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La division euclidienne
Lecture : Les ensembles
Voir : relation d’équivalence et partition d’un ensemble (à faire )

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

TITRE : L’ensemble des nombres Entiers Naturels : N

1. Suite des nombres entiers naturels.

2. Axiomes

3. Relations d’ordre.

4. Numération des nombres entiers.

Système décimale

Système binaire

Système complexe

Travaux ; devoirs				Corrigé
TESTS.			Activités sur le nombre entier
TEST	Contrôle	évaluation		Contrôle	évaluation

Interdisciplinarités : (matière concernée)

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

COURS

1 ) la « Suite » des entiers naturels .

Nous connaissons, en français , la suite de mots : un , deux , trois , quatre , ….., vingt , ….., cent , ……mille , etc.

Cette liste est dite « suite des nombres entiers naturels » .

Nous pouvons la faire précéder du mot « zéro » que nous considérons comme le premier des nombres de cette suite .

2 ) Axiomes :

nous pouvons énoncer les « proposition » suivantes :

a) zéro est un nombre entier naturel (noté 0 ) ;

b) pour tout nombre entier naturel , n , il existe un entier unique noté n⁺ qui est le successeur de n ;

c) zéro ne succède à aucun entier ;

d) si deux nombres entier naturels ont même successeur ils sont égaux ;

e) l’ensemble des mots ci-dessus est unique . Tout ensemble qui contient zéro et le successeur de chacun de ses éléments est confondu avec celui-ci . (notamment la suite des nombres entiers naturels exprimés dans une autre langue que le français.)

L’ensemble ainsi défini est dit « ensemble des entiers naturels » noté N ( zéro compris )

On note N* ( la lettre N suivi d’une étoile en exposant ) l’ensemble des entiers naturels , zéro non compris.

Remarques : nous connaissons intuitivement les cinq propositions ci-dessus . Elles constituent les « données initiales », les « règles du jeu » de l’opération « dénombrement » qui sera étudié . Ce sont des axiomes. Leur énoncé par Péano (Guiseppe) Mathématicien et logicien italien ( 1858 – 1932) a permis de les utiliser pour « démontrer » les autres propriétés des nombres entiers naturels.

Ainsi :d’après la proposition « b » la formation des nombres entiers se poursuit sans fin par le procédé de succession .

L’ensemble N est infini .

Nombres entiers égaux : nous démontrons et nous accepterons que l’égalité de deux nombres entiers est réflexive ; symétrique ; transitive .

Une relation qui possède ces trois propriétés est dite relation d’équivalence.

Relation d’ordre sur N

Inégalité au sens strict :

Nous disons que n est inférieur à m et nous écrivons n < m , pour exprimer que , dans la construction de l’ensemble N par le procédé de succession , le nombre n est obtenu avant le nombre m .

Ainsi tout nombre n est inférieur à son successeur n⁺ , et nous obtenons la suite d’inégalités :

Zéro < un < deux < trois < quatre <…. < n < n⁺ < …..

1°) la relation d’inégalité stricte n’est pas réflexive : n n’est pas inférieur n .

2°) Elle n’est pas symétrique : n < m exclut m < n ni antisymétrique : n < m et m< n , sont contradictoires et n’impliquent pas m =n

3°) Elle est transitive : n < m et m < p Þ n < p

Les trois nombres n , m , p se trouvent dans cet ordre dans la suite des nombres entiers naturels .

NUMERATION .

Objet de l’étude

Après l’étude de l’ensemble N des nombres entiers naturels ; le problème qui se pose est de désigner par un nom et de représenter par des chiffres tout entier « n » .

Nous devrons utiliser la recherche du quotient entier d’un dividende D par un diviseur d .

Rappels des relations qui doivent être connues par les élèves .

d q £ D < d ( q + 1 ) et D = d q + r , 0 £ r < d

Système décimale Linfo ++)

Problème : désigner et représenter le nombre P des éléments d’un ensemble par exemple un tas de pions .

Nombre de base : prenant les pions un à un , nous désignons le nombre formé par un nom et le représentons par un chiffre .

un	deux	trois	quatre	cinq	six	sept	huit	neuf
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Nous y joignons zéro ( 0 ) qui indique l’absence de pions . Le nombre suivant : « dix » est appelé base du système .

