Juillet 2014	CORRIGE	Niveau : Classe de collège : 4^ème
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Pré requis:		Voir programme de collège 4^ème
Objectifs les égalités : vocabulaire 1EG1
égalités les égalités : vocabulaire 2 EG2
Expression algébrique (niveau 2)

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX : warmaths

Objectif précédent : 1°) Développer …… 2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser » Développer (suite )

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.

DOSSIER : LES SOMMES ALGEBRIQUES

Fiche 1 –Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres .

Fiche 2 -Calcul d’une somme de deux nombres (relatifs) écrite sous forme simplifiée.

Fiche 3 : Les sommes algébriques.

Fiche 4 : Nouvelle écriture de l’opposé d‘un nombre relatif.

Fiche 5 : Des lettres dans une somme algébrique.

Fiche 6 : Des parenthèses dans une somme algébrique.

Fiche 7 : (après les parenthèses) Cas des crochets .

Fiche 8 : Exemples d’utilisation des nombres relatifs et des sommes algébriques :les moyennes .

Fiche complémentaire : Calcul des coordonnées du milieu d’un segment.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Fiche 1 –Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres .

Info @ ++

(Faîtes bien attention, savoir simplifier c’est savoir remettre sous la forme non-simplifiée)

Vous savez que, par exemple, le nombre relatif ( + 27) peut s’écrire « 27 » et que dans certaines circonstances , ( - 43 ) peut s’écrire « - 43 »

En utilisant le fait que «  a – b = a + Opp. b ou que «  a + b = a – Opp. b , vous avez vu en classe de « 5^ème » comment simplifier l’écriture d’une somme ou d’une différence. ( mais , attention, savoir simplifier c’est aussi savoir ré- écrire la forme non-simplifier , sinon vous risquez de commettre des erreurs ….°

Ainsi :

( +3 ) + ( + 7)

s’écrit 3 + 7

De même.

( - 13 ) + ( + 2 7)

s’écrit : -13 + 27

( +9 ) + ( - 7)

s’écrit 9 - 7

De même.

( -39 ) + ( - 67)

s’écrit -39 - 67

( +5 ) - ( + 9)

s’écrit 5 - 9

De même.

( - 69 ) - ( - 17)

s’écrit - 69 + 17

( + 6 ) - ( - 3)

s’écrit 6 + 3

De même.

(- 28 ) - ( - 87)

s’écrit - 28 + 87

Activités n°. : Simplifiez de même l’écriture des sommes suivantes . ( Ne pas effectuer le calcul ) ;

( -26 ) + (- 78 ) =

-26 - 78

(+ 36 ) - ( - 93 ) =

36 +93

(+85 ) - (+ 43 ) =

85 - 43

( -13 ) - (+ 55 ) =

-13 - 55

(+57 ) + ( -23 ) =

57 - 23

( - 73 ) - ( - 47 ) =

- 73 + 47

( ) + ( ) =

( ) - ( ) =

( ) + ( ) =

( mais , attention, savoir simplifier c’est aussi savoir ré- écrire la forme non-simplifier , sinon vous risquez de commettre des erreurs ….°

Activités n° .. : Transformer les écritures simplifiées en écriture dite « algébrique »…

-26 – 78 =

( -26 ) + (- 78 )

36 +93 =

(+ 36 ) - ( - 93 )

85 - 43

(+85 ) - (+ 43 )

-13 – 55=

( -13 ) - (+ 55 )

58 – 23 =

(+57 ) + ( -23 )

- 73 + 47

( - 73 ) - ( - 47 )

( ) + ( )

=

( ) - ( )

( ) + ( )

Fiche 2 - Calcul d’une somme de deux nombres (relatifs) écrite sous forme simplifiée.

Info @ +++

Cas 1 : Les nombres sont séparés par le signe « + ».

Opération :

Commentaire :

C’était l’écriture algébrique…..

Calcul :

25 + 43

Ce calcul ne présente aucune difficulté ….

( + 25 ) + ( + 43 ) =

25 + 43 = 68

-15 + 52

C’est la somme de ( -15 ) …. Et de …( + 52)….

