Pré requis:
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Position d’un
point |
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Les vecteurs |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
Objectif précédent : |
Objectif
suivant : Direction : les fonctions circulaires… |
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DOSSIER
: Extension de la
notion d’ arc
et angle.
I) Unité d’arc.
II ) Unité d’angle– unités correspondantes.
Voir :
Changements d’unité.
III) Cercle orienté
IV) Arc orienté. ( sa mesure algébrique)
V) Arc généralisé. Arc trigonométrique.
VI) Mesure algébrique de
tous les arcs trigonométriques AB
VII) Théorème.
VIII) Formules de Chasles
pour les arcs.
I) Plan orienté
II) Angle orienté et sa
mesure algébrique.
III)Angle
généralisé et angle trigonométrique.
IV ) Angle au centre et arc intercepté.
V ) Les 2 conséquences.
Dont la Formule de Chasles pour les angles
TEST |
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En trigonométrie on prend généralement pour unité
l’arc de 1 radian, dont la longueur est égale au rayon.
Le cercle entier, qui a pour longueur 2 π R , à pour
mesure 2 π radians.
Le demi cercle a pour
longueur (2 π / 2) soit π radians ( =
2 quadrants = 180° ,= 200 gr) .
Sur un cercle de rayon R ,un
arc de radians à pour longueur R
II ) Unité d’angle– unités correspondantes.
L’angle
de 1 radian est l’angle qui, dans la position d’angle au centre,intercepte un arc de 1 radian.
Un
angle plat mesure π radians , un angle droit radians.
Plus
généralement,on appelle
« unités correspondantes » celles qui se correspondent par angle au centre
et arc intercepté, par exemple degré -angle (au centre)et degré arc
(intercepté).
Voir : Changements
d’unité.
Ils
découlent de la règle
fondamentale : le rapport de deux grandeurs est égal au rapport des
nombres qui les mesurent avec la même unité,d’où, en appelant « r » , « d »,
« g » les mesures d’un arc en radians, en degrés et en grades :
Voici
quelques changement d’unités usuels :
Radians (arcs ou angles) |
2 π |
π |
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Valent : |
360° |
180° |
90° |
60° |
45° |
30° |
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400 gr |
200 gr |
100 gr |
(200/3) gr |
50 gr |
(100/3) gr |
Chapitre 2 : ARCS.
III) Cercle orienté :
Un cercle orienté est un cercle sur lequel
on a choisi un sens de parcours comme sens positif ; le sens contraire
s’appelle « sens négatif ». |
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IV) Arc orienté. ( sa
mesure algébrique)
On appelle
« arc orienté » un arc sur lequel on a choisi un sens. Si c’est de A
vers B ; « A » s’appelle « origine » et « B » l’extrémité.
On écrit , qui se lit :arc orienté AB. ( la flèche est courbe)
Le cercle qui
porte l’arc étant orienté et une unité d’arc étant choisie,
on appelle « mesure algébrique » d’un arc orienté AB le nombre
ayant :
1°) comme valeur
absolue : la mesure de l’arc géométrique AB ;
2°)Pour signe ,
+ si l’arc a le sens positif du cercle ;
-
s’il a le sens négatif du cercle.
On représente
cette mesure par AB surmonté d’un arc (qui se lit : AB algébrique)
. En degrés , la mesure algébrique d’un arc est comprise
entre - 360 ° et + 360°
En radians , la
mesure est comprise entre - 2
π et +2π.
Arc généralisé – Arc trigonométrique.
Arc généralisé :
Imaginons un point
« M », mobile sur un cercle,partant
d’un point « A » dans un sens quelconque,mais
invariable une fois choisi,et pouvant, dans ce
mouvement, franchir le point « A » un nombre quelconque de fois.
Quand ce mobile « M » s’arrête en un point « B » ,on dit qu’il a parcouru un « arc généralisé ».
Représentation
concrète d’un arc généralisé
. Un fil enroulé plusieurs fois
sur un disque circulaire donne un représentation
concrète d’un tel arc.
Arc trigonométrique :
On appelle
« arc trigonométrique » un arc généralisé orienté.
La mesure d’un
arc trigonométrique est un nombre algébrique quelconque.
Exemples :
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L’arc AB = (360°+120°) = + 480° |
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L’arc AB = (-360°- 90°) = - 450° |
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L’arc AB = (- 720°-270°) = - 990° |
Mesure
algébrique de tous les arcs trigonométriques AB
Soit
« a » la mesure , en radians, de l’arc
géométrique positif AB (inférieur à un cercle) soit 2 pi.
1°) Imaginons un
mobile partant de « A » dans le sens positif ;
la 1ère fois qu’il arrive
en « B » la mesure algébrique de l’ arc
parcouru est « a » ;
la 2ème
fois, la mesure algébrique est « a
+ 2 π » ( « a » + 1 cercle)
la 3ème
fois elle est de « a + 2 (2 π) » ( a
+ 2 cercles)
la 4ème fois, elle set
de « a + 3 (2 π) » ,………………et ainsi de suite.