Nombres supérieurs à 9 :

Notre tas comporte plus de 9 pions .

a) formons de piles de dix pions : des dizaines , jusqu’à ce qu’il reste moins de dix pions : soit D le nombre de dizaines et le reste par exemple 7 ; qui donne le chiffre u des unités simples .

Nous reconnaissons , dans notre opération , le principe de la division du nombre P par dix : D est le quotient entier , 7 est le reste .

P = D ( dix) + 7

0 £ 7 < dix

dix

b) groupons les dizaines par dix : nous formons des centaines .

Leur nombre C est le quotient entier de D par dix , et le reste , par exemple 6 , est le chiffre des dizaines.

D = C ( dix) + 6

0 £ 6 < dix

dix

c) Groupons les centaines par dix : nous formons des milles.

Leur nombre M (mille) est le quotient entier de C (cent) par dix , et le reste par exemple 2 , est le chiffre des centaines .

C = M ( dix) + 2

0 £ 2 < dix

dix

d) Supposons M inférieur à dix ; par exemple M = 4 ; M est à la fois le nombre et le chiffre des mille : L’opération est arrêtée .

e) Résumons . Nous avons successivement :

P = D ( dix) + 7

D = C ( dix) + 6

C = M ( dix) + 2

M = 4

En remontant les calculs nous obtenons :

M = 4

C = M ( dix) + 2

C = 4 ( dix) + 2

D = C ( dix) + 6

D = [4 ( dix) + 2] ( dix) + 6

Soit :

D = 4 ( dix)² + 2 ( dix) + 6

P = D ( dix) + 7

P = [4 ( dix)² + 2 ( dix) + 6 ] ( dix) + 7

Soit :

P = 4 ( dix)³ + 2 ( dix)² + 6 ( dix) + 7

Par convention nous écrivons : P = 4 267 et nous lisons : quatre mille , deux centaines , six dizaines et 7 unités .

Cas particuliers . Représentation de la base et de ses puissances.

( INFO ++++)

. dix = 1 (dix) + 0 , d’après notre convention nous écrivons dix = 10

. Cent = (dix) (dix) + 0 = 1 ( dix)² + 0 ( dix) + 0

nous écrivons cent = 100 et par suite : 10² = 100

de même nous trouvons : mille = 1000 et par suite 10³ = 1000

en règle générale : 10ⁿ = 1000…0 ( n zéros)

Une unité d’ordre « n » est représentée par 10ⁿ , c’est à dire par le chiffre 1 suivi de n zéros .

Remarque : le nombre P s’écrit :

P = 4 10 ³ + 2 10 ² + 6 10 + 7 ; symbolisé ainsi P = 4267

Règle : la notation en base 10 , exprime , dans le système décimal , le nombre :

( a 10⁴ ) + ( b 10³ ) + ( c 10² ) + (d 10¹) + ( e 10⁰)

avec [ a , b , c, d, e < 10 ]

Conventions de la numération décimale écrite : ( INFO +++)

Nous avons en fait appliqué les conventions suivantes :

1) Unités , dizaines , centaines , mille , etc. , sont dits ordre de numération.

2) dix unités d’un ordre forment une unité de l’ ordre immédiatement supérieur .

3) Tout chiffre placé à la gauche d’un autre représente des unités de l’ordre immédiatement supérieur , le zéro indique l’absence d’unités de l’ordre correspondant à sa place .

4) Les trois premiers ordres forment la classe des unités simples. Les suivantes sont celles des milles , des millions , des milliards.

Chacune comprend trois ordres : unités , dizaines , centaines .

Les classes suivantes : billions ( mille milliards) , trillions ( un million de billions) , quadrillions ( un million de trillions) … comprennent chacune six ordres ( décret N° 61-051 du 3 mai 1961)

D’autre systèmes utilisés :

D’autres bases que « dix » peuvent être utilisées. Les plus usités sont : « douze ».( rangement par douzaines ) et « deux » .

Le système binaire : ( à base deux)

Le système à base deux est employé dans les machines électroniques , il utilise deux chiffres 0 et 1 . ( pour : 1 le courant passe ; 0 le courant ne passe pas ).

Les résultats précédent subsistent , il suffit de remplacer dix par deux .

Exemple :

a)le nombre = m (deux)³ + n ( deux)² + p (deux)¹+ q (deux)⁰