Pré requis: 

Factoriser et développer
Les identités remarquables
Calcul numérique (calculs avec des relatifs contenant des  carrés)
Etudier une équation du second degré
La règle de trois

 

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Objectif précédent : La dérivée  « notion de base) .

Objectif suivant 1°)  Les dérivées 2°) Les fonctions (présentation) s

Tableau     82 ( à revoir les liens)

DOSSIER:

La règle de trois : limites de son domaine

Essai pour étendre ces limites : dérivées ; Série de Taylor

 

	-       Les langages utilisés pour exprimer  une étude de  problème .
	-       Règle de trois : ( ces limites)
	-       Recherche des dérivées.
	-       Intérêt que représente l’étude de la dérivée.
	-       Dérivée première ; seconde ; troisième …

 

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

COURS

 

Les langages utilisés pour exprimer  une étude de  problème :

Exemple : Un ouvrier gagne 1  €  par heure.

Combien gagne - -t – il  en 2 ; 3 ; …..   « x » heures ?

Modèles utilisés :

 a)   Tableau :

Nombres « x » d’heures	1 h	2h	3 h	…….	x h
Gain « y »	1 €	2 €	3 €	…….	x  €

 

b) Le gain est inscrit dans le tableau ; il est   ; il dépend du nombre d’ heures de travail ; il est fonction de « ».

 

c )représentons- le graphiquement .

 

 

Au point U       pris sur Ox , tel que OU = 1 heure , prenons l’ordonnée UA = 1 Euro. Le gain est figuré par la droite OA.

Cette droite pour le point D ( tel que OD = 2 heures ) a pour ordonnée  DC = 2 Euros . Etc. ;…..

 

Nous avons exprimé le gain de l’ouvrier en trois langages :

1°) par le tableau , arithmétiquement ;

2°) par la droite OA , graphiquement ;

3°)par l’équation y = x , algébriquement.

 

 

Suite : un autre ouvrier gagne 2  €  , par heure . Combien gagne –t- il en « x » heures ?

Son gain peut – être représenté par le tableau ci-dessous :

 

Nombres « x » d’heures	1 h	2h	3 h	…….	x h
Gain « y »	2 €	2  2 €	3 2  €	…….	x 2 €

Il l’est aussi par l’ équation :    

Il l’est aussi par la droite  OB ( voir figure précédente) , telle que pour OU = 1 l’ordonnée soit UB = 2

 

Ce qui distingue le gain des deux salariés c’est :

Dans le tableau :

  La première ligne :  l’heure 1 F pour le salarié A et 2 €  pour le salarié B 

Dans l’équation :

Le coefficient   de « x » : 1 pour le salarie A  et 2 pour le salarié B

Dans la représentation graphique : pour une même abscisse « OU » on a l’ordonnée  « UA » pour le salarié A et l’ordonnée « AB » pour le salarié B 

 

                     L’angle AOU est caractérisé par le rapport   =  que l’on appelle « tangente  » 

 

                     L’angle BOU est caractérisé  par le rapport = que l’on appelle «  tangente  »

 

Ce rapport appelé « tangente de l’angle » est en effet la longueur  de la tangente au cercle de rayon OU = 1 , menée par le point U et limitée par la droite considérée ( droite OA , 1^er cas , droite OB 2^e cas ).

 

Cette tangente  ( ou ) , ce coefficient de « x »  dans l’équation de la droite  (  y = x  ou y = 2x ) s’appelle encore « coefficient angulaire de la droite » ou « pente de la droite ». »

 

Règle de trois : ( ces limites)

La ligne droite de la représentation graphique , l’équation de la forme y = ax du premier degré  , les tableaux de grandeurs proportionnelles , régissent de la même manière bien que sous trois forme s différentes , la très grande majorité des problèmes abordés à l’école primaire , régissent le « fameuse » règle de trois .

 

Dans le tableau , si l’on prend deux lignes portant les nombres  x’ et y’ pour l’une et x’’ et y’’ pour l’autre

 

Nombres « x » d’heures	1 h	2h	3 h	x’	x’’
Gain « y »	2 €	2  2 €	3 2  €	y’	y’’

on a :   =     ;   par extension on a  =

 

 

connaissant trois de ces nombres , on peut calculer le quatrième .

 

D’après l’équation  y = a x , on peut pareillement écrire

   y’ = a x’     et y’’= a x’’  d’où on déduit   =

 

et on obtient  la même relation ; la même règle de trois à employer . règle de trois à employer .