( - 15 ) + ( + 52 ) = ( + (52-15))= ( + 37)

-15 + 52 = + 37 (1)

-76 + 39

C’est la somme de ( -76 ) …. Et de …( + 38)….

( -76) + ( +38) = ( - ( 76 – 39 ) ) = ( - 37)

-76 + 39 = - 37 (2)

Dans les calculs (1) et (2) nous sommes en présence de la somme de deux nombres relatifs ( @) de signe contraire.

Cas 2 : Les nombres sont séparés par le signe «  -  ».

Opération :

Commentaire :

C’était l’écriture algébrique…..

Calcul :

31 – 86

C’est la somme de ( + 31 ) …. Et de …( -86)….

( +31) + ( - 86) = ( - ( 86 – 31) ) = ( - 55 )

31 – 86 = - 55

75 – 32

C’est la somme de ( +75 ) …. Et de …( -32)….

( + 75 ) + ( - 32 ) = ( + ( 75 – 32) ) = ( + 43 )

75 – 32 = 43

-18 - 43

C’est la somme de ( -18 ) …. Et de …( -43)….

( - 18 ) + ( - 43 ) = ( - ( 18 + 43 )) = ( - 61)

-18 – 43 = - 61

-65 - 27

C’est la somme de ( -65 ) …. Et de …( - 27 )….

( - 65 ) + ( - 27) = ( - ( 65 + 27) ) = ( - 92)

-65 – 27 = - 92

Vous constatez que dans tous les cas , on est ramené à une « addition ». Tout se passe comme si l’on avait sous – entendu un signe « + » (plus) entre les deux nombres . Ainsi «  -74 +35 » n’est autre que «  ( - 74) + ( + 35) .l’écriture « -18 – 43 » n’est autre que l’écriture «  ( - 18) + ( - 43) ». Vocabulaire : On pourra donc parler de « somme » même s’il y a un signe « - » (moins)  entre les deux nombres.

Méthode pratique de calcul d’une somme de deux nombres dits « relatifs ».

Info ++

Le calcul «  75 + 32 » ne pose pas de problème,……..le résultat est le nombre « ( + 107) » Il reste 5 types de difficulté :

Difficulté n°1

Difficulté n°2

Difficulté n°3

Difficulté n°4

75 – 32

-15 + 53

33 - 87

-19 - 47

Puisque 75 > 32 , vous pouvez faire la soustraction

Dans ce cas et en considérant que l’opération est une addition et comme l’addition est commutative , alors « -15 + 52 = 52 – 15 », on est ramené à la difficulté 1 .

Dans ce cas , vous savez que l’opposé de « 33-87 » est « 87-33 », or « 87-33 » se calcule facilement , « 87 – 33 = 54 » donc « 33-87= - 54 »

De même

Pour découvrir un début de solution il faut transformer les écritures précédentes en écritures algébriques……..

( +75) + ( – 32)

( -15) + ( + 53)

( +33) + ( - 87)

(-19) + (- 47)

Difficulté n°5 : - 76 + 43

De même l’opposé de « -76 + 43 » est « 76 – 43 ». Or : 76 – 43 = 33 , donc - 76 + 43 = - 33

Remarque : : - 76 + 43 s’écrit sous la forme d’une somme algébrique : « ( -76) + ( + 43) »

Nota : pour réussir tous ces calculs il faudrait travailler les objectifs de formations proposés ici @ ….

Activité :n°1…(sur copie)

Faire les exercices proposés : 1°) En passant par les « opposés » quand cela est nécessaire. 2°) En passant par la transformation en somme algébrique.

24 – 36 = …………..

- 43 – 37 = …………….

-79 + 26 = ……….

-61 + 61 = ……….

24 + (opp+36) = Opp. + 12 = (-12)….

- 80

26 + 0pp 79 = 0pp.53 = - 53

0pp.61 + 61 = 0

( +24) + (– 36) = ……(-12)…..

( - 43) + (-37) = ( - 80)

( - 79) + ( +26)= ( - ( 79-26))= (-53)

(-61) + ( +61) = ( ( 61 – 61)) =

56 + 27 = ……………

59 – 33 = …………….

-15 – 67 = ………….

- 37 + 97 = ………..

