corrigé des Fiches de cours sur les puissances de nombres possitifs collège 4ème

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la multiplication de deux nombres entiers naturels	cliquer ici
la multiplication de deux nombres décimaux positifs:	cliquer ici
Puissance : écriture normalisée et indicée	Cliquer ici

ENVIRONNEMENT du dossier

DOSSIER: PUISSANCES de nombres positifs

	Fiche 1 : Puissance d’un entier ou d’un décimal positif.
	Fiche 2 : Produit de puissances d’un même nombre.
	Fiche 3 : Puissance d’un produit de décimaux positifs.
	Fiche 4 : Puissance d’une puissance.
	Fiche 5 : Quotient où figurent des puissances .
	Fiche 6 : Puissance d’un nombre en écriture fractionnaire.
	v Puissance d’un quotient
	Fiche 7 : Ordre dans lequel il faut effectuer les opérations.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité 1°)Applications en sciences

2°) série 2

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Fiche 1 : Puissance d’un entier ou d’un décimal positif.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Ecrivez le produit de « 9 » nombres égaux à « 7 ».

Vous remarquez que c’est long à écrire ! Heureusement qu’il n’y en a pas « 379 » (par exemple )…

Pour simplifier cette écriture , on décide , par convention , de la noter : :

Donc =

: se lit « sept exposant « 9 ». « 9 » est l’exposant , il indique le nombre de facteurs .

; ; ; sont des puissances de « 7 » ; est la puissance de « 7 » d’exposant « 9 ».

Si il y avait eu « 379 » facteurs égaux à « 7 » , on aurait écrit :

= 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Conseil : Habituez - vous à dire est le produit de 5 facteur égaux à « 2 » .

Activité :

Opérations

Décomposition

Résultat recherché

Erreur de traduction

Résultat qui a conduit à l’ erreur .

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

= …256..

2 x 8

= …64..

7 x 7 x 7

= …..

3 x 3 x 3 x 3 x 3

= …..

10 x 10 x 10 x 10

= …..

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

= …..

· Que pouvez-vous dire des 2 résultats trouvés sur chaque ligne ?...................

Etc……

· « » étant un nombre non nul ,

· =

Remarque :

On parle de même de puissances de décimaux :

Ainsi :

A retenir :

« » étant un nombre décimal et « » un entier supérieur ou égal à « 2 » ,

« » facteurs égaux à « »

Par convention , on écrit : et si ; remarque ne signifie rien..

Puissance de dix ( 10 )

Info +++@

= 10 000

C’est un « 1 » suivi de « 4 » zéros

= 1 0 000 000

C’est un « 1 » suivi de « 7 » zéros

A retenir :

« » étant un entier supérieur ou égal à « ».

, c’est un « 1 » suivi de « » zéros.

Remarque :

Si = 1 ,

C’est un « 1 » suivi de « 1 » zéros

Si = 0 ,

C’est un « 1 » suivi de « 0» zéros


Fiche 2 : Produit de puissances d’un même nombre.				Info +++@

						Justifiez oralement ..ces égalités


· D’une manière générale , « a » étant un décimal , « m » et « n » des entiers ( )


Cas particuliers : Si « = 1 » ( ou = 1 ) ; Si « = 0 » ( ou = 0 ) ; et ;

A retenir : « a » étant un décimal non nul , « m » et « n » des entiers positifs,

Remarque : cette formule peut se généraliser à plus de deux facteurs . ( Expliquez oralement) Exemple :
Activité 1 : Complétez en utilisant la formule précédente ( « » et « » sont des nombres positifs)






=

Activité 2 : On vous demande d’ écrire « » sous forme de produit de puissances de « 7 » et « 3 ».

=

· On vous demande d’écrire « B » sous forme de produit de puissances de « 2 » , de « 3 » , et de « 7 ».

;

· On vous demande d’écrire « B » sous forme de produit de puissances de « a »et de « b » ( « a » et « b » sont des nombres )



Activité 3 : A votre avis , est –il un nombre très grand ?

Environ combien ?
100	1 000	1 000 000	1 000 000 000		1 000 000 000 000 000

Encadrez la bonne réponse et barrez les autres . Vérifiez par le calcul (dites cela à l’oral )…..


	Fiche 3 : Puissance d’un produit de décimaux positifs.			Info +++@

	Voici ci-contre un carré dont la mesure de la longueur du côté ( en mm ) est « a ». Considérons un autre carré dont la longueur du côté est le triple de celle précédent. A votre avis , l’aire du grand carré est combien de fois plus grande que celle du petit ?..............

	On vous demande de vérifier le résultat , dessinez le grand carré et comptez combien il contient de petits carrés. Combien en trouvez – vous ? ………..

	· Vous allez le vérifier maintenant par le calcul . - La mesure de l’aire du petit carré ( en mm² ) est égale à : - La mesure de l’aire du grand carré ( en mm² ) est égale à : .
	En définitive : L’aire du grand carré est « 9 » fois plus grande que celle du petit.

	v En vous aidant du calcul fait précédemment , on vous demande de transformer : :

	D’une manière générale , « » et « » étant des décimaux et « » un entier ( )

	· Etudiez les cas où « » est égal à « 1 » ou « 0 ».

	A retenir : « » et « » étant des décimaux non nuls, et « » un entier positif .
	Notation équivalente :
	Remarque : Cette formule peut se généraliser à plus de deux facteurs . ( voir réponse orale )

	Activités 1 :Transformez en appliquant la règle précédente ( les lettres désignent des nombres ) .




	Complétez le calculez :


	Activités 2 :En faisant apparaître une puissance de « 10 » , calculez « D » . D =

	Commencez par regrouper les « 2 » puis les « 5 » . D = Mais vous venez de voir que Donc D =

	Faîtes de même pour : F ; F =


Fiche 4 : Puissance d’une puissance.

		Justifiez oralement ces égalités…
c’st à dire
· D’une manière générale , « » étant un décimal , « » et «n » des entiers ( ) ,


Chaque facteur « » est le produit de combien de facteurs égaux à « a » ? .. ………… Au total , il y a donc combien de facteurs égaux à « a » ?............................................... En définitive = Etudiez les cas où « » et « » sont égaux à « 1 » ou « 0 » .
A retenir : « » étant un décimal non nul, « » et « » des entiers positifs .

Activités 1:
	……………..		Attention !!!!!

	………..		Et :

Activités 2: Ecrivez « H » sous forme de produit de puissances de « 3 » , « 5 » et « 7 » . = : …………………………………………………………………………………….

Activités 3: Ecrivez « R » sous forme de produit de puissances de « 2 » et de « 5 »., puis calculez « R » en faisant apparîatre des puissances de « 10 ».
;
;


	Fiche 5 : Quotient où figurent des puissances .

	Simplifions : ; . On peut écrire =

	De même :

	Remarque : Pratiquement , on ne détaille pas les produits , on écrit directement :
	Faites de même pour :


	· Simplifions puisque et , on peut écrire

	· Simplifions de même :

	v Vous savez calculer le produit de nombres en écriture fractionnaire : Calculez en simplifiant :

	· Faites de même pour :


	Fiche 6 : Puissance d’un nombre en écriture fractionnaire

	Les règles de calculs sont les mêmes que pour les décimaux.
	=

	· Calculez : =

	· Complétez :




	v Puissance d’un quotient .
	v D’une manière générale, « » et « » étant des décimaux non nuls et « » un entier ,

	Cas particuliers :
	Si « = 1 » ; et donc Si « = 0 » ; et donc

	A retenir : « » et « » étant des décimaux non nuls, et « » un entier positif .

	Activités 1:

	= =

	Activités 2 :

	Simplifiez :

	Simplifiez

	Activité 3 : Voici deux cubes « C » et « C’ » de volumes respectifs « V » et « V’ ». Désignons par « » la longueur de l’arête du cube « C ». Et par « » la longueur de l’arête du cube « C’ » . On sait que « = »
	Quelle fraction de « V » représente « V’ » ? ( Trouvez une équation ( égalité ) de la forme « V’ = ….V »


Fiche 7 : Ordre dans lequel il faut effectuer les opérations.							Info ++ sur les priorités de calculs.

Répondez à la question :Comment doit-on s’y prendre pour calculez ? 1°) Calculez : « le carré du double de 5 » : Procédure : On cherche d’abord le ………double ……….de « 5 » : on obtient : … = 10 Puis on calcule le …carré…….de 10……… : on obtient : 100 Ce qui s’écrit : ( 2 5 )² = 10 ² = 100
2°) Calculez : « le double du carré de 5 » : Procédure : On cherche d’abord le ………carré ……de « 5 ». On obtient : 5² = 25 Puis on calcule le double de 25 . On obtient : 2 = 50 Ce qui s’écrit : = Trouvez- vous le même nombre dans les deux cas ? ..NON…
Ø représentant un nombre quelconque . « le carré du double de » s’écrit en mathématiques : « le double du carré de » s’écrit en mathématiques :
Attention : D’une manière générale , ne cofondez pas : et Dans le cas , l’exposant ne porte que sur « ».

A retenir : En l’absence de parenthèses , quand dans un calcul , il y a des multiplications et des « puissances » , on doit effectuer d’abord le calcul des puissances. L’exposant s’applique uniquement au nombre qui le précède.

Activités 1 : Calculez .
			21 fois 21 =								3 fois 49
			6 fois 4 fois 3 fois 125 :								3 fois 100 au cube
			8 plus 15 au carré								4 plus 25 fois 6 = 154
			13 fois 9 =								4 plus 25 plus 6 = 35
			15 fois 8 au carré								9 fois 11 = 99
			8 plus 5 fois 9 =								63 plus 4 = 67

Activités 2 : Complétez .

« »	« »
1	2	1		4	4	3		3		9		1
2	4	4		8	16	6		12		36		8
5	10	25		50	100	15		75		225		125
7	14	49		98	196	21		147		441		343
3	6	9		18	36	9		27		81		27
10	20	100		200	400	30		300		900		1 000
4	8	16		64	64	12		48		144		64

Activité 3 :
Simplifiez l’écriture des produits suivants . ( Les lettres désignent des nombres ) .




									A vous de faire !!!