Enfin , d’après le graphique , si on prend sur la droite deux points A et C (voir graphique)

 

 

Qui ont pour ordonnée et pour abscisse :

 pour le point A l’abscisse l’un OU et l’ordonnée  AU et pour le point B l’ abscisse OD  et l’ordonnée   CD , on aura :

 

   =   c’est à dire encore  =

 

 

( voir les triangles homothétiques et le rapport d’homothétie)

 

 

Cette règle de trois se rencontre si souvent dans les problèmes posés à l’école primaire et au collège qu’il  arrive qu’elle soit appliquée automatiquement sans réflexion par les élèves.

Il est bon de bien comprendre qu’en procédant ainsi on risque des erreurs très graves en fait et en théorie .

 

Qu’on se garde de croire que , en fait , une douzaine d’objets coûte , de toute nécessité logique , 12 fois plus qu’un seul objet . A plus forte raison , qu’on se garde de croire qu’une pierre dans sa chute en 2 secondes parcourt seulement 2 fois plus de chemin qu’en une … ; etc. .

 

Il  y a des grandeurs liées par proportionnalité , c’est à dire , il y a des droites , c’est à dire il y a des équations du 1^er degré. Mais il y a aussi des courbes, il y a des équations plus compliquées ; il y a des grandeurs liées par des relations moins simples que la proportionnalité directe.

 

 

Question : Dans quel cas la règle de trois est-elle applicable ?

 

 

Un ouvrier gagne 4 €  à l’heure . Son gain en « x » heures est    y = 4 x

Ou bien , un piéton fait 4 km à l’heure . Son trajet en « x » heures est :  y = 4 x

 

Gardons ce dernier cas ( celui du piéton) et comparons l’accroissement de la fonction « y » ( du chemin parcouru ) à l’accroissement de la variable « x » ( de la durée du trajet ).

 

Supposons un premier trajet durant « x » heures ; sa valeur est « y »

  Relation  équation 1                    y = 4 x

 

Supposons  un deuxième trajet , durant ( x + Dx )  heures :

La notation  Dx  représente la différence entre la nouvelle valeur (t₂ )et la première valeur de la variable « x » (t₁) ;    ainsi (  t₂  - t₁  = Dx)

 

           Le nouveau trajet est ( y + Dy )  kilomètres ;  (Dy est la distance parcourue pendant l’instant t₂  - t₁  = Dx  ,  elle représente la différence entre la nouvelle valeur et la première valeur de la fonction (y) . ainsi Dy = 4 Dx )

 

On a :      Relation équation  2             y + Dy  =   4 ( x + Dx ) 

 

 

 

 

Nous voulons comparer  Dy  et   Dx

    En retranchant membre à membre  les équations (1) et (2)

       y + Dy  =   4 ( x + Dx )  et        y    =   4 x

premiers membres :        y + Dy – y =  Dy  

deuxièmes membres      4 ( x + Dx )  -4 x  =  4 x –  4x +4 Dx  = 4 Dx

   

nous avons    Dy  =  4Dx      ou    = 4  = une « constante »

Ce rapport  ,ici, c’est la vitesse du piéton ; c’est le chemin parcouru  à chaque nouvelle heure ( de 0 h à 1 h ; de 1 h à 2 h , … ).

 

Les grandeurs « y » et « x » ici sont proportionnelles  parce que la vitesse est constante .

Cette vitesse est « 4 » ; c’est le coefficient de « x » dans l’équation fondamentale «  y = 4 x »   . Donc , les grandeurs sont proportionnelles parce que l’équation qui les lie est du 1^er degré .

 

Ou enfin nous pourrons traduire cette condition géométriquement

 

A un instant quelconque marqué par OA = x ,  le trajet déjà parcouru AB = y                      A l’instant OA + AC = x +  Dx , le trajet parcouru devient         CD = CB’ + B’D =  y + Dy Sur la figure : DB’ est Dy  et BB’ est Dx et dire que  = 4  = Conste   C’est à dire que l’angle DBB’ ( caractérisé par  ) est constant , que le mouvement est représenté par une ligne droite .

 

 

 

 

 

Cas où la règle  de trois ne s’applique pas .

 

 

Ce sont les cas où la fonction n’est pas représentée par une équation du 1^er degré  , n’est pas figuré par une droite , mais est représenté par une courbe dont la pente n’est pas constante .

 

La « vitesse d’accroissement » de la fonction est donc variable . Et par suite , il est intéressant de connaître  les diverses valeurs que prend cette vitesse .