56 + 27 = 83

59 – 33 = 26

. – 15 – 67 = - 82

97 – 37 = 60

( + 56) + ( +27) = ( + ( 56 + 27)) = ( + 83)

( + 59 ) + ( -33 ) = ( + ( 59 – 33))= ( + 26 )

( – 15 ) + ( – 67) =( - ( 15 + 67)) = ( - 82)

( - 37 ) + ( + 97 ) = ( + ( 97 – 37 )) = ( + 60)

Activité :n°2…(sur copie)

Calculez , comme ci –dessus…

8 + 2 = ………….

8 – 2 = …………….

-8 + 2 = ………….

-8 – 2 = …………..

8 + 2 = 10

8 – 2 = 6

Opp.8 + 2 = 0pp.6 = - 6

- 8 - 2 = - 10

( + 8 ) + ( + 2) = ( + ( 8 + 2))

( + 8 ) + ( - 2 ) = ( + ( 8 – 2)) = ( + 6)

( - 8 ) + ( + 2) = ( - ( 8 – 2 )) = ( - 6)

( - 8 ) + ( - 2 ) = ( - ( 8 + 2 )) = ( - 10)

2 + 8 = …………..

2 – 8 = ……………

-2 + 8 = …………….

-2 - 8 = ………….

2 + 8 = 10

2 + Opp -8 = Opp. 6 = - 6

8 – 2 = 6

Opp. 2 + 0pp 8 = Opp. 10 = - 10

( + 2 ) + ( + 8 ) = ( + ( 2 + 8))

( + 2 ) + ( - 8 ) = ( - ( 8 – 2 )) = ( - 6 )

( - 2 ) + ( + 8 ) = ( + ( 8 – 2 )) = ( + 6 )

( - 2 ) + ( - 8) = ( - ( 2 + 8 )) = ( - 10)

Fiche 3 : Les sommes algébriques.			Info ….@..voir les définitions..
Aux fiches 1 et 2 , on a simplifié et calculé des sommes de deux termes. Il est possible de faire de même pour des sommes de plusieurs termes. Ainsi : A = ( +8 ) + ( - 5 ) + ( - 7 ) + ( + 6 ) s’écrit : A = 8 – 5 – 7 + 6 De même B = ( + 9 ) – ( - 3 ) + ( - 8 ) – ( + 7 ) s’écrit B = 9 + 3 – 8 – 7 A = 8 – 5 - 7 + 6 et B = 9 + 3 – 8 – 7 sont appelées des expressions algébriques (mais on les appelle couramment aussi : « sommes algébriques »)
· Vous pouvez calculer « A » et « B » comme dans la fiche 2 ( en faisant les calculs de gauche à droite).
	A = 8 – 5 - 7 + 6			B = 9 + 3 – 8 – 7
	= 3 - 7 + 6			= 12 - 8 - 7
	= - 4 + 6			= 4 - 7
	= + 2	A = 2		= - 3	B = - 3
Activités N° ..: Donnez l’écriture simplifiée de « C » et « D » puis calculez les sommes simplifiées (comme précédemment )
C = ( + 6 ) + ( - 8 ) – ( - 9 )+ ( + 4 )- ( +7 ) + ( - 1 ) = 6 – 8 + 9 + 4 – 7 – 1 =
D = ( - 0 ,9 ) + ( 2 , 4 ) – ( - 5,3 ) – ( + 3 , 5 ) = - 0,9 + 2,4 + 5 , 3 – 3 , 5 =
Ci-dessous avec des nombres entiers			Ci-dessous avec des nombres décimaux.
E = 9 – 5 + 4 – 8 + 6 – 7 = ………			G = - 4,3 – 7,3 + 8,5 – 2,3 + 3,7 =……….
F = - 4 - 5 + 9 – 7 + 8 – 2 = ………………			H = 3,9 - 2,1 + 0,6 – 4,5 + 5,2 =………..
A ) Autre méthode de calcul d’une somme algébrique.
Une somme algébrique pouvant être considérée comme une succession d’additions et l’addition étant commutative, on peut alors changer l’ordre des termes. Ainsi : C = 5 – 8 + 9 + 4 – 7 – 1 peut s’écrire C = -8 + 4 – 7 + 5 – 1 + 9 ou C = …………………………….. · De plus , l’addition étant associative , il est possible de regrouper d’une part les termes précédés du signe « + » et d’autre part, les termes précédés du signe « - »   Ainsi : C = ( 9 + 5 + 4 ) + ( - 8 – 7 – 1 ) , poursuivez le calcul : C = ( + 18 ) + ( - 16 ) = ( + 2 ) · Le regroupement peut se faire mentalement . On écrira alors directement : J = 44 – 27 + 12 – 37 – 49 + 17 = ( ……) + ( ……) = ………. K = 44,3 – 27,5 + 12 ,6 – 37,3 – 4,9 + 1 , 7 = ( ……) + ( ……) = ……….
B ) Simplification des opposés.
On fait comme nous l’avons vu , dans la leçon 5 « Fiche 3 », on surligne les opposés.
Ainsi : M = 9 + 2 -4 – 8 + 7 + 4 – 6 + 8 - 9 = 2 + 7 – 6 = 3 · Faites de même pour N = 2,5 + 5 , 1 – 8,2 + 4 , 7 – 5,1 – 6, 3 + 8,2 = …………..  · On va voir aussi que l’on peut regrouper plusieurs termes : « - 5 – 2 » se simplifie avec « +7 » Ainsi calculez : P = 5 – 9 + 3 – 7 + 4 +2 – 8 + 6 = ………… R = - 6,8 - 2,9 + 3,5 + 5 , 7 - 1,2 + 4,1- 7 , 6 + 2,3 = …….

