Auteur : WARME R.

INFORMATIONS  « ELEVE ».

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

Classe :…………………..

Année    scolaire : ………………………                                        

Dossier pris le : ……/………/………

Validation de la  formation :    O -  N

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

Devoir  exercices  sommatifs de(doit conclure le niveau)   niveau V entrée niveau IV.

co

Cette leçon est  très  importante. Elle doit être entièrement étudiée. Elle doit faire l’objet d’une attention toute particulière , elle est « particulièrement » longue à traiter ( il y a 4 règles fondamentales  à apprendre, dont une difficile à retenir,et il faut du temps pour apprendre ).

Chaque étape ( chapitre) doit être maîtriser .

Tous les chapitres doivent être entièrement maîtrisés.

La non maîtrise d’un seul de ses chapitres, risque d’entraîner  des  erreurs, par ignorance, notamment lorsque l’on recherchera une valeur dans le cas d’une résolution d’équation ou lorsque l’on devra faire une  étude de fonction .

Cette leçon ,  demande du temps pour la comprendre , apprendre les règles et les utiliser ,  il est conseillé de travailler, en même temps ( en parallèle) ,une autre leçon en commençant par : ( voir la leçon n° 14 )

Leçon

Titre

N°6

COURS :  LES NOMBRES RELATIFS

(identifications et opérations).

 CHAPITRES :

1° ) les nombres relatifs (définition)  

Info Plus ! ! ! ! ! !

2°) Comparaison de nombres relatifs

Info Plus ! ! ! ! ! !

3°)Expression algébrique et somme algébrique 

Info plus ! ! ! ! ! !

4°) Les opérations avec les nombres relatifs :

INFO : Résumé ! ! !

  a) addition ;

Info Plus ! ! ! ! ! !

      b) soustraction ;

Info Plus ! ! ! ! ! !

         c) multiplication ;

Info Plus ! ! ! ! ! !

d) division

Info Plus ! ! ! ! ! !

5°) OPERATIONS  COMBINEES : Priorités dans les calculs.

C d :  ³info plus

i1 9 ;i 29

I .  LE NOMBRE RELATIF .ou (les) nombres relatifs

:i

iinformations sur l’emploi des nombres relatifs :Dans la vie courante on utilise les nombres relatifs : pour exprimer une température ( +20°) . (voir les travaux en arithmétique) ( - 5°) ;

pour parler de son compte en banque ( je suis à   - 800 € ;ou je suis à + 800 € ) ; on entend à la radio que la bourse  (le CAC 40 ) a monté  de + 2,6% ; ou a baissé de  - 0,5% ,un plongeur  a plongé à  -12 m ; …. . Vous pouvez  trouver d’autres exemples.

Il faut apprendre à les reconnaître ces nombres relatifs  et faire des opérations avec ceux - ci .

Ci dessous , on a représenté dans le tableau les mesures de températures relevées au cours d’une journée.

On pourrait faire de même avec les notes obtenus sur un mois de scolarité ;….

Trouvez des exemples .

Définition : Un alignement  horizontal de chiffres précédé d’un signe  + ou - , dans des parenthèses  est appelé : nombre relatif .

Commentaire :     Un nombre relatif peut être positif ou négatif !

Ne pas confondre , par exemple :                      ( - 5,38 )   et    ( + 5,38 ) .

Les nombres « opposés » : représentation graphique des nombres décimaux relatifs .

 La lettre  D ^-   désigne l’ensemble des nombres relatifs négatifs.

 La lettre  D ⁺   désigne l’ensemble des nombres relatifs positifs.

Déterminer sur la droite le  Lieu du point « A »  ( - 5,38 )    et  le lieu  du point « B »  ( + 5,38 )

On dit que ( - 5,38 ) et ( + 5,38 ) sont à l’opposé du zéro .

RESUME

Nombre relatif positif 

Nombre relatif négatif 

Définition :  Un alignement de chiffres  précédé  d’un signe « plus »  entre parenthèses  est un nombre  relatif positif .

Exemple :   ( +  35,7 )

Remarques :

La forme simplifiée d’un nombre relatif positif    ( +  35,7 )   est    + 35,7

Une simplification abusive, assimile « 35,7 »     à un nombre relatif .

Il est abusif d’écrire  que :

( +  35,7 )   = 35,7

Définition :Un alignement de chiffres  précédé  d’un signe « moins »  entre parenthèses est un nombre  relatif négatif .

Exemple : ( -  35,7 )

Remarques :

Exemple de simplification d’écriture :   - 35,7  est une simplification du nombre  relatif négatif ( -35,7).

i    Le nombre zéro est considéré à la fois comme « positif » et « négatif » .

Définition : Les nombres relatifs de signe contraire  sont dits : opposés.

Exemple 1 :                    (-3,7) et (+3.7) sont des nombres opposés

( info plus Cd : sur l’opposé d’un nombre )

Dans les nombres relatifs, l’alignement de chiffres séparés ou non par un virgule est  appelé  « la valeur absolue » du  nombre relatif .

Exemple 2 :  3,7  est la valeur absolue de  ( - 3,7 )  et de ( + 3 ,7 ).

