le cone de révolution et le tronc de cône ; calculs; classe de troisième

 

 

Programme de Troisième .

 

Classe de Troisième  ( P 3)

 

 

 

 

Pré requis

 

 

 

Le triangle

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ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent : l’unité de volume    Sphère metallique

Le conne et le tronc de cône (définitions)

Objectif suivant : les calculs d’aire et volume  d’un cône Sphère metallique

  1. Les solides de révolution.
  2. Les volumes (cours)

DOSSIER :

 Fiches sur : LE CÔNE de révolution et le tronc de cône. :

 

 

Fiche 1 : Cône de révolution et tronc de cône.

 

 

Fiche 2 : Calcul dans le cône de révolution.

 

 

Fiche 3 : Calcul des dimensions d’un patron de cône.

 

 

 

 

 

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Fiche 1 : Cône de révolution et tronc de cône.

 

 

Ci-contre on vous donne un dessin qui représente en  perspective cavalière un cône de révolution.

 

« S » est le sommer du cône.

Sa base est un disque . « O » est le centre du disque.

 

[ SO ]  est hauteur.  ( SO) est l’axe du cône.

 

( SO ) est perpendiculaire au plan de base.

 

[ OM ] étant un rayon du disque de basez,  ( SO ) est perpendiculaire à ( OM ), le triangle « SOM » est donc un triangle rectangle.

 

pyra019

 

 

Expliquez pourquoi (verbalement) la longueur « SM » est toujours la même quelle que soit la position de « M » sur le cercle de base.

 

On dit que le cône est engendré par le triangle « SOM » tournant autour de l’axe (SO).

« Faire un tour complet »  se dit aussi « faire une révolution », d’où le nom de « cône de révolution ».

 

Le segment [ SM ] est appelé « génératrice ».

En tournant, il engendre la surface latérale du cône.

 

 

 

Intersection d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base.

 

 

 

Ci-contre un cône « C » de sommet « S ». « O » est le centre du disque de base .

 

« P » est plan de la base. « P’ » est un plan parallèle à « P ».

 

Il est possible de démontrer que l’intersection du cône « C » par le plan « P’ » est un disque dont le centre est sur « (SO ) »

 

Le plan « P’ » partage le cône « C » en un cône « C’ » et un « tronc de cône » .

Le cône « C’ » apparaît comme une réduction de « C ».

pyra020

 

 

 

 

 

Fabrication d’un cône révolution et d’un tronc de cône.

 

 

 

 

 

Prenez la dernière page de ce dossier (Page patron ( fiche 1 ) ) ;, découpez le patron du cône « C’ » et du tronc de cône. , puis faites les collages nécessaires pour obtenir ces deux solides.

 

Vous pouvez vérifier en plaçant convenablement le cône « C’ » sur le tronc de cône que l’on obtient bien le cône « C ». 

 

 

 

 

 

Fiche 2 : Calcul dans le cône de révolution.

@ info +++  et calcul d’arc….

 

 

 

 

 

Nous reprenons le cône « C’ » et son patron.

 

Le patron est un secteur de disque de 72 mm de rayon et dont l’angle est égal à 135° .

Nous allons calculer le rayon « R » de la base , la hauteur « h » , l’ aire latérale  et l’angle du cône.

 

A ) Calcul du rayon « R ».

 

La longueur du cercle de base du cône est égale à la longueur de l’arc   du patron.

 

La longueur du cercle de base est égale à :   

pyra021

 

 

La longueur de l’arc   est proportionnelle  à l’angle .

 

Elle est les  de la longueur du cercle entier.

La longueur du cercle entier est égale à :

 

pyra023

 

 

La longueur de l’arc   est égale à :  s

On a alors     , d’où 

C'est-à-dire :

 

 

 

 

 

 

B ) Calcul de la hauteur « H »

 

 

 

« M » étant un point quelconque du cercle de base , le triangle « SOM » est un triangle  …………….. ( voir la fiche n° …..)

 

Grâce au théorème de Pythagore , on peut écrire :  SO²  = SM ² - OM ²

Or « SM » est égal au rayon du disque du patron donc :      SM = ……………………mm

 

Terminez le calcul :   H ² = ………………

 

 

 

 

 

C ) Calcul de l’aire de la surface latérale.

 

 

 

C’est  les     de l’aire du disque de rayon  72 mm .  Faites le calcul.

 

 

 

 

 

D ) Calcul de l’angle du cône.

 

 

On appelle « angle de cône » le double de l’angle   du triangle « SOM » qui engendre le cône.

 

 

 

Continuez le calcul de donner le résultat à 1° prés .

 

pyra024

 

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Calcul des dimensions d’un patron de cône.

 

 

 

 

 

 

Calcul du rayon .

 

Le patron est un secteur de disque dont le rayon est égal à la longueur de la génératrice [ SM ]  du cône.

 

Dans le triangle « SOM » rectangle en « O » , vous pouvez calculer « SM ».

 

pyra025

 

 

 

 

 

 

Calcul de l’angle.

 

Nous appelons «  »  cet ange. On peut écrire :

 

 

La longueur de l’arc « AB » est égale à la longueur du cercle de base du cône.

pyra026

 

 

 

Cette longueur est égale à : …………………….( Donnez la relation , n’effectuez pas le calcul )

 

Longueur du cercle du patron : …………………….( Donnez la relation , n’effectuez pas le calcul )

 

         d’où                =      ………………….L’angle est égale à :………………………..

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Page patron ( fiche 1 )

 

 

Base du petit cône.

 

 

cone003

 

 

Base pour le tronc de cône.

 

 

cone002

 

 

cone001