1^er Exemple :

Pour un corps tombant en chute libre , l’espace parcouru « y » ( en mètre) est au bout du temps « x » ( en secondes)

Relation équation 1                   y = 5 x²

Pour  le temps OD = x ,  le trajet est DE = y Pour un temps légèrement accru et devenu OF = OD + DF = x +Dx   , le trajet devient FG  soit FH+HG, soit y + Dy   et l’on a : Relation équation 2 : y + Dy  = 5 (x +Dx)2

 

Nous avons un système :  (1) et (2)

 soit      y = 5 x²    et   y + Dy  = 5 (x +Dx)²

 

Par soustraction  membre  à membre nous avons :

 

Dy  = 5 (x + Dx)² -  5 x²

d’où   Dy  =   5 (x²  +  2xDx  + Dx²  ) -  5 x²

Dy  =   5 x²  +  10xDx  + 5Dx²   -  5 x²

Dy  =   10xDx  + 5Dx²

Dy  =  Dx  (10x + 5Dx)

et enfin

  =  10x + 5Dx

 

ce résultat     est la vitesse moyenne de chute entre le temps « x » et le temps  « x  + Dx ».

 

Si l’on fait Dx = 0,1 sec. ; puis Dx = 0,01 ; puis Dx = 0,00….01 on a la vitesse moyenne successivement entre le temps  « x » et « x + 0,1 »

Ou « x + 0,01 »  ou « x + 0,00……01 »

 

Evidemment , à la limite Dx  décroissant jusqu’à 0 , on a « la vitesse moyenne entre x et x » décroissant jusqu’à 0 , on a « la vitesse moyenne entre x et x »

On peut donc écrire

Limite          (pour Dx = 0 ) = vitesse au temps x.

 

Or , cette  limite ( pour Dx  = 0 ) se calcule par l’équation ( 3) en y faisant  Dx =0

 

Limite          =  10 x + 0  = 10x

 

(4) Limite          =  10 x

 

Pour marquer ce passage à la limite , pour marquer que Dx  a décru jusqu’à zéro , on change un peu , très peu , la notation. Dx  accroissement petit de x est remplacé  par d x  , signifiant «  accroissement infiniment petit  de x , et Dy accroissement petit de  « y »  est remplacé  par d y , accroissement infiniment petit de « y ». Donc l’équation (4) s’écrit = 10x

 

Ainsi pour la chute libre d’un corps , on a le tableau suivant :

De la loi des espaces , y = x²  ,

nous avons déduit la loi des vitesses : v = = 10x

 

Temps « x »	0	1	2	…	x
Vitesse :  = 10x	0	10	20		10x

 

Nous avions « y » l’espace , fonction de « x » , nous avons maintenant en outre  la vitesse   v = = 10x

 

Une nouvelle fonction de « x » , déduite de la première fonction  , ou comme on dit « dérivée » de la première fonction qui elle , est dite alors «  fonction primitive »

y = 5 x²   est ici la fonction primitive

v = = 10x   est ici la fonction dérivée

La dérivée d’une fonction est « sa vitesse d’accroissement » quand la variable est le temps.

 

Autre exemple : Dérivée d’une fonction quand la variable est une longueur.

 

 

Soit la courbe ainsi construite . A tout abscisse OD =x correspond une ordonnée DE = y = x2 (1) Pour un accroissement petit Dx  = DF  , l’ordonnée devient : FG= y +Dy     = (x + Dx)2 = x2  +  2xDx  + Dx2 (2) Par soustraction , les équations (1) et (2) donnent : Dy  = 2xDx  + Dx2

 

D’où

 =    = 2x  +   Dx

Géométriquement ,  caractérise l’angle HEG , donne la pente de la corde EH.

 

 

Lorsque  Dx décroît jusqu’à 0  ( et s’écrit alors  d x , Dy  décroît  jusqu ‘ à 0 ( et s’écrit alors d y  , l’équation (3) devient    = 2x

En même temps la corde EH est devenue la tangente ET  et le rapport  limite du rapport  donne la pente de la tangente ET.

Ainsi  y = x²  est ici la fonction  primitive ,  = 2x est ici la fonction dérivée , c’est en quelque sorte la vitesse d’accroissement de la fonction : elle est représentée par la pente sur l’horizontale de la tangente de la courbe .

 

 

Intérêt que représente l’étude de la dérivée :

 

Cet intérêt est visible pour les physiciens , dans le cas de la chute d’un objet (vu précédemment) .On étudie assez facilement par expérience la loi des espaces  parcourus  en chute libre , car on n’a qu’à déterminer les positions du corps qui tombe de 1 ; 2 ; 3 ;…. Secondes .Après cela , on peut bien étudier la loi des vitesses , il faudrait encore plus de patience  , encore plus d’habileté que pour la loi des espaces . Mais , grâce au  calcul que nous offrent  , les mathématiques , cette deuxième partie des recherches expérimentales  est superflue ; elle peut – être supprimée .

 

La loi y = 5 x²   suffit pour conclure   v = = 10x

Ainsi le calcul de la dérivée rend service au physicien . Il rend service au mathématicien en lui donnant des renseignements  précieux sur l’allure d’une courbe et joue un grand rôle dans la discussion des  problèmes .

 

 

Soit par exemple à étudier la courbe ci –dessous :

(pré requis : 1°)  calculer y = x2 – 4 x + 3  pour « x =  0 » ; 2°) résoudre l’équation du second degré  0 = x2 – 4 x + 3  )

 

y = x2 – 4 x + 3         On voit d’abord que : pour   x = 0  on a    y = 3 La courbe passe par le point A . Pour y = 0  on a 0 = x2 – 4 x + 3   (  x = 2 ± 1) , d’où x’ = +1 ; x’’ =   +  3 la courbe passe  par B( +1)  et C ( +3)

 

 Voilà ce qui se trouve par les « moyens ordinaires » : les trois points blancs de la figure (  A ; B ;C )

Et voici ce que l’on trouve avec la dérivée :

Cette dérivée est   = 2x – 4 .

 

(résoudre : 2x – 4 = 0)      Elle s’annule pour x = 2 et on a alors  

 

y = x² – 4 x + 3   ; y = 2² – 4 2 + 3  =  -1

 

Donc la courbe passe par le point « D »  ( point noir sur la figure) de coordonnées 2 et –1  .  et de plus , la dérivée est nulle , c’est à dire ( voir dérivée d’une fonction quand la variable est une longueur)que la pente  sur l’horizontale de la tangente  à la courbe est nulle ; c’est à dire que la tangente à la courbe  en D est horizontale .

On voit combien  la connaissance de ce point D de cette tangente H’H  favorise le tracé , et plus généralement comment elle favorise la recherche du maximum ou du minimum . (voir la figure précédente)

Remarque :  la fonction « y » était ici du second degré , la dérivée n’est que du 1^er degré ; c’est ce qui facilite la discussion .

 

RECHERCHE DES DERIVEES :

 

 

Les dérivées étant importantes à connaître , il faut essayer de les calculer , au moins dans les cas principaux . Et d’abord pour les expression algébriques  entières .

 

1°) Nous avons vu que la fonction du premier degré

y = a x   donne la dérivée     = a

(si     y = 4 x    ;  = 4  )

2°)Nous avons vu la fonction du second degré  

que la fonction   y = x²     donne la dérivée    = 2x 

que la fonction   y = 5x²     donne la dérivée    = 10x   .

 

Il est facile de comprendre et on trouvera aisément  que :

que la fonction   y = a x²     donne la dérivée    = ax

 

3°) On trouvera de même que :

y = a x³    donne la dérivée   = 3 ax²

y = axⁿ    donne la dérivée    =  na x^n-1

 

                Ainsi , pour les expression algébriques entières , on sait passer de la fonction primitive  a xⁿ     à  la dérivée    na x^n-1  et inversement de la fonction dérivée na x^n-1   à la fonction primitive a xⁿ  .

 

 

 

DERIVEE  SECONDE :

 

Dans le cas d’un mouvement uniforme , le chemin parcouru  « y » , en fonction du temps « x » , est y = ax . La vitesse dans ce mouvement , est la dérivée :

    v  =      = a

 

Elle est constante . Il n’y a plus rien à ajouter.

Dans le cas de la chute libre  d’un corps , le mouvement est uniformément accéléré , le chemin parcouru ( y ) est   y = 5 x² . La vitesse dans ce mouvement , est la dérivée  , elle est v =    = 10x

 

Elle n’est pas constante . Elle croît avec   « x » ; elle est fonction de « x ». Elles croît avec  une certaine vitesse . On l’appelle « la vitesse de cette vitesse » que l’on note  dv  sur la d  x;   et la  est la dérivée de cette dérivée . Cette dérivée on l’appelle la dérivée seconde  de la primitive . Ici , elle est

 

 =  =  10    (*)

 

* Nous avons arrondi les nombres . En réalité elle est de 9,81 ; car en réalité  la loi des espaces est  y = 9,81 x²  =  4,905 x² et non de 5x²

 

Elle est constante , il n’y a plus rien à ajouter .