RESUME DU VOCABULAIRE UTILISE

Nombres relatifs

Nombre relatif positif

Nombre relatif négatif

Forme simplifiée

Valeur absolue

( + 3,7)

( + 3,7 )

+ 3,7

3,7

( - 3, 7 )

( - 3,7 )

- 3,7

3,7

Attention ; Il ne faut pas confondre :

 le nombre décimal   3,7   avec le  nombre décimal  relatif  ( + 3,7 ) qui  lui a pour « valeur absolue »  la valeur  3,7

(En arithmétique  nous utilisons exclusivement des nombres décimaux ,En algèbre , nous utilisons exclusivement des nombres relatifs.   l’information sur le calcul à faire  et   l’utilisation des nombres « positifs » ou et des nombres relatifs est donnée par le  professeur ou dans l’énoncé

 i     On  ne devrait pas et on ne  peut pas assimiler le nombre  « 3,7 »  à la forme simplifiée  du nombre relatif  positif :  + 3,7  .Ce sont deux nombres différents .Ils appartiennent à deux ensembles de nombres différents.

SIMPLIFICATION @  D’UN NOMBRE RELATIF

Positif :   ( +3)  Je peux simplifier un nombre relatif positif ,pour cela il suffit de supprimer les parenthèses et le signe   + se trouvant entre les parenthèses

      Donc   ( +3) devient "simplifié"   3    ; mais attention danger !  il faut savoir faire l' inverse..

C’est à dire  que :   5,6   est en fait  le nombre relatif ( + 5,6)

Négatif : ( -3)  Je peux simplifier un nombre relatif négatif  ,pour cela il suffit de supprimer les parenthèses et conserver le signe   -   se trouvant entre les parenthèses

Donc   ( -3) devient "simplifié"   -3    ; mais attention danger ! il faut savoir faire l' inverse..

C’est à dire  que :   - 7, 3   est en fait  le nombre relatif   ( - 7,3 )

A propos  de ce qu ‘il faudrait  dire lorsque l’on est en présence de deux nombres relatifs :

1°)    Soit , par exemple , deux nombres relatifs :  ( - 2 )  et   ( + 3)  on pourra dire que :

     Le  nombre (+3) est plus grand que le nombre (-2)

     La valeur absolue « 3 »  du nombre  ( + 3 ) est plus grande que la valeur absolue « 2 »  du nombre ( +2)

2°) Soit deux nombres relatifs :     ( - 5 )  et ( + 3) :

    Le  nombre (+3) est plus grand que le nombre (-5)

    La valeur absolue « 5 »  du nombre  ( - 5  ) est plus grande que la valeur absolue « 3 »  du nombre ( +3)

    Le nombre ( + 3)  est plus grand que le nombre (- 5)

    Le nombre qui a la plus grande valeur absolue est le nombre ( -5)

    Le signe du nombre relatif qui a la plus petite valeur absolue est « + »

    Le signe du nombre relatif qui a la plus grande valeur absolue est  «  -  » 

i9  

I I . COMPARAISON DE NOMBRES RELATIFS

Info Plus ! ! ! ! ! !

Définition :

                        - Tout nombre relatif négatif est inférieur ou égal à zéro .

                        - Tout nombre relatif positif est supérieur ou égal à zéro .

                        - Un nombre relatif négatif est plus petit qu’un nombre relatif positif .

A )  Comparaison de deux nombres « négatifs » 

Règle : Si deux nombres relatifs sont négatifs , le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue ; le plus grand est donc celui qui à la plus petite valeur absolue .

Exemple :  ( - 6 ) est plus petit que ( -2 ) , parce que  -6  est le plus éloigné de 0 sur une droite graduée .

( info plus Cd : voir repérage des nombres relatifs sur une droite )

INFO : le signe    ±    signifie  « + » ou « - »  superposé  , il faut lire « plus ou moins » .

L’écriture ( ±  5 ) ; désigne à la fois le nombre ( +5) et le nombre ( -5) 

(Nota : ce signe est employé pour désigner la valeur de « x » , dans la résolution de  x ² )

Représentation graphique des nombres décimaux relatifs :

Sur  une droite graduée , sur laquelle on à placé un point d’abscisse « O » , on peut ranger les nombres relatifs et les lire dans un ordre croissant ou décroissant

Exemples : Soit une série de nombres ordonnés

Non simplifiée :

(- 189) < (- 74) < (-  6)  < (- 5 )< (- 4) < (-2,3) < ( ±  0 ) < (+1)  < (+ 1,5) < (+ 5,9) < (+ 13) < ( (+ 147,34)

la même série « simplifiée » :

 - 189 < - 74 <-  6 < - 5 < - 4 < -2,3 <  0 < +1  < + 1,5 < + 5,9 < + 13 < 147,34

a) Classement par ordre croissant :

- 189 < - 74 <-  6 < - 5 < - 4 < -2,3 <  0 < +1  < + 1,5 < + 5,9 < + 13 < 147,34

Commentaires :   ( - 189)  est Le plus petit nombre , il est placé à l’extrême gauche de la ligne;  ( + 147 , 34)   est  le plus grand nombre , il est placé à l’extrême droite de la ligne

b) Classement  par ordre décroissant : 

+ 34  > + 15,6 > +3 > 0 > - 2 > - 3,4 > - 63 > - 137,8

Commentaires :   ( + 34 )  est Le plus grand  nombre , il est placé à l’extrême gauche de la ligne;  ( - 147 , 8)   est  le plus petit  nombre , il est placé à l’extrême droite de la ligne

En règle générale ,et  par habitude , on classe  du plus petit au plus grand , en partant de la gauche, en allant de la gauche vers la droite.

Comparaison de deux nombres « positifs »  « Info CD ici » 

La comparaison de deux nombres positifs ne doit pas poser de problème particulier , sinon retourner au cours N°1 . ( cours sur les nombres décimaux).
Rappel de la : Méthode  :

Le plus petit est celui qui a la partie entière la plus petite .

S’ils ont la  même partie entière  , on compare les parties décimales chiffre à chiffre à partir des dixièmes .

POUR CLASSER des nombres décimaux relatifs :

1°) il faut classer les nombres  positifs avec les positifs , les négatifs avec les négatifs ,

2°) Il faut classer,  pour chaque groupe, les  valeurs absolues ( il est souhaitable d' utiliser le tableau de numération) :

3°) ranger en fonction du signe

►Si les nombres sont positifs : on classe les valeurs absolues de la  plus petite à la plus grande en partant de la gauche.

►Si les nombres sont négatifs : on classe les valeurs absolues de la plus grande à la plus petite en partant de la gauche.

Exemple avec des nombres positifs  :

Enoncé : classer les nombres suivants (par ordre croissant) :

                         4,067   ; 4,07  ;  40,7  ;   4,071  ;  4,71   ;  4,701  ;  4,717  ; 4,08

Procédure:

a) « rentrer » les nombres dans le tableau de numération .

b)   compléter les cases "vides" avec des zéros

c)  dans le tableau donner un numéro d' ordre , lire les nombres à partir de l'ordre décimal le plus grand (ici les millièmes):

artie entière  (multiples )

Partie décimale   (sous multiples)

Classe des millions

Classe des mille

Classe des unités

Dixièmes:

1^er ordre

décimal

Centièmes

2^ième ordre décimal

Millièmes

3^ième ordre

décimal

C

9^ième ordre

D

8^ième ordre

U

7^ème ordre

C

6^ième ordre

D

5^ième ordre

U

4^ième ordre

C

3^ième ordre

D

2^ième ordre

U

1^er ordre

0,1

ou

1/10

0,01

ou

1/100

0,001

ou

1/1000

N°8

4

0

6

7

N°7

4

0

7

0

N°1

4

0

7

0

0

N°6

4

0

7

1

Quand les nombres sont placés , on numérote  les nombres dans l’ ordre  demandé.

N°3

4

7

1

0

N°4

4

7

0

1

N° 2

4

7

1

7

N°5

4

0

8

0

d) reporter le résultat:

Remarques :

Il y a deux solutions ( possibilités ) acceptées pour rendre compte :

a) les nombres sont classés et séparés par des points virgules :

            40,7 ;  4,717 ; 4,710 ;  4,701 ;  4,080 ; 4,071 ;  4,070 ;  4,067

b) les nombres sont classés et séparés par le signe   <   qui désigne une relation  dite « relation d’ordre »

          40,7  < 4,717 < 4,710 < 4,701 < 4,080 < 4,071< 4,070< 4,067

Autre méthode :   classer  les nombres suivants :  57,2 ; 57,23 ; 57, 236 ; 57,3 ; 57,235 ; 57,24

On classe par « rang décimal »  :   

On classe les parties entières  et puis  ensuite les parties décimales :

                                                                       57,2   et  57,3

       57,23  et  57,24

     57,235  et  57, 236

   On compare celui qui a le plus grand  nombre de dixième , à partie entière égale  : 

                                                        57,2  <  57,3

  On compare celui qui a le plus grand nombre de centièmes, à dixième égal   :

                                                     57,23 <  57,24

On compare celui qui a le  plus grand  nombre de  millièmes , à centième égal:

                                               57,235 < 57, 236

Remarques :  0,5  = 0,50 = 0,500

0,5

Lire "cinq dixièmes" d ' unité

0 ,50

Lire" cinquante centièmes" d ' unité

0,500

Lire " cinq cent millièmes d ' unité

*une "unité "vaut 1

ainsi : 57,2 = 57,20 = 57,200

On peut ainsi classer :

57,200  <57,230 <57,235 < 57, 236<  57,240<  57,300

 (on peut « rajouter des « 0 » pour obtenir le même rang décimal , ce qui facilite la lecture des nombres « sous multiples » )

i9  

III. transformations d’écritures :EXpression algébrique et somme algébrique

Info plus ! ! ! ! ! !

iTrès souvent ,on vous donne en exercice  à faire des calculs  avec des nombres qui  sont écrits sous forme de nombres relatifs simplifiés. Cette suite de nombres séparée par des signes «  + , - ; …..)  est appelée   « communément » : expression algébrique.

 Il faut  transformer cette expression algébrique en une somme  algébrique ! ! ! ! !

On va voir , dans ce chapitre ,  que  les signes  « + et   -  » ne sont pas des signes « opératoires » .Ils indiquent  seulement si le « terme » est « positif » ou « négatif ».

Définition : Une suite de 2 ou plusieurs nombres précédés d’un signe + ou – sont appelée : expression algébrique .

Exemples : 

Attention : l’écriture :            « 12 + 6,5 »  devient  « + 12 + 6,5 »

Il en est de même   pour   « 14,5 – 53,7 »  se transforme  « + 14,5 – 53,7 » 

Ainsi : lorsqu ‘en tête d’expression il n’y a pas de signe, il faut  rajouter à l’expression le signe « + » en tête d’expression , avant de vouloir transformer une expression en somme algébrique.