Fiche 4 : Nouvelle écriture de l’opposé d‘un nombre relatif.
On désigne par la lettre « a » un nombre relatif quelconque , vous savez que « a – ( + 5 ) » s’écrit «  a – 5 » et «  a – ( - 7 ) » s’écrit «  a + 7 » C'est-à-dire que «  - ( + 5) = - 5 » et «  - ( - 7 ) = + 7 » Ou encore : - ( + 5 ) = Opp ( + 5 ) et - ( - 7 ) = Opp ( - 7) on peut donc dire :
A retenir : Mettre le signe « - »  devant un nombre , revient à écrire « ……Opposé…….. » de ce nombre.
D’une manière générale, « a » désignant un nombre relatif,			«  - a = Opp ( a ) »
ATTENTION :
On vous propose 2 phrases , l’une est vraie l’autre est fausse , encadrez la réponse vraie , barrez la réponse fausse.
	« - a » est toujours négatif	« -a » n’est pas forcément négatif

Fiche 5 : Des lettres dans une somme algébrique.

Dans une somme algébrique dans laquelle figurent des lettres « a » , « b » , « c » ». Ces lettres représentent des nombres relatifs.

Exemple : R = 7 + a + 5 – b – c + 3 – a - 8 + b

Bien qu’il y a des lettres précédées du signe « -  » , on peut dire que « R » est une somme.

En effet , «  7 – b » n’est autre que «  7 + Opp (b) c'est-à-dire «  7 + ( - b )  ».

Ø Pour calculer « R » , on additionne les nombres écrits en chiffres ( voir l’exemple dans la fiche 3) et pour les lettres, on additionne les opposés en remarquant que «  a – a = …0.. » et «  b – b = …0…. »

Vous trouvez : R = 7 - c

Ø Calculez de même :

T = – 7 + 4 – + 9 + – – 8 + = ……-2 + …………………..

V = - n – 9 + 3 – m + 7 + n – 6 + m – n + 2 = …… – 3 – n ……………………..

Fiche 6 : Des parenthèses dans une somme algébrique.

Info @ calculs….

Rappelons la règle étudiée en classe de « 5^ème . » . cette règle s’applique aussi aux lettres.

A retenir : Dans une somme algébrique contenant des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe situé devant , à condition : - De ne rien changer si le signe précédant les parenthèses est …plus… - De changer les signes situés à l’intérieur des parenthèses si le signe situé devant est …« moins » ….

Activités n°1….. : En appliquant la règle ci-dessus, supprimez les parenthèses (sans effectuer de calcul).

