L’équation est dite « incomplète » si l’un des coefficient est nul .Comme « a » est essentiellement différent de zéro, l’équation est incomplète si « b » = 0 ou c = 0

Premier cas : b = 0

l’équation s’écrit ax² + c = 0

Elle est équivalente à : ax² = - c ; x² =

donc :

1°) si < 0 l’ équation n’a pas de racine ; ( voir le nombre imaginaire)

2°) si = 0 l’ équation a une racine x = 0

3°) si > 0 l’équation a 2 racines : x =

deuxième cas : c = 0 , l’ équation s’écrit ax² + bx = 0

ax² + bx = 0

en factorisant on obtient x ( ax + b ) = 0

elle se décompose et donne : x = 0 et ax + b = 0

c’est à dire x = 0 et x = -

Remarque : « Pratiquement » , pour résoudre une équation du second degré incomplète , il ne faut pas utiliser ces résultats littéraux , mais refaire le calcul pour chaque équation considérée.

Fin du rappel.

Résolution d’une équation complète ( les coefficients sont des nombres)

Nous savons résoudre certaines équations complètes d’une forme particulière .

I ) Ainsi , soit l’équation : ( x –2 )² = 7

Cette équation se décompose en deux :

x - 2 = et x-2 = -

par suite , elle admet deux racines :

x =2 + et x = 2 -

On écrit : x = 2 ±

II ) de même , pour résoudre l’ équation 4 ( x - 2)² = 7

On écrira ( x - 2)² =

x-2 =

x = 2

or , si nous développons ( x - 2)² , l’ équation précédente : 4 ( x - 2)² = 7

s’écrit : 4 x ² –16x + 9 = 0

c’est une équation du second degré « complète »

Pour résoudre une équation du second degré complète , nous pouvons la mettre sous une forme analogue à « ( x - 2)² = »

Exemple : résoudre l’ équation 2x² + 9 x + 5 = 0

Divisons les deux membres par 2 , on obtient : x² + x + = 0

x² + x est le commencement du développement du carré de « x + x »

( qui est égal à x² + x + )

nous écrirons donc l’ équation précédente :

x² + x + - + = 0

( x + )² -= 0

( x + )² =

Par suite on a :

Soit x + = ; Soit x + = -

C’est à dire : x = -+ et x = --

On écrit x =

CAS GENERAL (Equation à coefficients sont littéraux):

Afin d’examiner tous les cas qui peuvent se présenter, nous procéderons comme dans l’exemple précédent avec l’équation générale :

ax² + b x + c = 0

« a », « b » et « c » ne sont pas nuls.

En divisant les deux membres de l’équation par « a » (qui est différent de 0 ) on obtient :

x² + x +

ainsi : x² + x est le commencement du développement du carré de

« x + » ; qui est égal à x² + x +

nous écrirons donc l’équation précédente :

x² + x +-+ = 0

( x + )² - = 0

on obtenons : ( x + )²=

le premier membre est un carré ; donc quel que soit « x » , il est positif ou nul. Nous sommes donc amenés à distinguer plusieurs cas suivant que le second membre est positif ; négatif ou nul. Comme le dénominateur est positif ; ces 3 cas sont :

b² – 4ac < 0
b² – 4ac = 0
b² – 4ac > 0

Premier cas :

b² – 4ac < 0

Le deuxième membre est négatif ; donc l’égalité ne peut pas avoir lieu et l’ équation « ax² + bx + c = 0 » n’a pas de racine.

Deuxième cas :

b² – 4ac = 0

Le deuxième membre est nul et l’équation « ( x + )²= » s’ écrit : ( x + )² = 0

Ce qui donne : x + = 0 c’est à dire que x = -

Donc , dans ce cas , l’ équation a une seule racine : -

Troisième cas :

b² – 4ac > 0

Le deuxième membre est positif.

L’équation «x + )²= » se décompose en deux :

x + = + et x + = -

ce qui donne :

x = - + et x = - -

Donc dans ce cas , l’ équation a deux racines :

x’ = et x’’ =

on écrit : x=

Conclusion. On voit que l’équation a 0 ; 1 ou 2 racines suivants que b² – 4ac est négatif , positif ou nul .

L’expression « b² – 4ac » s’appelle « le discriminant » de l’équation « ax² + bx + c = 0 » et on la représente par la lettre ( delta) D

Ainsi : D = b² – 4ac

Les résultats que nous venons d’établir s’énoncent :

RÈSUMÈ :

1 ° ) Si D < 0

L’équation « ax² + bx + c = 0 » n’ a pas de racine

Commentaire : dans la représentation graphique de cette équation la coupe ne « coupe » pas l’axe des « x ».

2°) si D = 0 , l’ équation a une racine égale à - ( appelée : racine double)

3°) si D > 0 , l’ équation a deux racines données par les formules :

remarque :

Les calculs que nous faisons pour le cas où D > 0 s’appliquent lorsque D = 0 .Dans ce cas , les deux racines x’ et x’’ deviennent toutes deux égales à -.

Pour cette raison , on dit que , lorsque D = 0 , l’équation a deux racines ou une racine double .

Dans le cas où D > 0 , on dit que l’ équation a deux racines distinctes.

Informations plus :

Forme conduisant à la forme canonique
Forme canonique de la fonction polynôme du second degré.

Si f(x) = ax² + bx + c

Avec a ¹0

RÈSOLUTION PRATIQUE :

Nous voyons que les calculs , pour résoudre une équation complète du second degré, sont longs.

Dans la pratique : On applique le théorème que nous venons de démontrer en commençant par former D . Ainsi faut-il connaître sans hésitation les résultats énoncés précédemment et en particulier les formules : x=

Qui donnent les racines dans le cas où D est positif .

Exemples :

I ) Résoudre l’équation : 2x² + 5x + 9 = 0

INFO +++++

Calcul du discriminant

D = 25 –72 (= - 47)

D < 0 ; donc l’ équation n’a pas de racine .

II ) Résoudre l’équation : 3x² + 7x + 1 = 0

INFO +++++

Calcul du discriminant

D = 49 –12 (= 37)

D > 0 ; donc l’ équation n’a deux racines

x =

AUTRES REMARQUES :

Il existe cependant des cas où il serait maladroit de procéder comme nous venons de l’indiquer .C’est lorsque l’équation est mise sous forme d’un produit (P ) sous la forme P = 0 ; ou peut être mis aisément sous la forme d’un produit de facteurs.

Exemples :

I ) résoudre l’équation ( 2x +1) ( 5x –3 ) = 0

L’équation se décompose en deux L un produit est « nul » si l’un des facteurs est nul )

Ainsi : ( 2x +1) 0 = 0 et 0 ( 5x –3 ) = 0

2x +1 = 0 et 5x –3 = 0

on a donc immédiatement les racines :

x = et x =

II ) résoudre l’équation :

( 3x-2 ) ( 4x-5) = (3x-2) ( 5x-2)

cette équation s’écrit :

( 3x-2 ) ( 4x-5) - (3x-2) ( 5x-2) = 0

on factorise :

( 3x-2 ) [( 4x-5) - ( 5x-2) ] = 0

( 3x-2 ) [ 4x - 5 - 5x + 2 ] = 0

( 3x-2 ) [ -x –3 ] = 0

l’équation se décompose en deux :

3 x - 2 = 0 et - x –3 = 0

d’où les racines : x = et x = 3

III ) Résoudre l’équation :

( 2x-3)² = ( 5x + 8)²

Cette équation s’écrit ( 2x-3)² -( 5x + 8)² = 0 ( voir les I.R. )

( 2x – 3 + 5 x + 8 ) (2x – 3 – 5 x – 8 ) = 0

( 7 x + 5 ) ( - 3 x – 11) = 0

d’où les racines : x = et x =

autre remarque N°2 :

Soit l’équation 2x²-4x –5 = 0 dans laquelle « a » et « c » sont de signe différent le produit « ac » est négatif . Le D = b²-4ac s’obtient en retranchant de b² qui est positif un nombre négatif. Cela revient à lui ajouter un nombre positif . Le résultat est donc positif. Par suite :

Si dans une équation du second degré : ax² + bx + c = 0

« a » et « c » sont de signe différent ont peut affirmer que l’équation a deux racines distinctes.

autre remarque N°3. Si le coefficient « b » se présente sous la forme 2b’ on a :

D = b² – 4ac = 4 b’² – 4ac = 4 (b’² – ac)

au lieu de former D , on peut donc former l’expression D’ = b’² – ac qui a le même signe .

D’ ( lire delta prime) s’appelle le discriminant réduit de l’équation .

si D’ < 0 , l’équation n’a pas de racine ;

si D’ = 0 , l’ équation a une racine : x =