Niveau 5 |
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La projection orthogonale |
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les angles |
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Les triangles (égaux, semblables, homothétiques) |
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le triangle rectangle ; |
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les triangles rectangles égaux , semblables ,
homothétiques |
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le triangle rectangle et relations trigonométriques |
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Les systèmes de numération : décimal et sexagésimal ; (conversion) |
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L'égalité de deux fractions ; produit en croix ) ; ( ), |
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Les proportions : égalité d’une fraction avec un nombre ;( ) ;
a = ? ; c
= ? ; |
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Les transformations d’égalités) ;du
type : ; a = ? ;b
= ? ; c = ? |
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Expression d’un résultat
(savoir « arrondir » ) |
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Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
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DOSSIER : les relations trigonométriques : Le SINUS d'un angle
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I ) Identification et Définition. |
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CONVERSION
D ‘ UN « SINUS » |
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II ) Utilisation de la calculatrice. |
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III ) Exemples
types de calculs |
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IV ) Applications. |
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COURS |
interdisciplinarité :
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Les relations trigonométriques dans le triangle
rectangle
Relation trigonométrique dans le triangle rectangle : Le SINUS.
a
Identification
du sinus d’un angle :
a
symbole « sinus » est
« sin »
b’
L’angle b = l ’angle b’
b
« a » ;
« b » ,
« c » sont les longueurs des cotés
du triangle rectangle ;
le coté
« c » est le coté opp à l’angle a
le coté
« a » est le coté opp. à l’angle b
c
b
« b » est l’hypoténuse.
Rappel sur les angles : (nous travailler avec des angles
exprimés en degré )
l ‘ angle « alpha » a pour symbole :
l ’ angle
« bêta » a pour symbole :
L’écriture « sin » ;lire « sinus de
l’angle alpha »
L’écriture « sin » lire
« sinus de l’angle bêta »
Par définition : Le sinus d’un angle ;
dans un triangle rectangle ; est
égal au rapport de la longueur du coté opposé sur la longueur de l’hypoténuse. |
Traduction : : sin =
i Le sinus est un nombre décimal qui n’a pas d’unité. Ce nombre est obtenu en
faisant une division .Cette valeur obtenue par calcul est convertie en
degré d’angle à l’aide d ’une table dite « de
trigonométrie. », ou à l’aide d’une calculatrice qui a « en
mémoire » cette table.
On
fait donc des conversions de nombres en
degrés ou de degrés en nombres
CONVERSION D ‘ UN « SINUS » ( exprimé en nombre
décimal) en valeur d’ ANGLE ( degré
) ;et inversement :
Il existe deux possibilités pour connaître la valeur d’un angle à partir de son sinus et
inversement avoir la valeur d’un sinus à partir de la valeur d’un angle.
avec une table numérique
appelée « table de trigonométrie » |
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avec la calculatrice (voir le livret fourni par le fabriquant ) |
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I)
Pour les tables @ : lire la
notice d’utilisation
II ) UTILISATION
de la CALCULATRICE :
Mise en marche de la calculatrice
AC ; Mettre en MODE 4 (mode Degré)
Passage de
« Degré » en
« sinus » :
Afficher le nombre de
degrés : exemple
5 2
Taper sur la touche
Sin
Lire sur l ’écran : (valeur du sinus) : 0 , 7880107
Si l’on tape sur : INV SIN
alors s’affiche le Nbre degrés
Lire sur l’écran : 52
(vérification : tracer un triangle rectangle dont l’ hypoténuse vaut 100 mm ; le coté
opposé vaut 78,8 mm ; terminer le tracé du triangle , mesurer avec un
rapporteur l’angle obtenu par l’hypoténuse et son coté adjacent …….)
Passage de sinus en degrés (toujours dans le même mode)
Afficher
la valeur du sinus : exemple : 0,540
Taper sur les
touches : INV ensuite
SIN
Lire à
l’écran : 32,68363885
Arrondir : 32° ,
68.... ( le
« 68 » correspond a un de degré )
le résultat est exprimé en valeur
décimale
Résultat
par encadrement :
sinus 32 ° <
0,540 < sinus
33°
Remarques :
Suivant les types de calculatrice vous pouvez passer d’une
expression de la valeur d’un angle en
valeur « décimale » en une expression de la valeur de l’angle en
valeur « sexagésimale » .
Ce qui signifie que l’on peut
« rentrer »
- en système sexagésimal 20° 30’
- ou système décimal :
20, 5
Puis avoir la conversion en système
sexagésimal ,
c’est à dire la valeur de l’angle est exprimée en (Degré ,minute, seconde ),
Si cela est possible :
Taper :
INV |
Et |
° ‘ ‘’ |
Affichage à l’écran :
Degré ° |
minute ’ |
seconde ’’ |
i les
affichages sont différents suivant les calculatrices , les affichages sont « vrais » suivant les performances
d’affichage de la calculatrice .
