moyen s’appelle la « moyenne géométrique » ou la « moyenne proportionnelle » entre les termes extrêmes. Chacun des extrêmes est alors une « troisième proportionnelle » par rapport à l’autre extrême et à la moyenne.

Ainsi , la proportion =  donne « 4 » pour moyenne proportionnelle entre « 8 » et « 2 » . ; de même, d’après la proportion =  ; la moyenne proportionnelle entre «  9 a⁴ » et « 6a² » est «  6 a³ » .

Propriétés générales des proportions.

Théorème 1 : la condition nécessaire et suffisante pour que quatre quantités «  a ; b ; c ; d »soient en proportion est que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens.

1°) En effet , soit    ; réduisant les deux rapports au même dénominateur , on obtient :  ; d’où   «  ad = bc »

2°)  Réciproquement , soit «  ad = bc » : divisant de part et d’autre par « bd » , on a :  ; d’où , en simplifiant :

Corollaires :

N°1 :  Toute égalité entre deux quotients peut se transformer en une égalité entre deux produits, et réciproquement.

N°2 : On peut faire subir à une proportion toutes les transformations qu’on voudra , à la condition que le produit des extrêmes reste constamment égal au produit des moyens.

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N° 3 : Dans une proportion, on peut :

1°) intervertir l’ordre des rapports ;

2°) échanger les moyens ;

3°) échanger les extrêmes ;

4°) remplacer chaque rapport par son inverse.

L’équivalence entre   et    est évidente .

Quant aux  autres transformations , considérons la proportion :  : elle donne , en vertu du théorème fondamental, «  ad = bc » .Or , chacune

des proportions :  ;  ;  ; donne la même égalité «  ad = bc » et réciproquement, peut se déduire de cette égalité.

Remarque : Le second théorème permet d’écrire , sous huit formes différentes, une même proportion.

 ;     ;      ;     ;    ;     ;     ;    

Théorème 3 : Si deux proportions ont un rapport commun , les deux autres rapports forment proportion.

Les égalités :   et    donnent :

Remarque : De même , si l’on a    et   , on conclut     et si l’on a    et   , on conclut 

Théorème 4 : l’une quelconque des proportions suivantes , ou de celles qu’on peut obtenir par l’inversion des extrêmes et des moyens, entraîne toutes les autres.

   ;   ;  ;  ;  ;  ;   ;

On peut établir ce théorème de diverses manières.

Par exemple, soit à démontrer l’équivalence entre :   et   ; réciproquement , l’égalité   donne

D’où :   ou .

On établirait encore cette  équivalence , en montrant que l’une et l’autre proportion fournissent la même égalité «  ad =  bc » entre le produit des moyens.

Théorème 5 : En multipliant terme à terme plusieurs proportions ou en divisant terme à terme deux proportions , on obtient une nouvelle proportion.

En effet, les égalités   ;   ;  ; multipliées membre à membre, donnent : 

Les deux premières égalités, divisées membre à membre , donnent  ; d’où

Théorème 6 : En valeurs absolues , les puissances ou les racines de même degré des quatre termes d’une proportion forment une proportion.

En effet :

1°) l’égalité  , en vertu du théorème précédent , peut être multipliée plusieurs fois par elle –même et donne  =  ;

d’où  =

2°) Les puissances « n^ième »  de   et de   étant   , il y a équivalence entre les égalités   =   et , au point de vue des valeurs absolues.

SITUATIONS PROBLEMES.

N°1   Trouver l’un des quatre termes d’une proportion , connaissant les trois autres.

Réponse : la relation fondamentale «  ad = bc » conduit aux règles suivantes :

1°) Pour obtenir une « terme extrême » , on divise le produit des moyens par le terme extrême déjà connu : car on a «  a =  »

2°) Pour obtenir  un terme moyen , on divise le produit des extrêmes par le terme « moyen » déjà connu ; car on a  «  b =  »  

N°1   Trouver la moyenne géométrique entre  deux quantités.

Pour obtenir la moyenne géométrique entre deux quantité données on extrait la racine carrée du produit de ces quantités. Car la proportion continue    donne la relation «  x² = ad »  ou  « x =  

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Rappel :

 En géométrie , on établit qu’un rectangle de largeur « a » et de longueur « b » est équivalent en surface à un carré ayant pour côté «  x =  »

Par généralisation , on appelle « moyenne géométrique » entre « n » quantités «  a ; b ; c ; d ; e ; … » une quantité « x »