Calcul de la mesure algébrique des  composantes  d’un segment dans un plan

Commentaire :

La mesure algébrique d’un segment est un nombre relatif :

La valeur absolue informe sur la longueur du segment ou la norme du vecteur .

Le signe informe sur le sens : du vecteur ; ou de l’ordre de  lecture du bipoint ( couple de points orienté )

COURS  :

Rappel :   Projection  orthogonale d’un segment   (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère  est dit  «  cartésien    ortho - normé »

Voir le dessin ci-dessous :

Les segments de droites  AyBy   et  BxAx  sont  appelés les projetés  du segment   AB  .

 La norme permet de graduer les axes.

  Si la norme * sur x et y  est égale « mesure » le repère est dit « normé »

*Voir [O,I]  et  [ O, J ]

PROCEDURE utilisée pour obtenir la distance entre deux points dans un plan :

 Pour trouver par le calcul la distance entre les points AB , nous devons passer par les projections sur les axes « x » et « y » .

              1°)  Il faut  calculer la distance des deux points projetés sur « x »

              2°)  Il faut  calculer la distance des deux points projetés sur « y »

Les deux distances obtenues ,sont les mesures des segments des cotés d’un triangle rectangle . (parce que le repère est un repère cartésien orthogonal , il faut que ce repère  soit « normé »).

             3°)  Nous en déduisons que les deux cotés (projetée sur « x » et projetée sur « y » ) forment un angle droit , nous appliquerons le théorème de Pythagore pour trouver la mesure du troisième segment que l’on appelle « hypoténuse ».

1°)  CALCUL de la  « distance projetée »  entre deux points sur  l’axe des « x »:

 La distance entre deux points est égale  à la valeur absolue de la  mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine O et d ’extrémité E ); cette mesure algébrique est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité ( x_E  )  moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint (x_O).

Ce qui se traduit :                                    ½x_E  - x_O ½= ½½

2°)  CALCUL de la « distance projetée » entre deux points sur l’axe  des « y »:

 La distance entre deux points est égale  à la valeur absolue de la  mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine O et d ’extrémité E ); cette mesure algébrique est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité ( x_E  )  moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint (x_O).

Ce qui se traduit :                                    ½y_E  - y_O ½= ½½

NOTA : pour les vecteur on calculera la mesure algébrique sur les « x » et sur les « y » afin de déterminer par le calcul  le sens du vecteur .  (on ne parlera pas de valeur absolue

Voir : Composantes d’un vecteur  et calcul de la NORME D’UN VECTEUR

ENONCE TYPE :     

Soit deux points dans un plan : A _{(+2 ;+1 )} et  B _{( +7,5 ; + 5 )}

On vous demande de calculer la distance entre A et B.

Résolution :

I )  Calcul de la distance de la projection de AB sur l’axe des « x »

Représentation graphique :  [ x_A ; x_B ]

I )   Calcul de la distance entre x_A   et x_B :

II )  Calcul de la distance de la projection de AB sur l’axe des « y »

Représentation graphique : [y_A ; y_B ]

Calcul de la distance entre y_A   et y_B :

III) Calcul de la distance du segment AB dans le plan.

  D ‘ après Pythagore : 

Théorème :   Dans un triangle rectangle : le « carré » de la longueur de l’hypoténuse (c’est à dire : la longueur de l’hypoténuse multipliée par la longueur de l’hypoténuse)  est égal  à la somme des «  carrés » des longueurs  des cotés (du triangle) formant l’angle droit.

si l’on nomme les sommets du triangle , par une lettre ( A ; B ; C ) :

si :

AB  désigne la longueur de l’hypoténuse

AC  désigne la longueur  d’un coté formant

 l’angle droit

BC  désigne la longueur  d’un coté formant

 l’angle droit

On peut écrire , d’après « Pythagore » :

AB fois AB  = AC fois AC + BC fois BC

soit :   AB²  = AC ² + BC ²

Il ne reste plus qu’à faire l’application numérique :

Trouver « AB »   si «AC » = 5,5  et « BC » = 4  à partir de

AB² =  AC² + BC²            (  se souvenir que  = x )

                                            On pose      =          

si « a » = 30 et  « b » =40    alors            =               

                                                             =

                                                                                =      

                    de l’égalité on en tire que : le  premier membre  = AB , et le deuxième membre : = 6,8       ( d’après la calculatrice  =  6,8007353)

on conclut  que la distance entre   AB =  6 ,8

AUTRE APPLICATION :

Sujet de concours :

            Dans un repère orthonormé ( 0,,) ;On place les points A ( -2 ;-3 ) , B ( -2 ;5 ) et C ( 4 ;-3)

a)      montrez que le triangle ABC est rectangle

Résolution :

d’abord    Le repère doit être  orthogonale :   ( le repère est orthonormé.)

        Dans le cas suivant :

                         :le segment  AB est parallèle à l’axe « y » (les extrémités ont la même abscisse )

                        :le segment  AC est parallèle à l’axe « x » (les extrémités ont la même ordonnée )

                           les deux segments sont donc perpendiculaires

         Il reste à montrer par le calcul que BC est l’hypoténuse du triangle rectangle  en calculant la somme des carrés des cotés (représentés par les projetées BD et DC)

Nous avons besoin des projections de BC sur l’axe « y » et sur l’axe « x »

La projection de BC sur l’axe « y » est le segment DC ;

 la projection de BC sur l’axe « x » est le segment BD

Travaux auto formatifs.

CONTROLE :

1 ) Donner la procédure permettant d’obtenir par le calcul la longueur d’un segment (distance entre deux points ) dans un plan .

B

EVALUATION :

I ) Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points.

,

échelle1

Cet exercice sera repris  avec Obj : « Pythagore » ,

II )  Soit deux points dans un plan : A _{(+2 ;+1 )} et  B _{( +7,5 ; + 5 )}

Calculer la distance entre A et B

III) Dans un repère orthonormé ( 0,,)

          On place les points A ( -2 ;-3 ) , B ( -2 ;5 ) et C ( 4 ;-3)

                montrez que le triangle ABC est rectangle