Pré requis:

ARC
ANGLE

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths.fr	Objectif précédent   : Longueur de la circonférence	Objectif suivant : Aire d’une partie d’un secteur angulaire.	Liste des cours de géométrie plane

DOSSIER : Calcul de la longueur d’un  arc .

( angle au centre  exprimé en degré ; grade ou radian)

·      Calcul de la mesure d’un arc.(angle au centre)

·      Longueur d’un arc ( angle en degré)

·      II )   LONGUEUR D’UN ARC  ( angle en grade)

·      III )   LONGUEUR D’UN ARC  ( angle en radian)  :

 

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité : Voir fiche en arithmétique   Calculs dans le cône de révolution (fiche 2).

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

 

COURS

 

Calcul de la mesure  d’ un  arc :

 

On dit aussi :    Calculer la longueur d’un arc de cercle engendré par un angle «  n »  , et de rayon  « R ». R = d( O,A) ou d(O,B)   « n » est appelé « angle au centre »

 On mesure rarement la longueur d’un arc 

 

Pré requis :Pour calculer la longueur d’un arc ; il faut savoir calculer la longueur de la circonférence du cercle  ( C ) :

La longueur de la circonférence  du cercle  (désigné par :  C ou Pd )   est égale  au périmètre du disque "Pd". Pd = p  D  ou  2 p R

 

LONGUEUR D’UN ARC :    ( 3 cas possibles )

 

 

 

 Dans un cercle donné , la longueur d’un  arc est proportionnelle à sa mesure en degré ou en grades .

 

I )   LONGUEUR D’UN ARC  ( angle en degré)  :

 

Pré requis ; :le degré  et le système sexagésimal : Système sexagésimal

INFO PLUS +++++

Le cercle est divisé en 360 arcs égaux , chacun de ces arcs est appelé « degré- arc » ; le degré – arc est donc la 360^e partie du cercle .

Le degré – arc ( ° ) est l’unité d’arc dans le système sexagésimal .

Sous multiple de « degré – arc » .

La minute – arc  ( ’ ) est la 60^e  partie du degré – arc ;

La second – arc  ( ’’ ) est la 60^e  partie de la minute  – arc ;

Les opérations sur les nombres qui mesurent les arcs en degré , minutes , secondes s’effectuent suivant des règles particulières .(Voir : INFO plus)

 

 

 

Calcul de la longueur d’un arc de cercle dont l’angle est exprimé en degrés :  ( a °)
Formule :  lg arc = °	On divise le périmètre du cercle en 360 parties égales ; pour multiplier par le nombre degrés de l’angle au centre de l’arc.
Si l’angle alpha(  )vaut 30 ° le rayon ( OA ou OB ) 35 mm : On sait que lg arc = ° ;     soit : lg arc = ° = = mm

Voir : Aire du secteur circulaire

On obtient la longueur d’un arc en multipliant la longueur de la circonférence par le nombre de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360.

 

En statistique une des représentations graphiques des pourcentages est le « diagramme circulaire » .  La circonférence est divisée en 100 parties égales ;   Relation entre % et valeur en degré : 360° représente 100%   ;  soit  ; Le 1% représente 3,6° d’angle

INFO Plus ++++

 

II )   LONGUEUR D’UN ARC  ( angle en grade)  :

Pré requis : le grade et le système décimal

Le système décimal

INFO PLUS ++++

 

 

Le cercle est divisé en 400 arcs égaux ; chacun de ces arcs est appelé « grade -arc » ; le grade- arc est donc la 400^e  partie du cercle

Le grade – arc , en abrégé : gr , est l’unité d’arc dans le système décimal.

Sous multiple du « grade – arc » :

Le décigrade- arc  , en abrégé : dgr est égal à 0,1 grade – arc

Le centigrade- arc  , en abrégé : cgr est égal à 0,01 grade – arc

Le milligrade- arc  , en abrégé : mgr est égal à 0,001 grade – arc

Les opérations sur les nombres qui mesurent les arcs en grades , décigrades , milligrades sont les mêmes que les opérations sur les nombres décimaux.

 

Calcul de la longueur d’un arc de cercle dont l’angle est exprimé en grades :  ( g )
Formule :  lg arc =	On divise le périmètre du cercle en 400 parties égales ; pour multiplier par le nombre grades de l’angle au centre de l’arc.
Si l’angle alpha(  )vaut 30 g le rayon ( OA ou OB ) 35 mm : On sait que lg arc de 1 g =  ;   soit : lg arc de g  (grades) =      si  R = 35 mm  , et g =  =  16,485mm

Voir : Aire du secteur circulaire

On obtient la longueur d’un arc en multipliant la longueur de la circonférence par le nombre de degrés de l’arc et en divisant le produit par 360.

III )   LONGUEUR D’UN ARC  ( angle en radian)  :

 

Pré requis : le grade et le système décimal

 

 

Mesure d’arc en radians	INFO PLUS +++
Le radian , en abrégé : rd , est l’arc dont la longueur est égale au rayon du cercle auquel il appartient .   Cette unité est  l’unité légale d’arc

 

 

 

Calcul de la longueur d’un arc de cercle dont l’angle est exprimé en radian :  ( w )    (w  lire « oméga » » )
Théorème :      la longueur d’un arc de cercle est égale au produit de son rayon par sa mesure en radian .
La longueur d’un arc de 1 rad est R . Celle d’un arc de w rad  est donc Rw   :      l = Rw   En particulier , dans un cercle de rayon 1 , la longueur d’un arc est égale à sa mesure en radians .

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO _ FORMATIFS

 

CONTROLE:

 

1°)   Donner la définition d’un « angle au centre :

Un angle au centre est un angle qui a son  sommet au centre d’un cercle .

 

2°) Le cercle est divisé en 400 arcs égaux ; chacun de ces arcs est appelé « grade -arc » ; le grade- arc est donc la 400^e  partie du cercle

 

 

 

EVALUATION: