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Les unités de mesure d’angles	Les secteurs circulaires	Les secteurs angulaires

Les angles orientés ;

Extension : Angle et arc

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

Objectif précédent :

Le radian

Le cercle trigonométrique

Objectif suivant :

Résoudre des équations…

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A savoir : les abréviations :

« tg » et « tan » , abréviations : lire « tangente »

« cotg » et « cotan » , abréviations : lire « cotangente »

DOSSIER :: LES FONCTIONS CIRCULAIRES.

Chapitre 1 : Définition de sin a ; cos a ; tan a ; cotan a :

1-1 ) Le cercle trigonométrique (rappel)

1-2 ) sinus –cosinus d’un arc.

Périodicité.

1-3) Tangente et cotangente d’un arc

Chapitre 2 Fonction y = sin x et y = cos x :

Chapitre 3 Fonction y = tan x et y = cotan x :

Chapitre 4 Fonctions circulaires d’un angle trigonométrique :

Chapitre 5 Applications géométriques :

5-1 Application au triangle rectangle. Et le théorème

5-2 Application au triangle quelconque.

5-3 Fonctions circulaires des arcs. :

5-4 Tableau récapitulatif.

Chapitre 6 : RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS CIRCULAIRES D’UN MEME ARC.

Chapitre 7 : ARC ASSOCIES ; LEURS EXTREMITES ; LEURS FONCTIONS CIRCULAIRES.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

Chapitre 1 : DEFINITION de « sin. a » ; « cos. a », « tan. a » et « cotan. a »

Info @

1- 1 le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique est un cercle orienté ayant pour rayon l’unité de longueur. ( R = 1 u) .

Sur un cercle trigonométrique , la mesure d’un arc , en radians, a pour valeur absolue la longueur de cet arc.

Traçons ce cercle :

Choisissons une origine A pour les arcs et prenons :

1°) pour axe X’X des abscisses la droite OA , orientée de O vers A

2°) pour axe Y’Y des ordonnées l’axe déduit de X’X par une rotation de autour du point O.

Ces axes partagent le cercle en 4 quadrants, numérotés comme l’indique la figue ci-contre.

fonct_circ001

Info sinus @

Info cosinus @

1-2 sinus et cosinus d’un arc.

Soit M l’extrémité de l’arc AM : noté par la lettre « a »

On appelle :

1°) Cosinus de l’arc a : l’abscisse du point M ;

cos a =

2°) Sinus de l’arc a : l’ordonnée du point M :

sin a =

Remarques :

- le cos a et le sin a sont toujours compris entre -1 et +1.

- Le point C est la projection orthogonale de M sur l’axe X’X ; et le point S est la projection orthogonale de M sur l’ax Y’Y.

fonct_circ001

Périodicité :

Si « a » augmente de , l’extrémité de revient au même point M ; le cosinus et le sinus ne changent donc pas, on dit que cos a et sin a sont périodiques et de période

Aussi :

	Cos ( a +) = cos a	Et plus généralement	Cos ( a + k.) = cos a
	Sin (a + ) = sin a	Et plus généralement	Sin (a + k.) = sin a

Tg a @

1-3 Tangente et cotangente d’un arc.

Menons par le point A l’axe AZ parallèle à l’axe OY et de même sens ; Soit T le point où la droite OM (prolongée) , rencontre cet axe ( sur AZ) ; on appelle :

1°) Tangente de l’arc a l’abscisse du point T sur l’axe AZ ;

2°) Cotangent de l’arc a l’inverse de sa tangente.

Ces deux nombres algébriques peuvent prendre n’importe quelle valeur.

fonct_circ002

Périodicité.

Si « a » varie d’un multiple de π ( pi) , l’extrémité de l’arc est en M ou au point diamétralement opposé, mais sa tangente et sa cotangente ne change pas ; on dit que « tan a » et « cotan a » sont périodiques et de période pi (π ) :

	tan ( a + π ) = tan a	Et plus généralement	tan ( a + k. π) = tan a
	co tan (a + π) = cotan a	Et plus généralement	cotan (a + k. π) = cotan a

Chapitre 2 Fonction y = sin x et y = cos x

Info @

Ces fonctions sont périodiques et de période

Nous allons faire varier « x » la valeur de l’arc , dans un intervalle d’amplitude , par exemple de 0 à

Le point M tourne dans le sens inverse d’une montre :

Premier quart : Le sinus est positif ; ( passe de la valeur : 0 à + 1 ) ; on dit que « le sinus croît » Le cosinus est positif (passe de la valeur : +1 à + 0 ) ; on dit que « le cosinus décroît »
Deuxième quart : Le sinus est positif (passe de la valeur : de +1 à O) ; on dit que « le sinus décroît » Le cosinus est négatif (passe de la valeur : de 0 à -1 ) on dit que « le cosinus décroît »
Troisième quart : Le sinus est négatif (passe de la valeur :de O à -1) on dit que « le sinus décroît » Le cosinus est négatif (passe de la valeur :de -1 à 0 ) on dit que « le cosinus croît »
Quatrième quart : Le sinus est négatif (passe de la valeur :de -1 à 0 ) on dit que « le sinus croît » Le cosinus est positif (passe de la valeur : 0 à + 1 ) ; on dit que « le cosinus croît »

Ce qui est résumé dans le tableau dit « de variation » ; ci contre :

sinus001

Info @

Courbe construite , point par point , représentant la fonction cosinus x

fonct_circ008

sinus003

Info @

Courbe représentant la fonction sinus x

fonct_circ008

sinus002

Si on fait varier « x » de 2 π et 4 π , le sin x et le cos x reprennent les mêmes valeurs.

Sur le graphique, le point M’ d’ abscisse « x + 2 π » se déduit du point M d’abscisse « x » par translation d’amplitude 2 π parallèle à « Ox ».

Les nouveaux arcs de courbe se déduisent donc des précédentes par cette translation.,

Obtention de la sinusoïde

fonct_circ014

Il en est de même si l’on fait varier « x » de 4 π à 6 π , de 6 π à 8 π ; de k (2 π) à (k+1 ) (2 π)

Fonctions y = tan x et y = cotan x

En utilisant la même méthode que ci-dessus : on déplace le point M sur le cercle…..

fonct_circ015

fonct_circ016

On fait varier « x » entre 0 et π

On obtient le tableau de variation ci-dessous :

fonct_circ017

On obtient la représentation graphique de tan x : avec 0 ≤ x ≤ π

fonct_circ018

Si on fait varier « x » π en π , tan x ( et par conséquent cotan x ) reprennent les mêmes valeurs.

fonct_circ019

Fonctions circulaires d’un angle trigonométrique.

Supposons cet angle défini par sa mesure algébrique « a » ; ses fonctions circulaires sont les mêmes que celles de l’arc « a »,autrement dit , les mêmes que celles de l’arc qu’il intercepte quand il est angle au centre.

Voir la figure ci contre.

fonct_circ020

5- APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

5-1 : Application au triangle rectangle. Et le théorème :

Info + @

Reprenons la figure ci-dessus.

Soit un triangle ABC , rectangle en A .

Mettons en évidence sin B , cos B et tan B en traçant le cercle trigonométrique de centre B ; on a , avec l’orientation voulue :

Sin B = KM = BS

Cos B = BK

Tan B = UV

Les triangles semblables donnent:

d’ où

ces égalités peuvent s’écrire:

b = a sin B ; c = a cos B ; b = c tan B ; c = b cotan B

fonct_circ020

D’où les formules :

Si « x » est un angle aigu d’un triangle rectangle :

; ; ;

Théorème :

Dans un triangle rectangle , un côté de l’angle droit est égal :

1°) A l’hypoténuse multiplié par le sinus de l’angle opposé ou par le cosinus de l’angle adjacent ( au côté de l’angle que l’on calcule) ;

2°) A l’autre côté de l’angle droit multiplié par la tangente de l’angle opposé ou par la co tangente de l’angle adjacent (au côté que l’on calcule.),

5-2 : Application au triangle quelconque.

Info + @

Nous rappellerons les 3 formules suivantes : (voir info + @)

1°) a² = b² + c² - 2 bc cos A

2°)

3°)

5-3 : « Fonctions circulaires des arcs. :

Info + @

Les angles de 30° et de 60° s’obtiennent l’un de l’autre dans un demi triangle équilatéral.

Rappelons la formule importante :

fonct_circ022

Les formules ci- dessus donnent					D’où ; après calculs
	sin	cos	tan	cotan		sin	cos	tan	cotan
30°					30°
60°					60°

L’angle de 45° s’obtient dans un triangle rectangle isocèle.

Rappelle de la formule importante Lcalcul de la diagonale)

d = a

la même méthode donne :

fonct_circ023

5-4 Tableau récapitulatif.

Info + @

a	0°	30°	45°	60°	90°
Sin a	0°				1	Cos a
Tan a	0°		1			Cotan a
	90°	60°	45°	30°	0°	a

Chapitre 6 : RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS CIRCULAIRES D’UN MEME ARC

Théorème : les fonctions circulaires d’un même arc sont liées par les trois relations suivantes :

angle x = a

Relation 1

Relation 2

Relation 3

Cos² a + sin ² a = 1

; ou

Explications :

Relation1 :

Soit M l’extrémité de l’arc .(figure ci contre)

Nous construisons ses fonctions circulaires.

Dans le triangle rectangle OCM :

Or ; ; OM = 1

D’après Pythagore : OC² + CM² = 1² ; 1²= 1 ; soit : OC² + CM² = 1

Donc : Cos² a + sin ² a = 1

Relation 2 :

Dans les triangles homothétiques OCM et OAT,on a

ou enfin (après transformation ) :

Relation 3 :

La troisième relation résulte de la définition :

fonct_circ024

Activités :

Activité 1 : Vérifier que les fonctions circulaires de satisfont aux trois relations précédentes.

Activité 2 : Des rois relations précédentes , déduire les relations :

Activités 3 : Relations entre les fonctions circulaires d’un même arc.

Application :Un arc « x » compris entre 0 et est tel que tan x = 2 - . Calculer le sin x et le cosinus x.

Réponse :

Les deux inconnues sin x et cos x sont données par les deux équations

la deuxième relation se transforme pour s’écrire :

Nous élevons au carré et nous opérons par combinaison proportionnelle :

;

d’où puisque sin x et cos x sont positifs :

(info @) Chapitre 7 : ARC ASSOCIES ; LEURS EXTREMITES ; LEURS FONCTIONS CIRCULAIRES.

A) Définition.

Pour abréger le langage, nous appellerons « arcs associés » les arcs :

(arcs opposés) : x et – x ; (arcs supplémentaires) : x et ( - x) ; x et ( + x) et les (arcs complémentaires) : x et (-x) ; x et (+ x)

B) Arcs opposés : x et – x

On dit que deux arcs sont opposés quand leurs mesures algébriques sont deux nombres opposés : x et – x

Exemples :

+113° et – 113°

+ 75 gr et – 75 gr

Soit deux arcs opposés d’origine A ; leurs extrémités sont évidemment sur une droite parallèle à la droite contenant le diamètre OY. Donc :

Nous citons le théorème :

Si deux arcs sont opposés, ils ont le même cosinus , des sinus opposés et des tangentes opposés.

fonct_circ025

	Cos (-x) = cos x		Sin (-x) = - sin x
			Tan (-x) = - tan x

Exemples :

C) Arcs supplémentaires : x et - x

On dit que : deux arcs sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures algébriques est (radians)

Exemples :

42° et 138°

- 103 gr et + 303 gr

Soit deux arcs supplémentaires , x et - x ,d’origine A , d’extrémités M et M’ , pour décrire le second,on peut décrire d’abord le demi-cercle ABA’ , puis l’arc ( -x) à partir de A’. On a ainsi M’ et M sur une même parallèle à A’A.

On peut donc énoncer le théorème.

Si deux arcs sont supplémentaires, ils ont même sinus, des cosinus opposés et des tangentes opposées.

fonct_circ026

Sin ( - x) = sin x	Cos ( - x) = - cos x	Tan ( - x) = - tan x
Exemple	Exemple	Exemple

D) Arcs x et ( + x) :

Exemples :

123° et 323°

335° et 535°

Leurs extrémités sont diamétralement opposés. donc :

Tan ( + x) = tan x

Sin ( + x) = - sin x

Cos ( + x) = cos x

fonct_circ027

E ) Arcs complémentaires : x et (-x)

On dit que deux arcs sont « complémentaires » quand leurs mesures algébriques ont pour somme (radians)

Exemples :

32° et 58°

38 gr et 62 gr

Soit deux arcs complémentaires , x et (-x) , d’origine A , d’extrémités M et M’ ; pour décrire le second, on peut décrire d’abord le quadrant AB, puis l’arc ( - x) à partir du point B ; il en résulte que les extrémités de deux arcs complémentaires sont symétriques par rapport à la première bissectrice OZ.

Comme OZ est également axe de symétrie pour OX et OY, les vecteurs OC et OS’ , OC’ et le vecteur OS sont symétriques par rapport à OZ, et ils ont deux à deux des mesures égales :

fonct_circ028