Pré requis:
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ENVIRONNEMENT
du dossier:
Objectif précédent : 1°) Etudie
précédente : la somme de deux ou trois vecteurs. 2°)
revoir : multiplication d’un vecteur par un scalaire. 3°)
l’addition géométrique de vecteurs . |
Objectif
suivant : |
Info générales : |
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Objectif
suivant A ) Calculs
…de coordonnées …spécifiques…… B ) suite : « vecteurs » 1°) Composantes d’un vecteur dans un repère . 2°) Somme de vecteurs
"colinéaires" 3°) Addition
géométrique de plusieurs vecteurs. 4°) info divers
sur le barycentre. 5°) Voir : un point
« M » positionné relativement à des vecteurs unitaires ( géométrie dans l’espace) : |
Module : LES
VECTEURS
DOSSIER : les
coordonnées dans un repère ; AXE
DE COORDONNEES et changement d’axes.
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· Présentation d’un repère non ortho -non normé. |
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: Pb.1 et pb 2 |
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· Cours ( suite 1 ) : distance entre deux
points. |
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Changements
d’axes par translation : pb. 3 ; 4 ; 5 ; 6 |
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· Cours (suite
2) : pb. 7 ;
8 ; 9 |
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· Cours (suite
3) :cas « y= ax² + bx
+ c » et Généralisation…. |
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité : |
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COURS
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Deux droites indéfinies « x ‘ O
x » ; « y ‘ O y » se coupent au point « O ».
Si l’on marque sur « x ‘ O
x » un vecteur unitaire |
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Soit
« M » un point du plan. Le
vecteur et nous
avons déjà vu ( cours : addition de (après pb
18….) que :
donc : |
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Les
nombres algébriques « x » et « y » ,
uniques pour « M », sont les coordonnées cartésiennes du point
« M ». Dire que
« x » et « y » , sont les
coordonnées de « M » ou que : « x »
s’appelle « abscisse » et
« y » s’ appelle « ordonnée » |
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Problème
1 |
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Soit deux
points « M » de coordonnées ( x0 ; y0 ) et « N » de coordonnées ( x1
; y 1 ). Quelles
sont les mesures scalaires
des projections du vecteur La projection
sur « Ox » est faite parallèlement à « Oy » et sur « Oy »
parallèlement à « Ox ». |
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( faire une figure ) |
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Solution :
On
écrira : le vecteur Ou :
« X » et « Y » étant
les mesures scalaires des projection de Mais
d’après l’énoncé : |
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( relation (4)
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En
portant les résultats (4) dans la
relation ( 3 ) nous pouvons écrire : X D’où |
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X = ( x1 - x0 ) ( abscisse de l’extrémité (moins) abscisse de
l’origine.) Y = ( y 1 -
y0 ) ( ordonnée de l’extrémité (moins) ordonnée de l’origine.) |
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Problème
2 |
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Les
points « M » et « N » ont pour coordonnées respectives ( - 3 ; + 2 )
et ( 5 ; - 4) . Quelle sont les mesures des projections de ( Faire la solution graphique.) |
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Réponses : |
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X =
5 - ( -
3) ; X = 8 Y = - 4 –
2 ;
Y = - 6 |
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Cours
( suite 1 ) |
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Dans la pratique , les axes « x’ O x » et « y ’O y » sont
perpendiculaires et les vecteurs unitaires Les résultats acquis au
problème « 1 » subsistent et les projections de |
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x1 - x0 y 1
- y0 |
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Mais ici
on peut déduire la
distance de deux points « M » et « N » donnée par la formule :
Cette
formule de la distance de deux points
en axes rectangulaires est fort utile à connaître ,
notamment pour une étude analytique du cercle ou de la sphère ( avec un terme
( en « z ») de plus) Pré
requis : « Pythagore » ( Faire la solution graphique.) |
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Changements
d’axes par translation : |
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Voir :
Soit un point « M » positionné relativement à des vecteurs
unitaires : |
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Solution :
Les axes parallèles ont même vecteur unitaire . Dés lors les données de l’énoncé sont : |
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Et comme
on sait que : En
remplaçant il vient : x Et par conséquent : |
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x = X
+ y
= Y + |
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Ce sont
les formules du changement d’axes par translation. : A
savoir : les
coordonnées anciennes = Les coordonnées nouvelles + (plus) Les coordonnées de
la nouvelle origine. |
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Problème
4 : Que
devient la relation |
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Solution : Les
formules du changement d’ axe sont : |
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x = X + y = Y + |
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Portons
ces évaluations dans ( 1 )
la
réponse est donc : |
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Problème
5 |
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Que
devient la relation : |
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Orientation de la solution :
Réponse :
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Problème
6 |
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Que
devient la relation : |
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Réponse : |
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Cours
(suite 2) : Noter que les nouvelles formes acquises après changement d’axes mettent en évidence
par le point Les changement de « X »
en « -X » entraîne celui de
« Y » en « -Y » : Le point |
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Problème
7 |
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Que
devient la relation : |
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Solution :
les formules du changement d’axes sont : Portons
dans la relation ( 1) : Y – 1 = 2 ( X + 1 ) 2
– 4 ( X + 1 ) + 1 Développons :
Y – 1 = 2
X 2 + 4 X + 2 – 4 X – 4
+ 1 Et réduisons
Y = 2 X 2 |
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Problème
8 |
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Que
devient la relation : « y = 3 x2 + 5 x – 4 » (1 ) Lorsque
l’on transporte les axes parallèlement
à eux – mêmes au
point : |
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Indications pour arriver à la solution : Formules : « x = X - Porter
dans ( 1) développer et réduire : Réponse : Y = 3 X 2 |
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Problème
9 |
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Que
devient l’expression : « y = a x2 + b x + c » Quand on
transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point |
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Réponse : « Y = a X 2 » |
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Cours
(suite 3) : |
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Noter que
le changement d’axes met en évidence que la droite On a trouvé en effet au problème
« 9 » : : « Y = a x 2 »
, si on change « X » en
« -X » on obtient : « Y 1 = a ( - X ) 2 = a
X 2 = Y A deux
valeurs opposées de « X » correspond la même valeur de « Y ». Il y a
symétrie par rapport au nouvel axe des « Y ». |
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TRAVAUX
AUTO FORMATIFS. |
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CONTROLE |
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EVALUATION. |
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Refaire
les problèmes…du cours …… ;;;; |
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