9 + ( 6 – 7 + 8 ) =

9 + 6 – 7 + 8

6 - ( 3 + 7 – 4 ) =

6 - 3 - 7 + 4

5 + ( - 8 + 2 – 7 ) =

5 - 8 + 2 – 7

– ( – – ) =

– + +

+ ( + – ) =

+ + –

2 – ( - 9 – 7 + 6 ) =

2 + 9 +7 - 6

+ ( - - + ) =

- - +

- ( - + – ) =

+ - +

Activités n°.2.

On vous demande de calculer « B » de deux façons différentes : 1°) Vous effectuez les calculs indiqués (Vous faîtes d’abord le calcul dans les parenthèses). 2°) Vous supprimez les parenthèses avant d’effectuer les calculs. B = ( - 8 + 9 – 2 ) - ( 5 + 4 – 6 ) + ( 2 – 8 ) - ( - 9 + 4 – 7)

1^ère méthode : B = ( - 1 ) - ( + 3 ) + ( - 6 ) - ( - 12 ) B = ( - 1 ) + ( -3 ) + (– 6 ) + ( +12) B = ( -10 ) + ( + 12 ) B = ( +2 )

2^ème méthode : B = - 8 + 9 – 2 - 5 - 4 + 6 + 2 – 8 + 9 - 4 + 7 B = + 33 - 31 B = + 2

Activité N° 3… Faites de même pour : C = - ( - 5 + 2 – 6 ) + ( - 7 + 4 – 5) – ( 2 + 8 – 5 ) + ( 7 – 4 + 9 )

1^ère méthode : C = - ( - 9 ) + ( - 8 ) - ( + 5 ) + ( + 12 )

2^ème méthode : C = + 5 - 2 + 6 - 7 + 4 – 5 – 2 - 8 + 5 + 7 – 4 + 9 C = on regroupe les positifs et ensuite les négatifs……

Activité N° 4… Après avoir supprimé les parenthèses calculez : ( « s » et « n » représentent des nombres). D = ( + 7 – ) – ( - + 8 + 4 ) + ( - 9 – + 6 ) – ( – 2 – ) D = + 7 – + - 8 - 4 - 9 – + 6 – + 2 + D = + 15 - 21 – Etait-il possible de faire cet exercice par l’emploi de la première méthode ? ……NON…………… Vous comprenez donc l’utilité de la règle relative à la suppression des parenthèses…

Activité N° 5…( avec des lettres ) Calculez après avoir enlevé les parenthèses ( les lettres , , représentent des nombres )

= = =

Fiche 7 : Cas des crochets.

Info @ ++notions fondamentales +

La règle de suppression des crochets est la même que celle des parenthèses. Exemple : A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ] Méthodes différentes que l’on vous demande d’ appliquer : 1°) Faîtes les calculs indiqués.(dans chaque parenthèses, puis ……) 2°) Enlevez les parenthèses puis les crochets ( sans effectuer les opérations). 3°) Enlevez les crochets puis les parenthèses ( Sans effectuer les opérations). 4°) Effectuez les calcul du résultat obtenu au « 2°) » ou au « 3°) » .

Méthode 1 : Faîtes les calculs indiqués A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ] A = ( 11 ) + [ ( - 5 ) - ( - 2 ) ] - [ ( - 9 ) + ( +4 ) ] A = ( 11 ) + [ ( - 5 ) + ( + 2 ) ] - [ - 5 ] A = ( 11 ) + ( - 3 ) + ( + 5 ) A = ( 11 ) + ( - 3 ) + ( + 5 ) A = 13

Méthode 2 : Enlevez les parenthèses puis les crochets ( sans effectuer les opérations). A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ] A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ] A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ 7 – 9 – 3 - 2 - 4 + 8 ] - [ - 4 - 8 + 3 - 2 + 6 ] A = ( 8 – 3 + 6 ) + 7 – 9 – 3 - 2 - 4 + 8 + 4 + 8 - 3 + 2 - 6 A terminer……. A = ( 11 ) + 7 – 9 – 3 - 2 - 4 + 8 + 4 + 8 - 3 + 2 - 6 A = 11 – 3 + 5 = 16 – 3 = 13

Méthode 3: Enlevez les crochets puis les parenthèses ( Sans effectuer les opérations). A = ( 8 – 3 + 6 ) + [ ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) ] - [ - ( 4 + 8 – 3 ) + ( - 2 + 6 ) ] A = ( 8 – 3 + 6 ) + ( 7 – 9 – 3 ) - ( 2 + 4 – 8 ) + ( 4 + 8 – 3 ) - ( - 2 + 6 ) A = ( 8 – 3 + 6 ) + 7 – 9 – 3 - 2 - 4 + 8 + 4 + 8 – 3 + 2 - 6 Si l’on compare cette dernière ligne avec la dernière ligne « 2°) » on retrouve les mêmes valeurs numériques…. 4°) Fin du calcul : A = 8 – 3 + 6 + 7 – 9 – 3 - 2 - 4 + 8 + 4 + 8 – 3 + 2 – 6 = + 43 - 30 = + 13

Activité n° .1.

Faites de même pour

C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6 ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ]

1°) Calculs indiqués : C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6) ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ] C = [ ( 6 ) - ( 3 ) ] - [ - ( 2 ) + ( - 8 ) ] C = [ 3 ] - [ - 10 ] C = + 13

2°) Suppression des parenthèses puis des crochets. C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6) ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ] C = [ 9 – 5 + 2 + 7 - 10 ] - [ - 9 + 7 - 4 – 9 + 5 ] C = 9 – 5 + 2 + 7 - 10 + 9 - 7 + 4 + 9 - 5 C = 40 – 27 C = + 13

3°) Suppression des crochets puis des parenthèses.

C = [ ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6) ] - [ - ( 9 – 3 – 4 ) + ( - 4 – 9 + 5 ) ] C = ( 9 – 5 + 2 ) - ( - 7 + 4 + 6) + ( 9 – 3 – 4 ) - ( - 4 – 9 + 5 ) C = 9 – 5 + 2 + 7 - 4 – 6 + 9 – 3 – 4 + 4 + 9 - 5 C = 40 – 27 C = + 13

Activité n° .2.

Calculez (simplifiez) l’égalité « B » ; ( et représentent des nombres.)

· Appliquez la 1^ère méthode : Enlevez les parenthèses puis les crochets.

· Appliquez la 2^ème méthode : Enlevez les crochets puis les parenthèses.

Activité n° 3

C = Supprimez crochets et parenthèses (dans l’ordre de votre choix) C = C = Regroupez entre elles les fractions de même dénominateur : C = Terminez le calcul (commencez à l’intérieur des parenthèses ) et simplifiez . …….

Fiche 8 : Exemples d’utilisation des nombres relatifs et des sommes algébriques.

1°) Calculs d’une moyenne .

Info +++ @

(soit une moyenne de note par exemple ) · Moyenne de 12 et 18 : ( 12 + 18 ) 2 = 30 2 = 15 · Moyenne de 8 ; 15 ; 4 : ( 8 + 15 + 4 ) 3 = 27 3 = 9 · Calculez la moyenne de : 11 ; 8 ; 4 ; 18 ; 7 ; 15 ; 9 ; vous trouvez : ……………( ………. ………= ……..)

Remarque 1 : Il est possible que la division « ne tombe pas juste » . Exemple : faîtes la moyenne de 13 ; 6 ; 18 : ( 13 + 6 + 18 ) 3 = 37 3 ; en faisant la division : on obtient : 12 , 333333333 La division ne se termine pas. Vous obtenez environ : 12 , 33 Dans le cas d’une moyenne de notes , on arrondirait à « 12 » ou « 12,5 »

2°) Moyenne de nombres relatifs.

Moyenne de ; - 3 ; 7 ; - 4 ; 9 ; - 2 ; 5 ; ………………….. ( - 3 + 7 – 4 + 9 – 2 + 5 ) 6 = 12 6 = +2

Remarque 2 : Il se peut que la somme soit un nombre relatif négatif , dans ce cas , pour calculer la moyenne , vous effectuez la division sans vous occuper du signe et vous attribuez le signe « - » au résultat. (cette règle sera justifiée dans la suite de cette fiche ) . Exemple ( - 24 3 = - 6 ) · Moyenne de : 1 ; - 9 ; - 7 ; 3 : …. ( + 1 – 9 – 7 + 3 ) 4 = - 12 4 = - 3 Activité n°1.. Calculez la moyenne de : - 7 ; 5 ; - 4 ; - 8 ; - 6 ; 3 ; - 5 ; 2 ………………….vous trouvez : - 20 8 = - 2,5

3°) Autre façon de calculer une moyenne. Souvent, vous calculez la moyenne de vos notes pour savoir si vous avez plus ou moins de « 10 ». Supposez que vous avez obtenu les notes suivantes ; 5 ; 12 ; 18 ; 15 ; 9 ; 17 ; 8 ; . Par rapport à « 10 » : la note « 5 » vous fait perdre « 5 » points, c'est-à-dire « -5 » Par rapport à « 10 » : la note « 12 » vous fait gagner « 2  points », c'est-à-dire « +2 » Aussi, complétez le tableau donnant l’écart de vos notes par rapport à « 10 ».

Notes

5

12

18

15

9

17

8

84

Somme

Ecarts

.-5

+2

+8

+5

.-1

+7

.-2

-8 +22= 14

←Somme

La somme des gains ou des pertes ( par rapport à « 10 » ) est alors ……  « 14 » …….. Ce gain ( ou cette perte) total est à répartir sur les « 7 » notes. Votre moyenne est alors de : 10 + ( 14 7 ) = 10 + 2 = 12 Vérifiez en calculant la moyenne par la première méthode , vous trouvez : 84 7 = 12

Remarque 3 : Dans la deuxième ligne du tableau, si l’on enlève les traits verticaux, on obtient :

.-5

+2

+8

+5

.-1

+7

.-2

= 14

Nous sommes en présence d’une somme algébrique ( les signes d’addition sont en sous-entendus)

Activité n°2 : On vous demande de calculer la moyenne de  : 5 ; 8  ; 14 ; 16 ; 4 ; 12 ; 7 ; 6 . Ecart de rapport à « 10 » : ……………………… - 5 ; - 2 ; + 4 ; + 6 ; - 6 ; + 2 ; - 3 ; - 4 ; ← soit la somme = - 8 La moyenne est alors de : 10 + ( - 8 8 ) = 10 – 1 = 9 .. vérifiez par la 1^ère méthode. - Calculez de même la moyenne de 8 ; 13 ; 15 ;7 ; 1 ;9 ;6 11 ; 3 ; 2 ; vous trouvez …………………. : ………

4°) Calcul mental de la moyenne.

Info +++ @ sur le calcul mental..

Exemple :

Variation des écarts

Variation des écarts

Variation des écarts

Variation des écarts

Variation des écarts

Notes

16

8

15

6

13

11

Ecarts

+6

-2

+5

-4

+3

+1

+4

+5

-4

+3

+1

sommes

+4

→

+9

→

+5

→

+8

→

+9

Somme finale = +9

La moyenne est alors «  10 + ( 9 6 ) = 10 + 1,5 = 11,5 . Vérifiez par la 1^ère méthode : ……

Activité n° 3….

Calculez mentalement la moyenne de : 8 ; 6 ; 13 ; 15 ; 7 ; 4 ; 5 ; 2 ; 12 ; …………. vous trouvez : ………………………. Et calculez la moyenne de : 12 ; 13 ; 5 ; 7 ; 8 ; 15 ; 6 ; 14 ; 16 ; 9 ;8 : .vous trouvez : …………………………

Fiche complémentaire : Calcul des coordonnées du milieu d’un segment.

Info +++@ ..les coordonnées du milieu d’une droite (segment)

I ) Milieu d’un segment sur une droite graduée :

« A » et « B » sont deux points d’une droite graduée. Le point « A » a pour abscisse ( -3) et le point « B » ( + 7). Placez sur la droite ci-contre le point « M » milieu du segment noté : [ AB] Donnez l’abscisse de ce point : M  a pour abscisse ( + 2 )

Vérifiez que cette abscisse est égale à la demi-somme des abscisse de « A » et « B ». ( C'est-à-dire à la demi –somme des abscisses ) soit

Cas général : Etant donné deux points « A » et « B » d’une droite graduée et « M » le milieu de [ AB] , appelons «  » et «  » et «  » les abscisses respectives de « A », « B » et « M » et «  » la distance de « A » à « B »

On écrit : AM = MB =

En désignant par « B » celui des points qui a la plus grande abscisse, on a : Exprimons «  » de deux façons : ou On a alors :  ; c'est-à-dire : ou encore :

A retenir . L’abscisse du milieu d’un segment est égal à la demi-somme des abscisses des extrémités de ce segment .

Activité n°1…

Complétez le tableau suivant :

Abscisse du premier point

12

8

-5

4

-7

- 14

Abscisse du second point

4

-5

-7

-3

4

Abscisse du milieu.

8

1,5

-6

0,5

3

-5

II ) Calcul des coordonnées du milieu d’un segment .

Soient : Deux axes de coordonnées : et y’ y. Ces deux axes sont perpendiculaires et on le même origine « O ». Le point « A » a pour«  coordonnées (+2) , (+ 9) . On écrit A ( 2 ;9). Le point « B » a pour«  coordonnées (+6) , (+ 1) . On écrit A ( 6 ;1). Le point « M » est le milieu de [ AB] . Nous allons déterminer ses coordonnées . Considérons la projection orthogonale sur . - Le point "A" a pour projeté le point « A’ » sur l’axe .. Donc « A » et « A’ » ont la même abscisse : « 2 » - Le point "B" a pour projeté le point « B’ » sur l’axe .. Donc « B » et « B’ » ont la même abscisse : « 6 » - Le point "M" a pour projeté le point « M’ » sur l’axe .. Donc « M » et « M’ » ont la même abscisse. D'autre part , puisque « M » est le milieu de [ AB] , son projeté « M’ » est le milieu de [ A’B’]. ( voir propriété 7 vu dans la fiche « 4 » de cette leçon)

Donc l’abscisse de « M’ » est la demi-somme des abscisses de « A’ » et « B’ ». Donc l’abscisse de « M » est la demi-somme des abscisses de « A » et « B ». C'est-à-dire ( abscisse de « M ») = On ferait de même pour les ordonnées, on dira alors : C'est-à-dire ( ordonnée de « M ») =

A retenir : Relativement à un système d’axes de coordonnées , pour tout segment, l’abscisse du milieu est égale à la demi-somme des abscisses des extrémités , l’ordonnée du milieu est égale à la demi-somme des ordonnées des extrémités.

Activités n°2 ..

Complétez le tableau ci-dessous :

Coordonnées des 2 points.

( - 5 ; +2 )

( - 8 ; - 1)

( - 5 ; + 3 )

( + 9 ; - 3)

( + 3 ; + 7 )

( + 8 ; - 3 )

Coordonnées du milieu.

( - 6 , - 3 )

( + 5 ; - 5 )

TRAVAUX AUTO FORMATIFS : voir les activités des fiches spécifiques….

CONTROLE:

1° ) Que signifie: Développer ?

2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un développement.

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

4 ° )Donner le modèle mathématique sur le développement de ( a + b ) ( c + d )

EVALUATION :

I ) Développer les expressions suivantes :
Série 1	résultat
9 ( 3 + 5 ) = (pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)
Série 2
Série 3
Série 4
a (a b + c^2f )

II ) Développer les expressions suivantes et réduire et ordonner quand cela est possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait « factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir traité cet objectif !

Série 2	développer	Réduire	Ordonner
( x +1 ) ( x -2 ) =
x +5 ) ( 3x -2 ) =
( -4x +3 ) ( 5 x - 6 ) =

Série 3	développer	Réduire	Ordonner
( x +5 ) ( x + 5 ) =
( x -5 ) ( x - 5 ) =
( x +5 ) ( x - 5 ) =

Série 4	développer	Réduire	Ordonner
( 2x +3 )^2 =	Voir les I.R.
( -3x +1 ) ^2 =	Voir les I.R.

Série 5	développer	Réduire	Ordonner
( a + b )^2 =	Voir les I.R.
( a - b )^2 =	Voir les I.R.
( a + b ) ( a - b ) =	Voir les I.R.

Développer , réduire , ordonner

A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie

Calculer l'aire d'une surface	Longueur	largeur
Rectangle	L = x +a	l = x - b