Taper :
sur la touche ° ‘ ‘’ pour revenir à une expression du degré en valeur décimale
Exercices :
Nous
travaillons toujours en mode « degré » ,avec
la calculatrice.
1 Cas :
Quand
on connaît la valeur d’un angle ; je peux connaître son sinus :
On connaît la valeur de l’angle ( en degré ) :
le sinus est un nombre que l’on obtient en consultant la
table numérique sur les sinus des
angles.
Exemple : le
sinus de 53° se note sin 53° ; d’après la table numérique (ou avec
l’aide de la calculatrice ) je trouve :
0,800 ;
en
résumé on écrira : sin 53° = 0,800
Autres exemples :
sin 54° = 0,809
sin 35° 20’ = 0,578
sin 72° 13’ » 72°
10’ = 0,952
2 Cas :
Quand on connaît le sinus d’un angle ,on peut connaître
l ’ angle concerné par cette valeur
on donne le sinus de
l’angle ; alpha vaut 0,8 ;(traduction : Sin a =
0,8 )
trouver
la valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle sera obtenue en consultant la table de « trigo » sur les
sinus ;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).
Réponse :
si Sin a =
0,8 alors ;d’après la table
numérique a = 53°
Autres exemples :
sin
a = 0,857 ; a = 59°
sin
x = 0,433
; x = 25 °40’
sin a
= 0,511 ; a
=30° 40’
Que ce soit avec la table numérique ou la calculatrice nous
obtenons toujours le même résultat.
Remarque :à ce niveau d’exercices il n’y a
pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.
Soit un triangle rectangle :
a b
Traduction mathématique :
sin a =
Attention : le coté opposé et l’hypoténuse sont des grandeurs qui doivent avoir la même unité .
(ce sont des longueurs exprimées
soit en mm ;en cm
, .....)
Si on applique cette égalité au triangle rectangle ,dessiné ci-dessus :
sin b = donne
sin b = ( reste à connaître
les valeurs de « a » et « b » pour effectuer le calcul du
sinus)
sin a = donc
sin a =
Dans le triangle rectangle : la longueur de l’hypoténuse est
toujours supérieur à la longueur du
coté opposé ; donc dans le rapport
« coté opposé sur hypoténuse » ,le nombre
est toujours supérieur à 0
et inférieur à 1.
Traduction : 0
sin. 1
; sinus 0° = 0 ;
sinus 90° = 1
Le modèle mathématique ( l’outil
) du calcul du sinus d’un angle est une division :
exemple :
soit 3 = ; deux
transformations de cette égalité sont possibles ;
on peut en déduire que
si 3 = alors
6 = 3 2
ou alors que
2 =
ainsi
à partir de cet exemple (qui est
vrai) on peut écrire que si :
sin a
=
alors
par transformation coté opposé
= sin a
hypoténuse
et que ,toujours ,par transformation :
hypoténuse
=
Dans
un triangle rectangle il est toujours possible ,si on connaît deux valeurs numériques sur trois
,de retrouver la troisième par calcul .
APPLICATIONS :
Soit un triangle rectangle :
a b
EXERCICE
RESOLU
N° 1
Calcul d’un coté dans un
triangle rectangle :
On donne : l’hypoténuse égale à :..103.92 mm........ et
l’angle a =
...60°..........................
Question : Calculer
la longueur de « b »
Solution :
1°) On sait que : sin a =
on sait ( d’après la table ou la calculatrice )
que la valeur de sin 60° = 0.866
on sait que l ‘ hypoténuse =
103,92mmm ;
on sait que le coté opposé s ’ appelle « b »
2°) on remplace dans la formule
(1°) 0 ,866 =
3°) Calcul :
0 ,866 = on
transforme :
On fait le produit en croix : 0,866
103,92 =
b 1
89,999472 = b
Résultat : b = 90 mm
(au mm prés )
EXERCICE RESOLU N° 2
Calcul d’un coté dans un
triangle rectangle :
On donne : longueur du coté opposé à b = 100 mm ........ l’angle b = ...35°
Calculer : la longueur de
L’hypoténuse
Corrigé :
sin b = devient : 0,573
=
Calcul : =
0,573 x = 100 1
donc x
= 100 : 0,573
x= 174,52
Résultat : l’hypoténuse à pour
longueur : 175 mm
EXERCICE RESOLU N° 3
Calcul d’un angle dans un triangle rectangle :
Soit un triangle rectangle :
a b
On
donne : l’hypoténuse égale à :.54,83 mm........ ;
le coté
b = 42 mm
Question :
rechercher l’angle : a
Corrigé : d’après la
relation sin a =
on
remplace les mots par leur valeur :
sin a =
on fait la division : =
0,766 004012
sin a = 0,766 004012
On cherche la valeur de l’angle :
d’après
la calculatrice a » 49°,9963....
Conclusion a = 50°
( à 0,01 près )
Remarque : si dans
un triangle rectangle je connais deux angles , j’en déduis le troisième
(
somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais
aussi la longueur (ou mesure) d’un coté , je peux ,en utilisant la relation sur le sinus trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis
du troisième.
Suite de l’exercice N ° 3
L’angle a = 50° ; j’en déduis que l’angle
b = 90 -50 ; l’angle b = 40°
ensuite j’applique la relation : sin
b = ;
soit sin 40° = ce qui donne
après transformation : 0,643
54,83 = 35,25569
Donc « a » = 35,26 mm
Récapitulatif de l’exercice N°3 : Dans un triangle rectangle ; connaissant deux
mesures (La longueur de l’hypoténuse et
la longueur d’un coté
du triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires ainsi que la longueur du troisième coté du
triangle :
Avec : (deux mesures)
l’hypoténuse égale à :.54,83 mm. ; le coté b = 42 mm
j’ai calculer la valeur permettant
d’obtenir l’angle a
= 50° ;
puis de l’angle b = 90 -50
= 40°
ce
qui m’a permis de calculer la valeur de
« a » = 35,26 mm
Dessiner le triangle à l’échelle 1 et vérifier .
TRAVAIL à
faire :
Soit un triangle rectangle :
a b
I
) Compléter le tableau :
( prendre a = 60° )
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
hypoténuse |
12 |
|
|
|
a |
|
33 |
|
0,866 |
b |
|
|
1
,25 |
|
sin a |
|
|
|
|
II
) Compléter le
tableau suivant : ( prendre a = 60° )
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
hypoténuse |
12
dm |
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
b |
|
|
1
,25 dm |
|
sin a |
|
|
|
|
III) Compléter le tableau : ( prendre a = 60° )
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
hypoténuse |
12
dm |
|
|
1 m |
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
b |
|
|
1
,25 dm |
|
sin a |
|
|
|
|
sin b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a = |
60° |
30° |
45° |
|
TRAVAUX ATAUFORMATIFS.
CONTROLE :
Traduire en langage littéral :
sin a
sin
b
Traduire en symbole mathématique :
« sinus de l’angle alpha »
« sinus
de l’angle bêta »
Traduire en langage littéral :
sin a =
Traduire en langage mathématique
« Le sinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du coté
opposé sur la longueur de
l’hypoténuse. »
Compléter la phrase :
Le sinus est un nombre qui n’a pas ................. ;Donnez ses valeurs limites ; précisez en fonction de
l’angle ............
Quand on connaît le sinus d’un angle
...........................................
Quand on connaît la valeur d’un
angle .........................................
*Donnez la définition littérale d’un « sinus »
(traduire ensuite en langage mathématique)
Compléter le tableau
suivant :
Avec la table :
a |
15°
30’ |
27°.. |
45°
30’ |
60° |
77° |
sin a |
|
|
|
|
|
Sinus
15° 30’ Sinus
15° = 0,2588 Sinus
16 ° = 0,2756 Moyenne :
( 0,2588 + 0,2756 ) : 2 = 0,2672 |
Avec la calculatrice : au
1 / 1000 prés
a |
10,5 |
24,00 |
58,50 |
74° |
82,5° |
sin a |
|
|
|
|
|
Au choix (calculatrice ou table) (
donner la forme décimale , et éventuellement la forme sexagésimale
si votre calculatrice le permet )
sin a |
0,122 |
0,3826 |
0,6427 |
0,9366 |
0,9945 |
a |
|
|
|
|
|
Soit un triangle rectangle :
a b
I )
Compléter le tableau : (
prendre a = 60° )
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
hypoténuse |
12 |
|
|
|
a |
|
33 |
|
|
b |
|
|
1 ,25 |
1,5 |
sin a |
|
|
|
|
II ) Compléter le tableau suivant :
l’angle a = 60°
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
hypoténuse |
12
dm |
|
|
|
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
b |
|
|
1
,25 dm |
|
sin a |
|
|
|
|
III) Compléter le tableau :
|
Triangle
1 |
Triangle
2 |
Triangle
3 |
Triangle
4 |
hypoténuse |
12
dm |
|
|
1 m |
a |
|
33
cm |
|
0,866
m |
b |
|
|
1
,25 dm |
|
sin a |
|
|
0,707 |
|
sin b |
|
|
0,707 |
|
b |
|
|
45° |
|
a = |
60° |
30° |
45° |
|