En physique , en mécanique , on l’appelle «  l’ accélération »

 

 

CONVENTION D’ECRITURE :

On a    v  =       donc     peut s’écrire     et on convient de l’écriture    signifiant par là que c’est la dérivée seconde  de y

 

 

 

 

 

 

 

 

DERIVEE TROISIEME :

 

Imaginons un mouvement régi par la loi y = a x³

 

Sa dérivée est    = 3ax² . Cette dérivée est une fonction de « x » qui croît avec « x » ; et qui croît avec une vitesse  qui est la dérivée de 3ax² , qui est donc  2 ( 3ax) . C’est la dérivée de la dérivée ; c’est la dérivée seconde  . Donc   = 23ax = 6ax

Cette dérivée- seconde est une fonction de « x » qui croît avec « x » et qui croît avec une vitesse  = 6a

C’est  la dérivée de la dérivée seconde , c’est la dérivée troisième

Donc  = 6a       

 

Ici elle est constante . Il n’y a rien à ajouter.

On voit que si on part d’une expression de degré élevé  y = axⁿ , on aura des dérivations successives en nombre élevé ( « n » dérivation ; puisque chaque dérivation abaisse de « 1 »   le degré  de l’expression ).

 

CONVENTION D’ECRITURE :

On peut représenter la fonction primitive par  f(x)   et écrire  y = f(x) , ce qui se lit et se comprend : « y est une certaine fonction de « x » ».

( voir « fonction généralités » pour en savoir plus )

 

Les dérivées successives s’écrivent  ;  ;   ou bien y’ ; y’’ ; y’’’ ;… ou bien encore f’(x) ; f’’(x) ; f’’’(x) ;…….

 

Expression , au moyen de ses dérivées , de la nouvelle valeur que prend une fonction « y » .

 

EXERCICE N°1 :  La fonction est du premier degré :

  Y = ax ou  f(x) = ax

 

Donnons à « x » un accroissement « h » quelconque ; grand ou petit .

La fonction prend un accroissement correspondant « k »

y + k  = a ( x + h )  =   ax + ah

ou

f(  x + h ) = ax + ah    (1)

 

or , ax, c’est l’ancienne valeur de « y »  ou « f(x) »

et « a » est la dérivée de la fonction « y »  ou « f(x) » (   y’  ou f ’(x)  )

 

donc la relation (1) s’écrit :   f(  x + h ) = f(x)  + h f ’(x) 

 

EXERCICE N°2 : la fonction est du second degré :

     .         y   =   a x ²  ou        f(x) =   a x ²

   pour l’accroissement  « h » donné   à « x » , y prend l’ accroissement « k »

 

(1)     y + k  =  a (  x + h ) ²  =   ax²  +  2 ax .h + a . h²

 

or , ax²  , c’est « y » ou  « f(x) « 

 

2ax c’est la dérivée ou f ‘ (x) 

 

« a » c’est la demi – dérivée de 2ax ; c’est la moitié de la dérivée seconde , c’est   f ‘’ (x) 

 

Donc , la relation (1)  s’écrit  y  + k = f ( x + h) :

 

(  Avec :    ax²   = f(x)   ; +  2 ax .h   = h . f ‘ (x) ;  +  a . h² =  f ‘’ (x) .h²  )

 

           f ( x + h )  =  f(x) +  f’ (x) +  f’’( x)  

 

EXERCICE N°3 :        soit la fonction  y = a x³  du 3^e degré .

On trouvera de même que :

 f ( x + h )  =  f(x) +  f’ (x) +  f’’( x) + f ’’’( x)

 

Exercices : On fera de pareils exercices avec des fonctions qui ne sont pas réduites à leur terme  le plus élevé . Avec  y = ax³  + b x² + cx + d + …Etc. …

 

S’il s’agit d’une expression algébrique entière , on trouvera un développement analogue ; une série de termes célèbre , sous le nom de série de Taylor . A chaque dérivation le degré s’abaisse de « 1 » , donc on arrive au degré  0 à une expression constante , qui n’admet plus de dérivée.

La série , dans ce cas est limitée .

 

Mais il est des expressions qui donnent des dérivées sans fin ! ! ! !et dont le développement en série de Taylor , est par suite une série illimitée .

( Cette série illimitée est  utilisable si elle est convergente)

 

On comprend donc combien cette étude est attachante .

Donnons – en des exemples .

 

EXPRESSION ALGEBRIQUES à PUISSANCE  NEGATIVE : DERIVATION INDEFINIE

 

Soit   y =     ;   Qu’on peut écrire   y = x^-1

C’est une expression à puissance négative . Si elle suit la règle « recherche des dérivées »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS  (re voir les exercices dans le cours)

 

 

CONTROLE

 

EVALUATION: