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Les Statistiques info |
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Cours
collège 5ème : le pourcentage et le diagramme
semi-circulaire. |
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Représentation graphique d’un pourcentage |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
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2°) les graphiques (inventaires) |
Objectif suivant : 1°)Statistique présentation
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DOSSIER :
Les diagrammes "à secteurs circulaires"
Et
construction et interprétation d’un diagramme circulaire.
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I )
Le diagramme à secteurs circulaires . |
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II )
Le diagramme à secteurs semi-circulaires . |
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TEST 1: |
COURS |
Devoir Contrôle |
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Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
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Les diagrammes
circulaires ou « à secteur circulaire »
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I )
Le diagramme à secteurs circulaires . |
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Un diagramme circulaire admet pour support un disque découpé en secteurs
dont les aires sont proportionnelles aux pourcentages des différents
constituants de la population statistique .
Dans un diagramme circulaire ( ou semi
circulaire) , les mesures des angles des
secteurs angulaires sont proportionnelles aux effectifs ( ou aux fréquences)
associé(e)s.
Une fréquence de 100% correspond à un angle de 360° pour un diagramme
circulaire et à 180 ° pour un diagramme
semi circulaire .
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Les informations suivantes sont
tirées d’une étiquette d’un fromage
allégé Quelle analyse pouvez-vous en tirer ? |
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Secteurs angulaires et pourcentages: |
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Activités : 1°) Vérifier que la somme des pourcentages est égale à 100%. 2°) Avec un rapporteur mesurer les secteurs angulaires
, vérifier que la somme de ces secteurs est égale à 360° |
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TRACER d'un diagramme à secteurs circulaires:
1°) Dans un diagramme circulaire on partage un disque en secteurs dont la mesure de l'angle au centre est
proportionnelle à l'effectif de la valeur correspondante du caractère . ( n )
2°) Le diagramme à secteurs
circulaires est utilisé pour représenter graphiquement un caractère
qualitatif ou quantitatif .
Remarque : la représentation graphique d'un caractère qualitatif peut être aussi un diagramme
"bâtons".
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Les
mesures des angles au centre des secteurs sont proportionnelles aux effectifs
correspondants. Un angle de 360° correspond à l'effectifs total : N A un effectif partiel "n" correspond un angle de : a = |
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Activité 1 :
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Ce diagramme représente les
dépenses d’un jeune salarié , en pourcentage . |
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Avec
un rapporteur mesurer les secteurs
angulaires , traduisez
en pourcentage chaque dépense . Se
souvenir que les 360° représentent 100% des dépenses. Un
secteur angulaire d'une valeur de 1° représente un % de
Pour un angle de a °: le secteur angulaire de a ° représentera un % de:
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Domaine |
Valeur
angulaire |
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Logement Alimentation Culture - loisirs Habillement Equipement du logement Impôts Hygiène - santé Transport . |
= 60° = …………………………………….. =
………………………………… = ……………………………………….. = ……………………………………….. =………………………………………… = ………………………………………… =………………………………………. |
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Total : |
=
…………………………………………. |
Exemple
: quel est le pourcentage réservé au logement ?
Le secteur angulaire
"logement" est de 60° ; ce secteur représente 
» 16,7
soit
le logement représente une dépense de
16,7% du budget total .
Activité 2 :
Exemple :
On veut
construire un diagramme circulaire ; on demande de calculer ( de déterminer)
les valeurs angulaires (en degré) pour
chaque partie composant le budget .
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On nous dit que le budget de
la France en 1969 correspond à 171,5 milliards de francs. Ce budget est réparti ainsi : · 45,9 pour l’ action
économique · 34
pour l’ éducation · 29,4
pour la défense · 25,2
pour l ‘ action sociale · 17
pour l’administration générale · 6,8
pour l’ habitation · 13,1
pour le « divers » Solution : Remarque : le point d’un cercle qui balaye un arc de 360 ° (soit qui
fait un tour )
représente les 171,5 milliards de francs On calcule la valeur
angulaire qui concernera chaque
part du budget : |
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- "45,9" pour l’ action économique
sera représentée par un secteur angulaire d' angle : a =
= 
= 96,4 ° - "34" pour l’ éducation sera
représentée par un secteur angulaire d' angle : a = :
» 71,37 °
- "29,4" pour la défense sera représentée par un secteur
angulaire d' angle : a = :
» 61,71°
- "25,2" pour
l ‘ action sociale sera représentée par un secteur angulaire d' angle : a =:
» 52,90°
- "17" pour l’administration générale sera représentée par
un secteur angulaire d' angle : a =:
» 35,69°
- "6,8" pour l’ habitation sera
représentée par un secteur angulaire d' angle : a =:
» 14,27°
- "13,1" pour le « divers » sera représentée par
un secteur angulaire d' angle : a =:
» 27,50 °
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Il
suffit de tracer un cercle , et d’additionner les secteurs angulaires. Ce qui a donné le découpage du disque suivant : |
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Activité 3
: Traduire en pourcentage les catégories d’ages
d’une classe de même section. |
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Solution : 1°)
mesurer les secteurs angulaires.
2°) Pour
chaque catégorie d'âge appliquer la
relation :
-
11ans: -
12 ans : -
commentaire :dans la section
il y a 6,9 % d'enfants de 10 ans ;
59,7 % d'enfants de 11 ans et 33,4
% d'enfants de 12 ans . |
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Autre exemple de situation problème sur les « diagrammes circulaires » ou
« le diagramme à secteurs circulaires ».
Application et construction d’un diagramme circulaire
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Exemple : Le budget de la France en 1969 correspond à 171,5
milliards de francs. Il est réparti ainsi : 45,9 milliards pour l’ action économique 34 milliards
pour l’ éducation 29,4
milliards pour la défense 25,2
milliards pour l ‘ action
sociale 17 milliards pour l’administration générale 6,8
milliards pour l’ habitation 13,1
milliards pour le « divers » Question : exprimez en
pourcentage ces répartitions. |
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Réponse : Calculs permettant d'exprimer en
pourcentages ces répartitions :
Se souvenir que :
Se
souvenir que les 360° représentent 100% des dépenses.
Un
secteur angulaire d'une valeur de 1° représente un a% de 
;
Pour un angle de a °: le secteur angulaire de a ° représentera un % de:
a% = 
ou a % = 
Calculs permettant d'exprimer en pourcentages ces répartitions :
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45,9 pour l’ action économique |
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34 pour l’ éducation |
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29,4 pour la défense |
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25,2 pour l ‘ action sociale |
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17 pour l’administration générale |
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6,8 pour l’ habitation |
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13,1 pour le « divers » |
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Inversement : On connaît la répartition en pourcentage .A partir de ces données ;
on veut tracer un diagramme (à secteurs) circulaire .On désire connaître les valeurs
des angles en grade
( on peut
poser la même question ,mais on
chercherait des valeurs des angles en degrés)
Résolution 1
: Comme 100 % correspond au disque
entier soit 400 grades , il en résulte que 1 % sera représenté par
4 grades . Sur le diagramme
circulaire ; on a tracé des secteurs angulaires dont les angles au centre
, ont pour valeur :
On utilisera la relation :
a (grade)= 4
a % 
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A « a% » |
26,8 |
19,8 |
17,2 |
14,7 |
9,9 |
4 |
7,6 |
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Correspond l’angle en gr. : |
107,2 |
79,2 |
68,8 |
58,8 |
39,6 |
16 |
30,4 |
Il est possible de calculer l'angle d'un secteur
angulaire ( en grade) d'une composante
en utilisant la relation:
a (grade)
= 
ou
"n" est la valeur d'une composante et "N" la somme des
valeurs des composantes.
Résolution 2 :
Comme 100 % correspond au disque entier soit 360 ° , il en résulte que 1
% sera représenté par 3,6° degré . Sur le
diagramme circulaire ; on a tracé des secteurs angulaires dont les
angles au centre , ont pour valeur :
On utilisera la relation :
a (degré)= 3,6 a %
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A « a% » |
26,8 |
19,8 |
17,2 |
14,7 |
9,9 |
4 |
7,6 |
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Correspond l’angle en degré . : |
96,48° |
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14,4 ° |
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Il est possible de calculer l'angle d'un secteur
angulaire ( en grade) d'une composante
en utilisant la relation:
ou "n" est la valeur d'une
composante et "N" la somme des valeurs des composantes.
