Le calcul algébrique avec deux nombres relatifs.
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algébrique |
2.
Info N° 2 |
Classe de collège Fiche : ALGEBRE : Utilisation des lettres
dans les calculs
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I ) But de l’algèbre : Emploi des signes
et des lettres. |
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II ) Conventions
d’écriture . |
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III ) Exercice |
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IV ) Simplification de l’écriture d’un produit. |
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V) Pourquoi utilise-t-on des lettres dans les
calculs ? |
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TEST |
COURS |
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Interdisciplinarité |
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I
) But de
l’algèbre : emploi des signes et des lettres . |
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II est difficile, dès le principe, de
définir l'algèbre d'une manière intelligible ; néanmoins nous allons essayer d'en faire comprendre le but par les
considérations qui suivent. Dans toutes les questions que l'on peut se
proposer sur les nombres, il existe des quantités connues
qu'on appelle les données de la question,
et des quantités inconnues
qu'il s'agit de déterminer. L'arithmétique
nous a appris, en général, par quelle série
d'opérations et de raisonnements on arrive à la détermination des inconnues ; mais les calculs successifs qu'on effectue sur
les nombres modifient les quantités connues, de telle sorte qu'on ne voit plus? les relations qui lient ces
données au résultat final. Aussi, pour chaque
question du même genre, faut-il recommencer et le
raisonnement et les opérations. L'algèbre, au contraire, à l'aide de
certains signes, permet de généraliser les résultats et d'en
déduire des règles applicables à toutes les questions
qui diffèrent seulement entre elles par les données
numériques. C'est ce que nous allons éclaircir par quelques
exemples. Or, dans toutes les questions qui traitent
des nombres et des grandeurs en général, l'algèbre
a pour but d'obtenir des formules qui s'appliquent à toutes tes
questions de même espèce; on pourrait
donc définir l'algèbre : la
science des formules mathématiques. La discussion des
formules conduit à la détermination de certaines lois que l'arithmétique est
impuissante à découvrir. |
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Vous savez que « 3
+ 3 + 3 + 3 + 3 » correspond à
« 5 » fois « 3 » et que l’on écrit De même si on dit que « a » est le représentant d’un
nombre quelconque alors « a + a + a + a + a » correspond
à « 5 » fois « a » et s’écrit « » Par convention, pour ne pas
confondre le « ixe » et le signe
« multiplier », « »
s’écrit « 5a » , donc « a +
a + a + a + a = 5 a » |
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Activité 1 : « a + a +
a + a + a+ a + a + a = 8 a » |
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Remarque 1 : Le nombre écrit en chiffres se place toujours devant (à gauche de
la lettre) : on écrit
« 5a » et non « a5 » Exemples : s’écrit … …
et s’écrit
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ATTENTION :
ne pas confondre « » et « » |
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Dans le cas de nombres écrits en lettres, on applique la même
convention. « a » et
b » représentant des nombres
« » s’écrit
« ab » |
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Remarque 2 : En principe , mais sans être
obligatoire, on écrit les lettres dans l’ordre alphabétique. Ainsi « » on
écrira « » et
« » on écrira « » |
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Remarque 3 : Dans le cas de nombres écrits en chiffres, on ne peut pas
supprimer le signe « » . « 3 7 »ne peut pas s’écrire « 37 » . Vous pouvez expliquer pourquoi : parce que 3 fois 7 est égal à « 21 » |
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La règle de la priorité de
la multiplication sur l’addition et la soustraction s’applique encore quand
il y a des lettres. Ainsi : ·
( ) + ( 7 ) s’écrit : « 3x + 7y » ·
( ) + ( 7 )+ ( )
s’écrit : « 3x +
7y + 5 st » De même s’écrit : ……….. Et il faut savoir que « »
est la forme simplifiée
de : « » |
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Activité 2
: ( Ffaire les exercices suivants) Calculer pour trouver la valeur de J ; K ; L ;
M en remplaçant « a ;
b ; c ; d » respectivement
par 4 ; 5 ; 3 ; 2 |
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J = a b + c + d |
J = 4 fois 5 +3 + 2 |
J =
25 |
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K = a + bc + d |
K = 4 + 5 fois 3 + 2 |
K = 21 |
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L = ab + cd |
L = 4 fois 5 + 3 fois 2 |
L = 26 |
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M = a + b + cd |
M = 4 + 5 + 3 fois 2 |
M = 15 |
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Autre cas de simplification d’écriture : · et que l’on lit :
« a plus b » facteur de « c
plus d » · et que l’on lit :
« 6 » facteur
de « e plus f » · et que l’on lit :
« m » facteur
de « n plus p » |
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Activité 3 Calculez R ;S ; T ;V ;
en remplaçant w ;
x ; y ; z respectivement
par 8 ; 4 ; 5 ; 6 . |
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R = w + xy +z |
R =
8 + 4 fois 5 + 6 |
R =
34 |
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S = ( w
+ x ) ( y + z ) |
S =
( 8 +
4 ) ( 5 + 6 ) |
S =
12 fois 11 = 131 |
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T = ( w
+ x ) y + z |
T =
( 8 + 4
) 5 + 6 |
T =
12 fois 5 + 6 = 66 |
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V = w + x ( y – z ) |
V =
8 + 4 ( 5 + 6 ) |
V =
8 + 4 fois 11 = 52 |
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III ) Exercice : |
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Sachant que « A = 5 x + 7 » complétez le tableau après
avoir calculé les valeurs de « A » correspondant aux différentes
valeurs de « x ». Faites de même pour « B ». |
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Exemple : pour x =
6 ; « A = 5 fois 6 +
7 » = 30 +7 = 37 |
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A = 5 x + 7 |
x |
0 |
0,3 |
6 |
8,16 |
10 |
12,7 |
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A |
7 |
5 fois 0,3 plus 7 |
37 |
5 fois 8,16 plus 7 |
5 fois 10 plus 7 |
5 fois 12,7 plus 7 |
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B = 42,76 – 2,3 x |
x |
0,4 |
1,6 |
6 |
10,2 |
18,5 |
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B |
42,76 – 2,3 fois 0,4 |
42,76 – 2,3fois 1,6 |
42,76 – 2,3 fois 6 |
42,76 – 2,3 fois 10,2 |
42,76 – 2,3 fois 18,5 |
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IV Simplification de l’écriture d’un produit. |
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·
L’écriture d’un produit
se simplifie en supprimant le signe « » mais aussi
en utilisant l’associativité et la commutativité de
la multiplication… ·
On place devant, (à
gauche) , le nombre écrit en chiffres. |
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Exemple 1 : , c’est une forme
simplifiée de . Grâce à la commutativité et l’associativité, on peut écrire En effectuant le calcul ,
on obtient qui s’écrit |
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Exemple 2 : , c’est une forme
simplifiée de . Grâce à la commutativité et l’associativité, on peut écrire En effectuant le calcul
, on obtient qui s’écrit pour enfin s’écrire : 15 |
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A retenir : Pour simplifier l’écriture d’un produit, on
procède de la manière suivante : 1°) On effectue le produit de tous les nombres
écrits en chiffres. 2°) On écrit ce résultat suivi des lettres
placées dans l’ordre alphabétique. |
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Activité 4 Simplifiez l’écriture de : |
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a |
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V) Pourquoi utilise-t-on des lettres dans les
calculs ? |
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Problème 1 : On sait que la somme de trois chiffres entiers
consécutifs est « 69 ». On demande de trouver ces trois nombres ( et d’expliquer le calcul) |
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Dans ce genre de problème, il est commode de désigner
par des lettres le ou les nombres cherchés ( si ils
existent). On dira alors : · Appelons « x » le plus petit des entiers cherchés.( N1) · Le suivant est alors égal à « x + 1 » .
( N2) · et le troisième est égal à
« x +2 ». ( N3) Sachant que la somme de ces trois entiers est
« 69 » , on peut écrire : N1 + N2 + N3 = x
+ ( x + 1) + ( x + 2 ) = 69 Grâce à la commutativité
et à l’associativité de l’addition , on peut écrire : ( x + x + x ) + ( 1 + 2
) = 69 Ce qui s’écrit après simplification : 3 x +
3 = 69 c'est-à-dire que 3 x = 69 – 3 ; soit
3 x = 66 |
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Donc :
· N1 = x =
66/ 3 soit x = 22 · N2 = x + 1
soit 22 + 1 = 23 · N3 = x + 2 soit
22 + 2 = 24 Conclusion : les trois nombres recherchés
sont « 22 » ;
« 23 » ; « 24 ». ( vérification :
on remarque : la somme est égale à « 69 ») |
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Problème 2 : Trouvez les 5 entiers pairs
consécutifs qui ont pour somme « 260 ». |
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(faire la rédaction sur une feuille à part ) |
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