2°) Supposons
maintenant que le mobile parte de « A » dans le sens négatif ;
la 1ère
fois qu’il arrive en « B » , il a parcouru le cercle entier moins
l’arc « a », ,c'est-à-dire un arc géométrique « 2π –
a » ,dont la mesure algébrique est « - (2π – a) » ou
« a –2π » ;
la 2ème
fois qu’il arrive en « B » , il a parcouru 2 cercles entier moins
l’arc « a » , c'est-à-dire un arc dont la mesure arithmétique
est « 2 (2π ) – a » , et dont la mesure algébrique est – (2
(2π ) – a) = « a – 2 (2π
) » ;
la 3ème
fois , la mesure algébrique de l’arc parcouru
est : « a – 3 (2
π) »
Et ainsi de
suite.
En résumé :
Les mesures
algébriques de tous les arc AB sont :
………….a – 6 π a - 4 π a - 2 π a a +2 π a + 4 π….
Il en
résulte que deux quelconques d’entre elles , et ’ , diffère d’un multiple de 2 π ;autrement
dit : ’ = + k 2 π
« k » étant un entier algébrique quelconque. D’où l’énoncé du théorème.
Théorème :
Pour que deux arcs d’origine « A » aient la même extrémité
,il faut et il suffit que leurs mesures algébriques soient liées par la
formule
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’ = + k 2 π
radians |
ou |
’ = + k (360) degrés |
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Formule de
Chasles pour les arcs :
Si deux arcs trigonométriques ,
l’arc AB et l’arc BC sont de même sens ,
leur ensemble (somme) constitue un certain arc trigonométrique AC tel
que :
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L’arc AB + l’arc BC= l’arc AC |
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Si maintenant on
prend l’un quelconque des arcs AB, l’un quelconque des arcs BC et l’un
quelconque des arc AC , chaque terme de l’égalité
précédente varie d’un nombre entier des cercle , de sorte qu’on a :
L’arc AB + l’arc BC= l’arc AC à k
fois 2 π près.
Plan
orienté. :
On appelle
« plan orienté » un plan sur lequel on a choisi un des deux sens
possibles de rotation comme sens positif ; et le sens contraire que l’on
appelle « négatif »
Angle orienté et
Sa mesure algébrique :
On appelle
« angle orienté » un angle balayé dans un sens déterminé. Si c’est de OA vers OB , OA s’appelle « côté origine » et OB
s’appelle « côté extrémité » . On écrit ou Le plan qui porte
l’angle étant supposé orienté,et
une unité d’angle choisie,on appelle « mesure
algébrique » d’un angle orienté AOB tracé dans un plan orienté le nombre
algébrique ayant : 1°) pour valeur
absolue la mesure de l’angle géométrique ; 2°) pour signe
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Cette mesure
algébrique, que l’on représente par ou est un nombre compris
entre -2 π et + 2 π , en
radians , ou entre - 360° et + 360 ° ,
en degré.
Angle
généralisé et Angle trigonométrique.
Angle généralisé : Imaginons une demi
droite OZ mobile autour du point O et
une demi droite fixe OX ; OZ tourne à partir de OX dans un sens
quelconque mais invariable un fois choisi,et peut,dans ce
mouvement, franchir la demi-droite OX un nombre quelconque de fois. Quand
elle s’arrête dans une certaine position OY , on dit
qu’elle a balayé un angle généralisé ; Un tel angle n’est
pas nécessairement orienté ; nous aurions pu supposer en effet que la
demi droite qui l’ a engendré soit partie de OY pour
arriver sur OX. |
Sur la figure on a supposé le pourtour de l’angle découpé, pour
laisser vois les divers « feuillets ». |
Angle
trigonométrique :
On appelle
« angle trigonométrique » un angle généralisé orienté
. La mesure d’un angle trigonométrique est un nombre algébrique
quelconque.
Angle
au centre et arc intercepté.
Soit M un point d’un
cercle et OZ la demi droite OM . Si le point M décrit
un arc trigonométrique AB, la demi droite OZ engendre un angle trigonométrique AOB. Nous dirons encore
que est un angle au centre , et l’arc AB est l’arc intercepté. Si on convient
d’orienter le cercle et le plan dans le même sens et de prendre des unités
correspondantes ( info ?), on voit aisément que «
Tout angle au centre a même mesure que l’arc intercepté ». Et donc : = l’arc AB |
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V)
Conséquences :
Conséquence
1 :
Deux
demi-droites OA ,OB définissent une infinité d’angles
trigonométriques AOB ; les mesures algébriques de tous ces angles sont de la forme :
+ k 2 π ( k
, est un entier algébrique)
étant
l’une quelconque d’entre elles.
Conséquence
2 :
Formule de
Chasles pour les angles :
TRAVAUX AUTO _ FORMATIFS
CONTROLE:
A élaborer…