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II )
Le diagramme semi-circulaire . |
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Faites
un diagramme « semi-circulaire » . Pour
cela, utilisez le demi-disque ci-contre . Vous
partagez ce demi-disque en 5 secteurs. Les angles de ces secteurs sont
proportionnels aux nombres de députés . ( ou aux pourcentages). Le demi-disque représente les
« 450 » députés , il correspond à
« 180° ». Commencez par calculer l’angle de
chacun des secteurs ( Complétez le tableau). |
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Exemple : le
parti rouge représente les 12% de l’assemblée nationale. L’angle
du secteur le représentant est donc |
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Après
avoir dessiné les secteurs , vous pouvez les
colorier……………………… |
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ACTIVITE complémentaire :
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Voici
la répartition de notes dans une classe de 25 élèves : |
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Notes
« x » telles que : |
5 < x |
5 £
x < 10 |
10 £
x < 15 |
15 £
x |
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Fréquences de ces
notes |
8% |
20 % |
48 % |
24% |
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a)
Combien d’élève ont une note comprise entre 10 et 15 ? Réponse : 12 = 25 fois
0,48 |
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b)
Combien d’élève ont au moins une note
10 ? réponse : 25 fois ( 0,48 + 0,24) = 18 |
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c)
Combien d’élèves ont moins de 15 ? réponse : 19 25 fois ( 0,08 + 0,2+0,48)
= 19 |
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d)
Représente les indications du tableau par un diagramme circulaire. (utiliser
le cercle tracé dans le cadre ci contre) |
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Tracer des
secteurs angulaires et le diagramme est renseigné. 0 à 5 exclu : 360 fois 8 divisé par 100 = 28°8 5 inclus à 10 exclu :
3,6 fois 20 = 72° 10 inclus à 15 exclu :3,6 fois 48 = 172,8 ° 15 et au dessus de
15 : 3,6 fois 24°= 86,4° la somme des secteurs = 360° |
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Un
commerçant applique aux prix marqués deux remises successives de 10% et 5 %. Par
quel nombre doit -on multiplier les prix marqués pour obtenir les prix payés
par le client après application des deux remises ? Démarche : 0,90 fois
0,95 = 0,855 On peut obtenir ce nombre à partir de prix marqué , ou autre
démarche. Prix à payer = [(100 - 10)/ 100] fois le prix remisé fois [(100 - 5 ) /100] |
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On
place un capital de 6 000 € à
intérêts composés pendant 3 ans au taux annuel de 4,5% . Calculer
l’intérêt à terme produit par ce
capital. |
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En utilisant la formule on
doit trouver : 846,99 € ou 847 € |
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N°4 |
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Un
touriste se rend dans un pays étranger (D. E). Il emporte 500 devises de ce pays ( D .E) acheté en
France et il échange 1 000 €
dans ce pays (D.E) . Au retour , il lui reste 85 D.E qu’il reconvertit en € en
France. |
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Questions : 1°)
Quel est le montant de ses dépenses en D.E 2°)Quel
est le montant de ses dépenses en € |
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Cours
en France |
Cours
en D.E |
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La
banque achète …… |
100
D.E : 340 € |
100
€ :28,50 D.E |
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La
banque vend ……. |
100
D.E : 346 € |
100
€ : 30,60 D.E |
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Réponse : Change des 1000
€ : 285 D.E Change des 500 D.E = 1730
€ ( 346 fois 5 ) Cange des 85 D.E en
€ : 289 € ( 3,40 fois 85 ) Dépense en D.E : 700 D.E Dépense en € :
2 441 € |
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TRAVAUX AUTO – FORMATIFS CO
Compétez les phrases suivantes :
Un diagramme circulaire admet pour support un disque découpé en secteurs dont les aires sont proportionnelles aux pourcentages des différents
constituants de la population statistique .
Dans un diagramme circulaire ( ou semi circulaire)
, les mesures des angles des secteurs
angulaires sont proportionnelles aux effectifs (
ou aux fréquences) associé(e)s.
Une fréquence de 100% correspond à un angle de 360° pour un diagramme circulaire et à 180 °
pour un diagramme semi circulaire .
EVALUATION
1°) le diagramme ci - dessous donne la répartition
de la de la population mondiale par grandes zones en 1994.
a : mesurer les angles des différents secteurs et compléter la 2ème colonne du tableau suivant
.
b: sachant qu'un angle de 10 ° correspond à 150
millions d'habitants , déterminer la population de chaque secteur .
c: Compléter le tableau :
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Zone d'habitation |
Angle du secteur |
Population ( millions
d'habitants) |
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Total |
360° |
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2°) le budget
d’un jeune salarié
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Dans un cercle figurant le gain mensuel d’un
jeune salarié , on a tracé des
secteurs représentant les différentes dépenses. |
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Ce cercle est aussi appelé « diagramme circulaire » |
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Activités :
Reproduire ce graphique ;Pour faciliter votre
travail le cercle a d’abord été divisé en 12 parties égales comme le cadran
d’une montre .)
Que représente le secteur blanc ?
En commençant par calculer le montant du loyer ,
déterminer la valeur des autres dépenses . ( le gain mensuel étant de 960 € )
Evaluation (suite)
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Voici
la répartition de notes dans une classe de 25 élèves : |
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Notes « x » telles que : |
5 < x |
5 £
x < 10 |
10 £
x < 15 |
15 £
x |
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Fréquences de ces notes |
8% |
20 % |
48 % |
24% |
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a)
Combien d’élève ont une note comprise entre 10 et 15 ? |
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b)
Combien d’élève ont au moins une note
10 ? |
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c)
Combien d’élèves ont moins de 15 ? |
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d)
Représente les indications du tableau par un diagramme circulaire. (utiliser
le cercle tracé dans le cadre ci contre) |
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