Transformation des expressions algébriques en somme algébrique :

A )  Avec  2 nombres et   4 cas :

Dans les deux premiers cas il faut faire une première transformation:

1°)  « 12 + 6,5 » qui devient   « + 12 + 6,5 »   ;             on remarque : on a  dans l’ordre :deux nombres précédés du signe +

2°)  « 14,5 - 53,7 » qui devient   « + 14,5 – 53,7 » ;     on remarque : on a  dans l’ordre : un nombre précédé du signe + et un nombre précédé du signe - )

 3°)  « - 47 + 32 » ;           on remarque : on a  dans l’ordre : un nombre précédé du signe -   et un nombre précédé du signe +)

4°)  « - 30,2 – 8,34 » ;     on remarque : on a  dans l’ordre  deux nombres précédés qu signe -

Procédure de transformation d’une expression  algébrique en somme algébrique  

On retiendra que : pour transformer une expression  algébrique de deux nombres en somme algébrique  (addition de deux nombres relatifs)

Il faut : mettre le signe « + » en tête d’expression (si il n’y a pas de signe - ou de signe + ) puis il faut  mettre les chiffres et le signe qui les précède dans des parenthèses , pour terminer on sépare  les parenthèses contenant  ces nombres relatifs par le signe  + .

Application :

L’expression algébrique

Devient la somme algébrique :

L’expression algébrique

Devient la somme algébrique :

+12 +6,5

(+12) + (+6,5)

- 43,25 + 49

(- 43,25)+( + 49)

-47 + 32

(-47) +( + 32)

+ 14,5 – 53,7

(+ 14,5) +( – 53,7)

- 30,2 – 8,34

(- 30,2) +( – 8,34)

B )  Transformation d’une suite de nombre  (avec plus de 2 nombres)

Exemples  :    ►         - 7 – 3 – 23 

                     ►         3,2 – 4,67 – 5,63 + 14  qui devient    + 3,2 – 4,67 – 5,63 + 14 

L’expression algébrique

Devient la somme algébrique :

- 7 – 3 –23 

(- 7) + ( – 3) + ( –23) 

+ 3,2 – 4,67 – 5,63 + 14 

(+3,2) + (– 4,67) + ( – 5,63) + ( + 14) 

C )  Transformation d’une suite de nombre et  ou de  lettres  

Exemples  :    ►         - 7x – 3 – 23 

                     ►         3,2 – 4,67x – 5,63xy  + xyz  qui devient   + 3,2 – 4,67x – 5,63xy  + xyz 

Transformations :  

►         - 7x – 3 – 23   devient  la somme    (- 7x) + (– 3) + ( – 23)  

►          + 3,2 – 4,67x – 5,63xy  + xyz   devient (+ 3,2) +  (– 4,67x) + (– 5,63xy) + (+ xyz) 

Procédure de transformation d’une expression  algébrique en somme algébrique  

CAS GENERAL :

On retiendra que : pour transformer une expression  algébrique en somme algébrique  (addition de terme relatifs)Il faut  mettre le signe « + » en tête d’expression (si il n’y a pas de signe - ou de signe + ) puis il faut  mettre les chiffres (et ou  lettres)  et le signe qui les précède dans des parenthèses , et séparer  les parenthèses contenant  ces nombres relatifs par le signe +.

A quoi ça sert ??????? :

Pour factoriser , pour effectuer des calculs en algèbre ( pour résoudre ) , pour faire des calculs « apparemment »  simples avec des nombres positifs et  ou  négatifs , à chaque fois il faut  « identifier les termes »  et  les termes n’existent que dans la somme algébrique , aussi il faut savoir « impérativement » transformer les expressions  « algébriques » simplifiées :

+12 + 6,5 =  …(ce calcul est simple ) … ;  - 47 + 32 = ……(ce calcul est  moins simple ) ….. ; - 30,2 – 8,34  =………(ce calcul n’ est pas simple ) …. ; et ainsi de suite :

+ 14,5 – 53,7 = ……..;-43,25 + 49 = …….. ; - 7 – 3 –23  = …… ;3,2 – 4,67 – 5,63 + 14  = …………….;

Exemples de calculs qui deviennent simples :

Transformation : On veut effectuer une suite d’addition 

On calculera   la somme   :Voir cas par cas , dans la suite du cours , pour trouver le résultat

+12 + 6,5       =    (+12) + (+6,5) 

….de deux nombres positifs. (de  même  signe ).

- 47 + 32        =      (-47) + (+ 32) 

….de deux nombres de  signe contraire .

- 43,25 + 49   =   (- 43,25) + (+ 49) 

….de deux nombres de  signe contraire .

+ 14,5 – 53,7 =  (+ 14,5) + (– 53,7) 

….de deux nombres de  signe contraire .

- 30,2 – 8,34  =  (- 30,2) + (– 8,34) 

….de deux nombres  négatifs. (de  même  signe ).

Dans le cas ou il y a  plus de deux nombres :  on effectue toujours la transformation .parce que l’on veut  calculer une suite d’additions ! ! !

- 7 – 3 –23  = (- 7) + ( – 3) + ( –23) 

+3,2 – 4,67 – 5,63 + 14  = (+3,2) + (– 4,67) + ( – 5,63) + ( + 14) 

INFO PRATIQUE : Lorsqu’il y a plus de deux nombres , il faudra regrouper les nombres de même signe ( on fera la somme des nombres positifs , et la somme des nombres négatifs, pour conclure sur la somme de deux nombres de signe contraire .

i9  

IV ) LES  « 4 » OPERATIONS  simples avec les nombres relatifs :

INFO : Résumé ! ! !

Commentaires :   Les groupes d’ opérations avec les nombres relatifs  sont au nombre de 3 :

                     Le groupe « addition » ( 3 règles)  ; le groupe de la multiplication ( 3 règles)    et le groupe de  la division ( 3 règles)  , on se souviendra que la soustraction « ne se fait pas » ( 1 règle) .

Ce qui en fait vous oblige à apprendre 10 règles pour réussir tous les exercices de calculs avec deux nombres relatifs.

i9  

IV.1                 Groupe :      ADDITION

Info Plus ! ! ! ! ! !

Situations problèmes :

1°)  Sens que l’on peut donner à  une somme de 3,4 € :

En matière d’argent :

-          les recettes ou gains d’argent sont des « nombres arithmétiques » positifs , ils s’écrivent avec un signe +  dans des parenthèses. ( + 3,4 € )  ;

-           les dépenses ou dettes  sont des « nombres  arithmétiques » dits « négatifs » , ils s’écrivent avec un signe - dans des parenthèses. , ( -3,4 € )

Donc 3,4 € est une monnaie relative : je reçois 3,4 €  j’écris sur mon compte ( + 3,4) , de donne  3,4 € , sur mon compte j’écris  ( - 3,4) .

2°) Somme de nombres positifs :

Sur une journée je reçois : 2  €  et  5  € sur mon compte j’écris (+2) ;(+ 5) , je veux faire la somme j’écris : (+2)  +  (+ 5)  =  ( +  (  2 + 5 ) )

3°) Somme de nombres  négatifs  :

Sur une journée je donne  : 2  €  et  5  € sur mon compte je vais écrire (- 2 ) et (  - 5) , j’additionne ces deux valeur et j’obtient   (- 2)  +  (-  5)  =  ( -  (  2 + 5 ) )  = ( - 7 ) ; cela signifie que j’ai fait une dépense pour la journée de 7 €

4°) Somme de deux nombres de signe contraire : (somme d’une dépense et d’un gain ):

1^er cas : je n’ai rien en poche ;je dépense 2 €  et je reçois 5 € ; le bilan  est qu’il me reste 5 - 2 = 3  € , j’écrirai (+3) €  .

soit :   ( - 2 )  + ( +5 )  =  ( + ( 5 - 2 ) )   = ( + 3 )

2^ème  cas : j je n’ai rien en poche  je dépense 5 €  et je reçois 2 € ;

Bilan  je dois  5 - 2 = 3  € , j’écrirai (- 3) €

soit :   ( + 2 )  + ( - 5 )  =  ( - ( 5 - 2 ) )  = ( - 3 )

ce qui nous permet de généraliser :

¶ Addition de deux nombres de signe + 

Règle1: On énoncera :   Somme de deux nombres relatifs de signe  « + » :

       La somme de deux nombres relatifs de signe  « + »  est égale à un troisième nombre relatif qui aura pour signe  « le signe +   » et pour valeur absolue « la somme des valeurs absolues » .

Règle2:   On énoncera :  

Somme de deux nombres relatifs de signe  « - » :   La somme de deux nombres relatifs de signe  « - »  est égale à un troisième nombre relatif qui aura pour signe  « le signe -   » et pour valeur absolue « la somme des valeurs absolues » .

Règle 3  : On énoncera :  

La somme de deux nombres relatifs de signe  contraire   est égale à un troisième nombre relatif qui aura :

            - pour signe : « le signe  du nombre relatif qui a la plus grande valeur absolue  » 

            - pour  valeur absolue : « la différence des valeurs absolues » . On soustrait    toujours  la plus grande valeur absolue  moins la plus petite valeur absolue ! ! !.

Pour additionner deux nombres de signe contraire  :

Le résultat est un nombre  qui aura pour signe , le signe  du nombre relatif qui à la plus grande  valeur absolue .

Exemple 1  :      ( + 6 ) + ( - 7 ) =          ( calcul « plus compliqué » si :    6 - 7  = ? )

Exemple 2   :          ( -  6 ) + ( +  7 ) =   ?   ( calcul « plus compliqué » si :    - 6 + 7  = ? )

i9   

IV.2                               SOUSTRACTION

Info Plus ! ! ! ! ! !

Situations - problèmes :

Je suis à ma banque : j ‘ai   7 € à mon compte je vais retirer  3 € ; bilan :    ( +7 ) - ( +3) ; il me reste sur mon compte 4 € .

Je suis dans un magasin :j’ai 7 €  et que je dois   3 €    ;                 bilan :     + 7 ) + ( - 3 ) ;         il me reste    4 € .

je vois  et constate  que ( +7 ) - ( +3)   = ( + 7 ) + ( - 3 ) ,

On remarque que soustraire une valeur relative à un nombre relatif  c’est ajouter à ce nombre relatif l’opposé de cette valeur relative.

Pour deux nombres relatifs on trouvera  les quatre cas suivants :

( +7 ) - ( +3)   = ( + 7 ) + ( - 3 )    ;  ( =  + 4 )

( +7 ) - ( -3)    = ( + 7 ) + ( + 3 )    ; ( =  +10 )

( -7 ) - ( +3)      = ( - 7 ) + ( - 3 )    ; ( = - 10 )

( -7 ) - ( -3)       = ( - 7 ) + ( +3 )    ;  ( = - 4 )

A  chaque fois que cela est possible  on décidera de  transformer la soustraction ; pour calculer  on applique les règles de l’addition vu ci-dessus.

i1:  L’opposé de  ( + 3 ) est  ( -3) ; l’op. ( +7) = -7

i2: Avec les nombres relatifs, la soustraction ne se fait pas. On transforme cette soustraction.

Règle : On énoncera :   

Pour  soustraire un nombre relatif  ( 1)  à un autre nombre relatif  ( 2) , on ajoute  à (2) l’ opposé de (1) .

Ensuite : On applique  la règle de l’addition qui correspond aux  3 cas traités ci-dessus.

[un autre nombre relatif  ( 2)]  - [un nombre relatif  ( 1)    ] = nombre relatif  ( 2)]  + opposé du nombre relatif  ( 1) ] =

Exemple 1  :      ( + 6 ) -  ( - 7 ) =   ?          ( calcul pas possible !!!!! )

( pas de calcul immédiatement possible !)

Exemple 2 :      ( + 9 ) -  ( +11  ) =   ?          ( calcul pas possible !!!!! )     ( pas de calcul immédiatement possible !)

i n° 3   :  - 6  – 7   n’est pas une soustraction, mais l’addition de  ( - 6 ) + ( - 7 )

comme  6 – 7   n’est pas une soustraction mais l’addition  de ( + 6 ) + ( - 7 )

( revoir Info. : transformation d’une somme algébrique en somme algébrique )

 i9 Info (notion) 

IV.3   MULTIPLICATION avec     2    D ^{+ ou -}

Info Plus 1

La première règle sur la multiplication  est celle que l’on semble retenir le plus facilement , alors qu’il est compliquer d’expliquer pourquoi le produit de deux nombres relatifs de signe  - donne en résultat le signe « + » !!!!

Règle  1   : Le produit de deux nombres relatifs  de même signe , est égal à un nombre relatif qui aura  le signe    +  et qui aura comme valeur absolue, le produit des valeurs absolues .

Exemples :

 ( - 6 ) ( - 7 )  =   ( +  ( 6 7 ) )   =  ( + 42 ) ; forme simplifiée du résultat : + 42  ou 42

( + 6 ) ( + 7 )  =   ( +  ( 6 7 ) )   =  ( + 42 ) ; forme simplifiée du résultat : + 42  ou 42

Souvenez vous que le signe « multiplié » est sous entendu  entre deux parenthèses opposées

Règle  2   : Le produit de deux nombres relatifs  de signe contraire, est égal à un nombre relatif qui aura  le signe  -   et qui aura comme valeur absolue, le produit des valeurs absolues .

Exemples :

1°)  On multiplie un « négatif » par un « positif »

( - 6 )   ( + 7 )  =   ( -   ( 6 7 ) )   =  ( - 42 ) ; forme simplifiée du résultat : - 42

2°) On multiplie un « positif » par un « négatif ».

( + 6 )  ( -  7 )  =   ( -   ( 6 7 ) )   =  ( - 42 ) ; forme simplifiée du résultat : - 42

Dans le produit de deux nombres de signe contraire , le signe  « moins » l’emporte.

i9  Info (notions)

IV.4   DIVISION    avec     2 nombres    D ^{+ ou -}

Info Plus ! ! ! ! ! !

Commentaire :       Pour effectuer la division de deux  nombres relatifs , on applique les mêmes règles des signes  que celles employées pour la multiplication .En ce qui concerne la valeur absolue du résultat , on calculera le quotient des deux valeurs absolues .

¶ Quotient de deux nombres relatifs  de même signe 

 Règle : Le quotient de deux nombres relatifs  de même signe  est égal à un nombre relatif qui aura  le signe  +  et qui aura comme valeur absolue  ,le quotient des valeurs absolues .

Exemples :

( - 42 ) + ( - 7 )  =   ( +  ( 42 :  7 ) )   =  ( + 6 ) ; forme simplifiée du résultat : +6

( + 24 ) + ( + 6 )  =   ( +  ( 24 : 6  ) )   =  ( + 4 ) ; forme simplifiée du résultat : +4

· Quotient de deux nombres relatifs  de signe contraire

Règle : Le quotient de deux nombres relatifs  de signe contraire est égal à un nombre relatif qui aura  le signe -   et qui aura comme valeur absolue, le quotient des valeurs absolues .

Exemples :

( - 42 ) + ( + 7 )  =   ( -   ( 42 :  7 ) )   =  ( - 6 ) ;   forme simplifiée du résultat :   - 6

( +24  ) + ( -  6 )  =   ( -   ( 24 : 6 ) )   =  ( - 4 ) ;   forme simplifiée du résultat :   - 4

¸ Simplification d’un nombre relatif

Positif :   ( +3)  Je peux simplifier un nombre relatif positif ,pour cela il suffit de supprimer les parenthèses et le signe   + se trouvant entre les parenthèses

      Donc   ( +3) devient "simplifié"   3    ; mais attention danger !il faut savoir faire l'inverse..

Négatif : ( -3)  Je peux simplifier un nombre relatif négatif  ,pour cela il suffit de supprimer les parenthèses et conserver le signe   -   se trouvant entre les parenthèses

      Donc   ( -3) devient "simplifié"   -3    ; mais attention danger !il faut savoir faire l' inverse..

Í   Fractions : (observer le signe des termes !!!!

        =   ( - (5 : 7)  )     ;      =   ( + ( 3 : 4 ) )     ;       =  ( -  ( 6,4 : 3 ))

              =      ;       =   ;      = ;     =

i9   

V) OPERATIONS COMBINEES : PRIORITES  de  CALCULS

C d :  ³info plus

iLes expressions algébriques  contiennent une  suite d’opérations , elles ne  contiennent pas de parenthèses :

¶ Suite d’additions

Exemple :  «   8 + 56 + 12 + 965,12 »   ( remarque : l’expression  ne contient que des « additions »:

Procédure 

Exemple

1^ere Etape

Transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs

 x = «   (+8)+( + 56) + (+12) +(+ 965,12) »

2^eme Etape

Faire la somme des nombres de même signe

x = (  +  (8 + 56+12 + 965,12) ) 

à ce stade , il faut   faire la somme des valeurs absolues !!!

3^eme Etape

Rendre compte

x = (+1041,12)

· Suite de soustractions

i          Attention au signe du premier  nombre :

  + s’ il est négatif : faire la somme des nombres négatifs

 + s’il est positif :   faire la somme des nombres négatifs ; terminer par la somme de deux nombres de signe contraire

+          l’expression  débute par un signe «  -  »  et ne contient   que des signes « moins » .

 Exemple  « -12 - 56 - 4 - 5,7 » 

Procédure 

Exemple

1^ere Etape

Transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs(SOS cours)

x = (-12) + (- 56) + (- 4) + (- 5,7) 

2^eme Etape

Faire la somme des nombres de même signe(SOS cours)

x = (- (12 + 56  + 4 + 5,7  ) 

3^eme Etape

Rendre compte

 x  = -12 - 56 - 4 - 5,7    = (-77,7)

+ L’expression  n’a pas de signe  en tête d’expression  ou  elle débute par un signe «  + »  et ne contient   que des signes « moins » .

Exemple : « 12-56-4-5,7 »    ou  « +12-56-4-5,7 »

Procédure 

Exemple

1^ere Etape

Transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs(SOS cours)

x = (+12) + (- 56) + (- 4) + (- 5,7) 

2^eme Etape

Faire la somme des nombres de même signe(SOS cours)

(- (56  + 4 + 5,7  ) 

soit :     ( - 55,7 )

Somme des Valeurs absolues des nombres négatifs

3^eme Etape

Faire la somme des nombres de signe contraire

x =  (+12) + (- 55,7)

  = ( - ( 55,7 - 12 )

   =   (  - 33,7 )

4^emeEtape

 Rendre compte

12 - 56 - 4 - 5,7  = ( - 33,7 )

¸  L’expression  ne contient que  des « additions » et des « soustractions » .

Exemple :             x = - 12 + 56 - 4 + 5,7 

Procédure 

Exemple

1^ere Etape

Transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs(SOS cours)

L’expression  algébrique  « x = - 12 + 56 - 4 + 5,7 »   devient la somme :

x = (-12) + (+56) + (-4) + (+5,7)

2^eme Etape

Regrouper les nombres de même signe

 (-12) ; (-4)  et (+5,7) ;(+56)

3^eme Etape

Faire la somme des nombres de signe contraire

(-(12+ 4 ))=    ( -16) 

(+(56 + 5,7 ))= ( +61,7)

4^emeEtape

Faire l'addition des deux sommes calculées (nombres de signes contraires)

x = (-16 ) + (+ 61,7 )

x = (+ ( 61,7 - 16 ) )

x = (+  45,7  )

5^emeEtape

Rendre compte

x = -12+56-4+5,7 

x = (+  45,7  )

¹ L’expression contient des multiplications :   (exemple :calcul d’un volume)

+  Il n’y a que des multiplications:  sans signe négatif 

Exemple     ( 91,2 6,9 )

Procédure: il faut faire le produit des nombres ( ou valeurs absolues)

Procédure

Exemple

1^ere Etape

1^ère multiplication :

91,2  = 10 ,8

2^eme Etape

2^ème multiplication

10,8 6,9 =  74,52

3^eme Etape

Rendre compte

91,2 6,9  = 74,52

Nombre impair de signe «moins » ,le produit  est « négatif »

+Il n’y a que des multiplications:  avec un ou des  signes négatifs  

Exemple :    ( - 91,2 6,9 ) ; ( - 9- 1,2 6,9 ) ; ( - 9-1,2 -6,9 ) 

Remarque :   Il faut faire le produit des nombres ( ou valeurs absolues)

Procédure

Exemple

1^ere calcul

1^ère  multiplication

( - 91,2 6,9 ) = ?

          - 91,2   devient    - 10,8

        et    - 10 , 8  6,9  =  - 74 , 52

2^eme calcul

          2^ème multiplication

( - 9- 1,2 6,9 )   = ? 

- 9- 1,2   devient     + 10,8

et             10,8 6,9 =  74,52

3^eme calcul

          3^ème multiplication

    ( - 9- 1,2  - 6,9 )   = ? 

- 9- 1,2   devient     + 10,8

et             +10,8  -6,9 =  - 74,52

4^eme Etape

On remarque :

Pour un nombre impaire de signe  -  donne un résultat négatif :

( - 91,2 6,9 )      =   -74,52

( - 9-1,2 -6,9 )   =    -74,52

Pour un nombre paire de signe  -  donne un résultat positif  :

( - 9- 1,2 6,9 )    =  +74,52

On retiendra que le  résultat d’une suite de produit  :

+ si la suite  de multiplications    à 1 ou 3 ; 5 ; 7 signes  « moins » : le résultat sera du signe « moins »

+ si la suite de multiplications  à 2 ; 4 ; 6 ; 8 ;…signes « moins » : le résultat sera du signe « plus » .

Remarques :

Si le nombre de  nombres est   impair  et de signe «moins » ,le produit  est « négatif »

Si le nombre de nombres est  pair  et de  signe « moins » ,  le produit   est positif .

On utilisera ce type de savoirs lorsque l’on devra calculer des  : x² ;   x  ³ ;  x ⁴ ; x ⁵ ; ….x ⁿ ,  si « x »  est un nombre relatif ,  on pourra déterminer le signe du résultat  avant d’effectuer le calcul.

Exemple : 

calcul de x ⁵   avec « x » = - 3 ; avant de calculer ,on sait par avance  que le résultat sera un nombre négatif.

+La suite de  multiplication ne contient que des nombres de signe négatif  

Exemple  (-9-1,2 -6,9 )

Procédure : calculer le produit des valeurs absolues ; compter le nombre de nombres .

si le nombre de nombres est  pair : le produit est un nombre relatif positif .

si le nombre de nombres est impaire : le produit est un nombre relatif négatif .

º La suite d’opérations ne contient que des divisions .( très rare)

Exemple : 15 : 8 :2

Remarque : Il faut commencer  par la division de gauche.

Procédure

Exemple

1^ere Etape

1^ère division :  15 : 8

1,875

2^eme Etape

2éme division :      1,875 : 2

0,9375

3^eme Etape

Rendre compte

15 : 8 :2 = 0,9375

Exemple :  Avec des fractions 

-          Vous avez travaillé le cours sur les opérations sur les fractions , alors vous avez  une première  réponse.

-           Vous n’avez pas travaillé le cours sur les fractions « opérations » alors faire comme il suit :

Le plus simple est d’écrire les fractions sous forme d’une division :

il faut commencer  par la division de gauche.

Procédure

Exemple

1^ere Etape

( :1,2 )

(13 : 7)  : 1,2 =   2,6 : 1,2 = 2,1666667

2^eme Etape

( : )

(13 :5) : ( 27 :8) =  2,6 : 3,375 = 0,7703703 

3^eme Etape

( : :1,2 )

[ (13 :5) : ( 27 : 8)] : 1,2 = 

    ( 2,6 : 3,375 )    : 1,2  =

         0,7703703    : 1,2  =     0,6419752

»  Suite d’opérations  contenant  que  des « multiplications » et des « divisions »

+ La division "tombe juste", la division représente un nombre décimal .

Exemple   :   ( 6216 : 51,2)

Procédure

Exemple

1^ere Etape

Faire la (ou les division) :

16 : 5 =  3,2

( 62 3,21,2)

2^eme Etape

Faire les multiplications :il n ' y a  pas d’ordre impératif à respecter ; 

mais il est conseillé  de faire les opérations  en partant de la gauche,

198,4 fois 1,2 = 238,08

3^eme Etape

Rendre compte 

:( 6216 : (1,2) =  238,08

+ La chaîne contient des "fractions ou écritures fractionnaires"

Exemple :            (621,2)

Une  division "ne tombe  pas juste" ;on dit aussi " la (ou les)division ne représente pas un nombre décimal ."

Procédure

Exemple

 1^ere Etape

Mettre la (ou les ) fraction sous forme d ‘une       fraction irréductible ou  d’une écriture décimale

 est irréductible ; et =0,6

2^eme Etape

 Mettre tous les autres nombres sous forme de fraction de dénominateur égal à 1

3^eme Etape

  Faire le produit des numérateurs sur le produit des dénominateurs

=

4^eme Etape

Laisser le résultat sous forme fractionnaire ,puis rendre irréductible la fraction

 ou » 86,357143

¼ La suite d’opérations   contient  des  additions, soustractions ,multiplications ,divisions

Exemple   :       -8,4  + 112 + 

Procédure :

Procédure 

Exemple

1^ere Etape

Faire la (ou les ) division :

13 : 5 = 2,6

-8,4  + 112 +2,6 =

2^eme Etape

Faire la ( ou les )  multiplication

-8,4  + 22 +2,6

3^eme Etape

Transformer « l’expression » en « somme » de nombres relatifs

(-8,4 ) + ( + 22) + (+2,6)

4^emeEtape

Faire l'addition des deux sommes calculées (nombres de signes contraires)

( + 22) + (+2,6)  = ( + (22+2,6))=(+24,6)

il n’y a qu’un nombre négatif :     (-8,4 )

5^emeEtape

Puis faire la somme des deux nombres de signes contraires.*

(+24,6)+ (-8,4 ) = ( + (24,6 –8,4)) =  (+16,2)

6^emeEtape

Rendre compte

-8,4  + 112 + = =  (+16,2)